多次反射光杠杆法测金属线胀系数的公式修正

ＰＨＹＳＩＣＡＬＥＸＰＥＲＩＭＥＮＴＯＦＣＯＬＬＥＧＥ

大学物理实验

Ｖｏｌ.３２Ｎｏ.６Ｄｅｃ.２０１９

文章编号:１００７￣２９３４(２０１９)０６￣０００６￣０３

多次反射光杠杆法测金属线胀系数

的公式修正

(１.南京林业大学理学院ꎬ江苏南京　２１００３７ꎻ２.南京林业大学信息科学技术学院ꎬ江苏南京　２１００３７ꎻ３.南京林业大学材料科学与工程学院ꎬ江苏南京　２１００３７ꎻ４.南京林业大学机械电子工程学院ꎬ江苏南京　２１００３７)

于莉莉１ꎬ黄　雷２ꎬ李茂义３ꎬ马浩骢４ꎬ喻　孜∗１

摘要:激光射入两个平行的平面镜ꎬ会引起多次反射ꎬ基于该原理的激光光杠杆法测量微小距离

具有光路简单ꎬ读数快捷等优点ꎮ但实验过程中ꎬ激光在平面镜的入(反)射点与理论分析有出入ꎬ且差别随反射次数的增加而增加ꎬ另外在反射次数较少的情况下ꎬ激光的初入射角不能忽略ꎬ因此需要修正原有理式ꎬ避免测量微小距离时的误差ꎮ本文以金属线胀系数的测量实验为例ꎬ通过修正多次反射光杆杆法原有理式ꎬ分析实验数据ꎬ获得了更准确的金属线胀系数ꎮ关

键

词:线胀系数ꎻ多次反射ꎻ光杠杆ꎻ微位移

文献标志码:Ａ

ＤＯＩ:１０.１４１３９/ｊ.ｃｎｋｉ.ｃｎ２２￣１２２８.２０１９.０６.００２

中图分类号:Ｏ４２２

　　线胀系数为金属的基本热参量ꎬ是表征材料性质的重要特征量[１￣３]ꎮ在大学物理实验中ꎬ常采用光杠杆法测量金属的线胀系数[４￣５]ꎬ光杠杆法的原理在光学测量ꎬ精密仪器等方面有广泛的应用[６]ꎮ多次反射光杠杆法[７]克服了传统光杠杆法光路调节复杂ꎬ占用空间较大等缺点ꎬ具有光路简单ꎬ读数快捷等优点ꎮ但由于实验过程中金属膨胀导致平面镜倾斜ꎬ使得实际光线入(反)射位置与理式的推导有差别而存在误差ꎮ本文在多次反射光杠杆测量微位移系统原理的基础上ꎬ修正原有理式ꎬ并将测量结果带入修正后的公式计算ꎬ所得线胀系数的结果更加准确ꎮ

值与材料性质有关ꎮ

由于金属杆在０℃时的长度不易获取ꎬ所以通常取任意一个的温度ｔｉ和仪器安装时的温度ｔ１ꎬ因此式(１)中固体的线胀系数α又可表示为

α＝ΔＬＬ１(ｔｉ－ｔ１)

(２)

式中ΔＬ为固体温度由ｔ１升到ｔｉ时的伸长量ꎬＬ１表示固体在温度ｔ１时的长度ꎮ

由于ΔＬ随温度的膨胀量很小ꎬ多次反射光

杠杆法有效地放大了这个微位移并避免了传统光１.１　多重反射光杠杆法的实验装置

多重反射激光光杆杠法利用光线的多次反射将微小位移进行放大ꎬ实验装置和示意图如图１(ａ)和(ｂ)所示ꎮ

通过角度调节螺丝ꎬ调整激光发射器的入射杠杆法占用空间较大等缺点[７]ꎮ

１　实验原理

当金属杆受热温度升高时(受热温度不大)ꎬ金属杆长度的增加与温度成线性关系:

其中ꎬＬ０表示物体在０℃时的长度ꎬＬｔ表示物体在温度为ｔ时的长度ꎬα为金属的线胀系数ꎬ其数

Ｌｔ＝Ｌ０(１＋αｔ)

(１)

角ꎬ激光在两个平面镜Ａ和Ｂ间多次反射ꎬ最终投影到标尺上ꎮ当铜杆受热伸长时ꎬ光杠杆的前足尖带动平面镜Ａ偏转微小角度ꎬ此时激光在标尺上的位置会相应发生较大变化ꎮ通过记录不同

收稿日期:２０１９￣０８￣２９

基金项目:国家重点研发计划(２０１６ＹＦＤ０６００７０３￣１)ꎻ省创业训练项目(２０１９１０２９８００９Ｔ)ꎻ校大学生创新创业训练计划项目

(２０１９ＮＦＵＳＰＩＴＰ０１５２ꎬ２０１９ＮＦＵＳＰＩＴＰ０２９８)

∗通讯联系人

多次反射光杠杆法测金属线胀系数的公式修正

７

温度下激光在标尺上读数ꎬ可得出铜杆的线胀系数ꎮ

射时的水平方向的增量分别为ΔＤ１ꎬΔＤ２和ΔＤ３ꎮ

反射１次观察点位置对应的参数为:图１　实验装置图

１.２　多重反射光杠杆法的原理

多次反射光杆杠的原理如图２所示ꎮ

图２　多重反射光杆杠原理图

激光的初始入射角为θ后ꎬ观察点的位置分别为ｘ０ꎬ经过１~３次反射膨胀后ꎬ平面镜Ａ偏转小角度１、ｘ２、θꎬｘ此时经过３ꎬ当光杆杠受热３次反射后观察点的位置分别为①光杆杠受热膨胀后为:２θ＋θｘ′１０、角度②ꎬ光在平面镜为:４θ＋θ０、、角度ｘ′２、ｘ′３ꎬ其中角度Ａ上第③为１:６~３θ＋次反

θ０ꎮｘｘ′１＝２ＤＤｔａｎ＋ΔＤθ０１＝(１)ｔａｎθ０＋(Ｄ＋ΔＤ１)ｔａｎ(２θ＋θ(３)０)

ΔＤ(４)由(３)(４)(５)１＝Ｄｔａｎθ０ｔａｎθ

(５)反射－ｘ＝２Ｄθ[１化简得

ｘ′１１＋ｔａｎθ０ｔａｎ(θ０(６)ｘ′＝４２＋θ)]

Ｄｔａｎ次观察点位置对应的参数为ｘ２θ０(７)＋(Ｄ＋２＝(Ｄ＋ΔＤ１)ｔａｎθ０＋(Ｄ＋ΔＤ１)ｔａｎ(２θ＋θ０)

ＤΔＤ２)ｔａｎ(２θ２＝３Ｄｔａｎθ０ｔａｎ＋θθ

０)＋(Ｄ＋ΔＤ２)ｔａｎ(４θ＋θ０)(９)

(８)由(７)(８)(９)(θｘ化简得

ｘ′２－２＝２Ｄθ[２２＋ｔａｎθ０ｔａｎ(θ０＋θ)＋３ｔａｎ(１０)

θ０ｔａｎ０＋反射３θ)]

３次观察点位置对应的参数为

(ｘ′３－ｘ３＝２Ｄθ[３２＋ｔａｎθ０ｔａｎ(θ０＋θ)＋由式θ３ｔａｎ０＋(６)(１０)３θ)＋５ｔａｎ(１１)θ０ｔａｎ(可推导得θ０＋５θ)]ꎬｎ次反射后观察点

(１１)θ０ｔａｎ

位置对应的变化量为

Δｘｎ

ｎ＝２Ｄθ{ｎ２＋ｔａｎθｔａｎ[(２０∑ｍ＝１(２ｍ－１)

经实验测得变化量ｍ－１)θ＋θΔｘ０]}

ｎ和激光反射次数ｎꎬ结合实(１２)

验装置固有的参数ꎬ两平面镜间的距离Ｄ及初始入射角θΔＬ０ꎬ可求得偏转角θꎬ并通过公式

θ＝

ｂ

(１３)

其中ｂ为前足尖的长度ꎬ求得固体的伸长量ΔＬꎬ结合公式(３)可以得到金属的线胀系数αꎮ

２　实验数据及处理

本实验采用降温方式测量金属的线胀系数ꎬ每降５℃测量一次激光经反射后对应标尺上的读

数ꎬ从实验过程中可以得出ꎬ激光经两平面反射的次数ｎ＝３ꎬ每次降温后所测得的数据如表１所示ꎮ

表１　降温测量实验数据

ｔ/℃ｘ/ｃｍｔ/℃ｘ/ｃｍ８５８０１０.６０７５１０.４０６５６０９.８１７０

１０.２０１０.０１

５５９.６５５０

９.５５９.３９

８

多次反射光杠杆法测金属线胀系数的公式修正

在室温(２４.８℃)情况下ꎬ激光经３次反射对应的初始位置ｘ０＝８.３５ｃｍ、两平面镜间的距离Ｄ误差ꎬ公式(１２)中Δｘｎ(这里用Δｘ３表示)的取值均采用ｘｉ－ｘ０ꎬ结合公式(１２)(１３)经ＭＡＴＬＡＢ计算后ꎬ所得变化量Δｘ３ꎬ偏转角θ伸长量ΔＬ如表２所示(其中ｂ＝１０.５０ｃｍ)ꎮ计算得到温度每降５℃的平均值ΔＬꎬ结合公式(２)算出线胀系数α＝１.９７×１０－５/℃ꎬ结果与２５℃标准气压下黄铜(６２％Ｃｕꎬ３８％Ｚｎ)的线胀系数１.８９×１０/℃

－５

[１]

满足实验需求ꎬ而且测量数据相对准确ꎮ通过公式的修正与归纳ꎬ消除了主要实验装置平面镜由于倾斜引起光线水平位移而造成的实验误差ꎬ具有很高的实用价值ꎮ同时将激光初入射角θ０纳入到修正后的公式ꎬθ０的大小会影响反射次数和实验误差ꎬ在反射次数不高的情况下ꎬ通常不能做为小量而忽略ꎬ引入到修正后的公式后ꎬ也避免了因要满足角度的要求而实验的开展ꎮ参考文献:

[１]　李长江.物理实验[Ｍ].北京:化学工业出版社ꎬ

２００３:１３０￣１３３.

[２]　邹艳.单缝衍射法测量金属线胀系数装置的研究

[Ｊ].物理实验ꎬ２０１４ꎬ３４(７):２０￣２２

[３]　谢行恕ꎬ康士秀ꎬ霍剑青.大学物理实验[Ｍ].北京:

高等教育出版社ꎬ２００１:２３￣２７.

[４]　胡君辉ꎬ李丹ꎬ唐玉梅ꎬ等.光杠杆法测定金属线胀

系数实验分析[Ｊ].大学物理实验ꎬ２０１０ꎬ２３(１):３１￣３３.

[５]　郭涛ꎬ盛琛ꎬ杨悦.光杠杆测量杨氏模量的研究[Ｊ].

大学物理ꎬ２０１６ꎬ３５(３):４０￣４２.

[６]　胡振江ꎬ郑兴华ꎬ孙涛ꎬ等.ＡＦＭ光杠杆系统在刻划

深度控制中的应用分析[Ｊ].纳米技术与精密工程ꎬ２００６ꎬ４(３):２３０￣２３４.

[７]　骆敏ꎬ骆泽如ꎬ陈蕾ꎬ等.多重反射激光光杠杆测量

金属线胀系数[Ｊ].物理实验ꎬ２０１８(７):１４￣１６.

＝２８.７２ｃｍ、初始入射角θ０＝８.７３°ꎮ为减小实验

比较ꎬ相

对误差为４.２３％ꎮ

ｔ/℃８５８０７５７０６５６０５５５０

表２　Δｘ３、θ及ΔＬ和温度的关系

Δｘ３/ｃｍ２.２５２.０５１.８５１.６６１.４６１.３０１.２０１.０４

θ/１０－３ａ２.５９２.３６２.１３１.９１１.６８１.４９１.３８１.１９

ΔＬ/ｍｍ０.２７２０.２４８０.２２４０.２０１０.１７６０.１５６０.１４５０.１２５

３　结　论

通过计算结果可知ꎬ该计算方法能够很好的

ＭｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＦｏｒｍｕｌａｆｏｒＭｅａｓｕｒｉｎｇＬｉｎｅａｒＥｘｐａｎｓｉｏｎＣｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ

ｏｆＭｅｔａｌｂｙＭｕｌｔｉｐｌｅＲｅｆｌｅｃｔｅｄＬｉｇｈｔＬｅｖｅｒＭｅｔｈｏｄ

ＹＵＬｉｌｉ１ꎬＨＵＡＮＧＬｅｉ２ꎬＬＩＭａｏｙｉ３ꎬＭＡＨａｏｃｏｎｇ４ꎬＹＵＺｉ∗１

(１.ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅꎬＮａｎｊｉｎｇＦｏｒｅｓｔｒｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＮａｎｊｉｎｇ２１００３７ꎬＣｈｉｎａꎻ２.ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙꎬＮａｎ￣ｊｉｎｇＦｏｒｅｓｔｒｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＮａｎｊｉｎｇ２１００３７ꎬＣｈｉｎａꎻ３.ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｅｒｉａｌｓＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬＮａｎｊｉｎｇＦｏｒｅｓｔｒｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＮａｎ￣ｊｉｎｇ２１００３７ꎬＣｈｉｎａꎻ４.ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬＮａｎｊｉｎｇＦｏｒｅｓｔｒｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＮａｎｊｉｎｇ２１００３７ꎬＣｈｉｎａ)

Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｗｈｅｎｔｈｅｌａｓｅｒｉｓｓｈｏｔｉｎｔｏｔｗｏｐａｒａｌｌｅｌｐｌａｎｅｍｉｒｒｏｒｓꎬｉｔｗｉｌｌｃａｕｓｅｍｕｌｔｉｐｌｅｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｓ.Ｔｈｅｌａｓｅｒｏｐ￣ｔｉｃａｌｌｅｖｅｒｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｉｓｐｒｉｎｃｉｐｌｅｈａｓｔｈｅａｄｖａｎｔａｇｅｓｏｆｓｉｍｐｌｅｏｐｔｉｃａｌｐａｔｈａｎｄｆａｓｔｒｅａｄｉｎｇａｎｄｓｏｏｎ.Ｈｏｗｅｖｅｒꎬｔｈｅｒｅｉｓａｄｉｓｃｒｅｐａｎｃｙｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｔｈｅｉｎｃｏｍｉｎｇ(ｉｎ￣ｖｅｒｓｅ)ｓｈｏｏｔｉｎｇｐｏｉｎｔｏｆｔｈｅｌａｓｅｒｉｎｔｈｅｐｌａｎｅｍｉｒｒｏｒ.Ｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｉｎｃｒｅａｓｅｓｗｉｔｈｔｈｅｉｎｃｒｅａｓｅｏｆｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｔｉｍｅｓ.Ｍｏｒｅｏｖｅｒꎬｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｉｎｃｉｄｅｎｃｅａｎｇｌｅｏｆｔｈｅｌａｓｅｒｃａｎｎｏｔｂｅｉｇｎｏｒｅｄｉｎｔｈｅｃａｓｅｏｆｆｅｗｅｒｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｔｉｍｅｓꎬｓｏｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｆｏｒｍｕｌａｎｅｅｄｓｔｏｂｅｍｏｄｉｆｉｅｄｔｏａｖｏｉｄｔｈｅｅｒｒｏｒｏｆｍｅａｓｕｒｉｎｇｓｍａｌｌｄｉｓｔａｎｃｅ.Ｗｅｍｏｄｉ￣ｆｙｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｆｏｒｍｕｌａｏｆｔｈｅｍｕｌｔｉ￣ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｏｐｔｉｃａｌｌｅｖｅｒｍｅｔｈｏｄｉｎｍｅａｓｕｒｉｎｇｌｉｎｅａｒｅｘｐａｎｓｉｏｎｃｏ￣ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆｍｅｔａｌ.Ｂｙａｎａｌｙｚｉｎｇｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｄａｔａꎬｔｈｅｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅｌｉｎｅａｒｅｘｐａｎｓｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆｍｅｔａｌｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ.

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｌｉｎｅｒｅｘｐａｎｓｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔꎻｍｕｌｔｉ￣ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎꎻｏｐｔｉｃａｌｌｅｖｅｒꎻｍｉｃｒｏ￣ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ