PQ分解法

目录

前言 .........................................................................................................................................................................................- 1 - 一、 二、 三、 四、 五、

PQ分解法的极坐标表示及简化算法 ...................................................................................................................- 2 - PQ分解法的直角坐标解法 .................................................................................................................................- 12 - 基于因子表法的PQ分解法 ................................................................................................................................- 16 - PQ分解法潮流计算的简化算法 .........................................................................................................................- 18 - 小结 .......................................................................................................................................................................- 23 -

参考文献 ...............................................................................................................................................................................- 25 -

前言

前言

潮流计算是电力系统中的一种最基本计算，通过已给定的运行条件确定系统中

的运行状态，如各条母线上的电压、网络中的功率分布及功率损耗等。电力系统中常用的PQ分解法派生于以极坐标表示的牛顿—拉夫逊法，其基本思想是把节点功率表示为电压向量的极坐标形式，以有功功率误差作为修正电压向量角度的依据，以无功功率误差作为修正电压幅值的依据，把有功和无功分开进行迭代其主要特点是以一个（n-1）阶和一个m阶不变的、对称的系数矩阵B,B代替原来的（n+m-2）阶变化的、不对称的系数矩阵M，以此提高计算速度，降低对计算机贮存容量的要求。

PQ分解法极坐标表示

一、 PQ分解法的极坐标表示及简化算法

1. 潮流计算的定义

潮流计算是根据给定的电网结构、参数和发电机、负荷等元件的运行条件，确定电力系统各部分稳态运行状态参数的计算。通常给定的运行条件有系统中各电源和负荷点的功率、枢纽点电压、平衡点的电压和相位角。待求的运行状态参量包括电网各母线节点的电压幅值和相角，以及各支路的功率分布、网络的功率损耗等。PQ分解法的极坐标表示是派生于以极坐标表示的牛顿—拉夫逊法。

2. 潮流计算的约束条件

为了保证电力系统的正常运行潮流问题中某些变量应满足一定的约束条件，常用的约束条件有：

1) 所有节点电压必须满足

Vi.minViVi.max (i=1,2，…，n)

从保证电能质量和供电安全的要求看，电力系统的所有电气设备都必须运行在额定电压附近。PV节点的电压幅值必须按上述条件给定。因此，这一约束主要是对PQ节点而言。

2) 所有电源节点的有功功率和无功功率必须满足

PGminPGiPGmaxQGminQGiQGmax

PQ分解法极坐标表示

PQ节点的有功功率和无功功率以及PV节点的有功功率，在给定时就必须满足上述条件。因此，对平衡节点的P和Q以及PV节点的Q应按上述条件进行检验。

3) 某些节点之间电压的相位差应满足

|ij|<

|i-j|max

为了保证系统运行的稳定性，要求某些输电线路两端的电压相位差不超过一定的数值。因此，潮流计算可以归纳为求解一组非线性方程组，并使其解答满足一定的约束条件。如果不满足，则应修改某些变量的给定值，甚至修改系统的运行方式，重新进行计算。

3. 节点电压用极坐标表示时的牛顿-拉夫逊潮流计算

采用极坐标时，节点电压表示为

ViViiV（icosijsini）

节点功率方程（11-25）将写成

PiViV（GcosBsin）jijijijijj1nQiViV（jGijsinij-Bijcosijj1 公式 1

n式中，

ijij，是i，j两节点电压的相差角。

PQ分解法极坐标表示

方程式（公式1）把节点功率表示为节点电压的幅值和相角的函数。在有n个节点的系统中，假定第1~m号节点PQ节点，第m+1~n-1号节点的PV节点，第n号节点为平衡节点。Vn和n是给定的，PV节点的电压幅值Vm+1~Vn-1也是给定的。因此，只剩

，n-1和m个节点的电压幅值V1,V2,…,Vm是未知量。 下n-1个节点的电压相角1，2，实际上，对于每一个PQ节点或每一个PV节点都可以列写一个有功功率不平衡量方程式

Pi=Pis-Pi=Pis-ViV(Gjj1nijcosijBijsinij)0 （i=1,2，…，n-1）

公式 2

而对于每一个PQ节点还可以再列写一个无功功率不平衡量方程式

Qi=Qis-Qi=Qis-ViV(Gjj1nijsinijBijcosij)0 （i=1,2，…，m）

公式 3

式2和式3一共包含了n-1+m个方程式，正好同未知量的数目

PQ分解法极坐标表示

相等，而比直角坐标形式的方程式少了n-1-m个。

对于方程式2和式3可以写出修正方程式如下：

PHQKN1LVD2V 公式 4

式中

Q11P1Q22QPP2Pn1； n1 Qn1； 

V1V1V2VV2VD2Vn1 ； Vm 公式 5

H是(n-1)×(n-1)阶方阵，其元素为

NijVjPiVjQiVjHijPij；N是(n-1)×m阶矩阵，其元素为

Qij；K是m ×(n-1)阶矩阵，其元素为。

Kij；L是m × m阶方阵，其元素为

LijVj4. 对牛顿—拉夫逊法潮流计算的数学模型进行简化修正

PQ分解法极坐标表示

在交流高压电网中，输电线路的电抗要比电阻大得多，系统中母线有功功率的变化主要受电压相位的影响，无功功率的变化则主要受母线电压幅值变化的影响。在修正方程式

PPQQ的系数矩阵中，偏导数V和的数值相对于偏导数和V是相当小的。

作为简化的第一步，可以将上式子块N和K略去不计，即认为它们的元素都等于零。这样，n-1+m阶的方程式便分解为一个n-1阶和一个m阶的方程。PH

PQ分解法极坐标表示

QLVD1

这一简化大大地节省了机器内存和解题时间。

以上方程式表明，节点的有功功率不平衡量只用于修正电压的相位，节点的无功功率不平衡量只用于修正电压的幅值。这两组方程分别轮流进行迭代，这就是所谓有功-无功功率分解法。

但矩阵H和L的元素都是节点电压幅值和相角差的函数，其数值在迭代过程中是不断变化的。因此，最关键的一步简化就在于，把系数矩阵H和L简化成常数矩阵。它的根据是什么呢?在一般情况下，线路两端电压的相角差是不大的(不超过100~200)，因此可以认为

cosij1,Gijsinij《Bij

此外，与系统各节点无功功率相适应的导纳BLDi必远小于该节点自导纳的虚部

BLDiQ《BVi2iii《VBQ 或

2iiii

考虑到以上的关系，矩阵H和L的元素的表达式便被简化成

HVVBijijij （i，j=1，2，…，n-1） 公式 6

LVVBijijij （i，j=1，2，…，m） 公式 7

PQ分解法极坐标表示

而系数矩阵H和L则可以分别写成

V1B11V1VBV2211VB1V1H=n-1n-1，V1B12V2V2B22V2Vn-1Bn-1，2V2V1B1，n-1Vn-1V2B2，n-1Vn-1Vn-1Bn-1,n-1Vn-1

V1V2==VD1BVD2B1121BVn-1Bn-1,1 B12B22Bn-1,2 B1，n-1B2，n-1V1B×

n-1，n-1 V2 Vn-1

公式 8

PQ分解法极坐标表示

L=

V1B11V1VBV2211VmBm1V1V1B12V2V2B22V2VmBm2V2V1B1mVmV2B2mVmVmBmmVm

V1VB11B122B21B22=VmBm1Bm2=VD1BVD2 代入得:

PVD1BVD1 QVD2BV 这就是简化了的修正方程，也可展开为

P1VP12B11B12B1，n-1V2B21B22B2，n-1V11Pn-1V22Vn-1=－Bn-1,1Bn-1,2Bn-1,n-1Vn-1n-1B1mBV12mV2Bmm×Vm

公式 9

公式 10

公式 11

公式 12

PQ分解法极坐标表示

Q1V1Q2V2QmVm=－

B11B12B1mBBB21222mBBBm1m2mmV1V2Vm 公式 13

在这两个修正方程式中，系数矩阵都由节点导纳矩阵的虚部构成，只是阶

PQ分解法极坐标表示

次不同，矩阵B为n-1阶，不含平衡节点对应的行和列，矩阵B为m阶，不含平衡节点和PV节点所对应的行和列。由于修正方程的系数矩阵为常数矩阵，只要作一次三角分解，即可反复使用，结合采用稀疏技巧，还可进一步的节省机器内存和计算时间。

PQ分解法的直角坐标表示

二、 PQ分解法的直角坐标解法

1.

PQ分解法直角坐标表示原理

PQ分解法相应的直角坐标牛顿—拉夫逊法德计算公式在推到直角坐标牛顿—拉夫逊的计算公式是令：

YijGijjBij

Vejfiii 公式 14

•PijQViYijVjii1n （i=1,2.，…，n） 公式 15

将式14代入式15并展开分出实部和虚部得：

Pe(GeBfiij1ijjijnj)f(Gfij1ijnjBijej)

Qif(GeBfij1ijjijnj)ei(Gijj1nfjBijej)

和Q假设系统中的第1,2,3，…，m号节点为PQ节点，第i个节点的给定功率设为P对该节点可列写方程

isis,

PiPisPe(GeBfPiisij1ijjijnj)f(Gfij1ijnjBijej)

PQ分解法的直角坐标表示

QQQiiisQisf(GeBfij1ijjijnj)ei(Gijj1nfjBijej)

对PQ解法采用直角坐标解法可以大大减少三角函数的计算，提高计算速度，计算精度也有所改善。

2. PQ法简化的说明

假设：有功的改变主要受电压虚部（相角）的影响，无功的改变主要受电压实部（幅值）的影响。

PifjHijPQ分解法的直角坐标表示

PHQM2Vi=RNLSfe 公式 16

式16写成

PH0Q0Lf2Vi=0Se 公式 17

式17写成

PHf 公式 18

QLeVi2Se 公式 19

如无PV节点式19可写为

QLe 公式 20

式18、式20或式19是直角坐标的PQ分解法的解耦法。

这时，式18、式20可写成

PeBf 公式 21

PQ分解法的直角坐标表示

QBee 公式 22

22得：

P1e1P2B11e2B21Pn-11e=n-1Bn-1,1B12B22Bn-1，2B1，n-1B2，n-1f1f2Bn-1，n1fn-1 公式 23

展开式21、 基于因子表法的PQ分解法

三、 基于因子表法的PQ分解法

因子表法：将系数矩阵B和B各分解成前代和回代用的因子表，在每次

100a(1)1210aa(1)1m(2)2mbb12(nb)n迭代中不必重新形成因子表，只需形成节点功率不平衡量，通过对因

1（2）(1)子表的前代和回代求电压相位、有效值的修正量。

非对角元素：

Gijsin《ijBijcosij1HijLijUiBijUjHijUiUj(GijsinijBijcosij)Lij

对角元素：

2HijQiBiiUi22《UiBiiQiLiiQiBiiUiHLUBU

iiiiiiii-1左乘U1UPBU-1-1-1简化修正方程UQBU QLUUUBU(UU)UBUPHUBUU-1PBUB(n-1阶）-1B(n-m-1阶）UQBU 注：U—节点电压有效值的对角矩阵diagU

B—电纳矩阵(导纳矩阵元素的虚部)

基于因子表法的PQ分解法

对称常数矩阵因子表法

B(n-1阶)：不考虑与有功、电压相位关系小的因素如不考虑线路、变压器对地电纳

PQ分解法的简化算法

四、 PQ分解法潮流计算的简化算法

PQ分解法潮流计算修正方程的简化

根据极坐标表示的牛顿-拉夫逊法可得：

每一个PQ或PV节点的有功功率不平衡方程：

Pi=Pis-Pi=Pis-ViV(Gjj1nijcosijBijsinij)0 （i=1,2，…，n-1）

公式 24

每一个PQ节点的无功功率不平衡方程：

Qi=Qis-Qi=Qis-ViV(Gjj1nijsinijBijcosij)0 （i=1,2，…，m）

公式 25

由此可以写出修正方程如下：

PHQKNVLV 公式 26

对式24和式25求偏导数，可以得到雅克比矩阵元素的表达如下：

PQ分解法的简化算法

a) 当i≠j时

HijViVj(GijsinijBijcosij)NijViVj(GijcosijBijsinij)KijViVj(GijcosijBijsinij)LijViVj(GijsinijBijcosij)

b) 当i＝j时

HiiVi2BiiQiNiiVi2GiiPiKiiVi2GiiPiLiiVi2BiiQi

对修正方程的第一个简化是：将式26中的N、K子阵略去而将其简化为

PH0Q0LVV 公式 27

上式可分别写成以下两式

PH 公式 28

QLVV对修正方程式的第二个简化式：

公式 29

PQ分解法的简化算法

在一般情况下，线路两端电压的相角差是不大的(不超过100~200)，因此可以认为

cosij1,Gijsinij《Bij

因此可得：

HVVBijijij （i，j=1，2，…，n-1）

LVVBijijij （i，j=1，2，…，m）

HiiVi2BiiQiLiiVi2BiiQi

对修正方程的第三个简化是：当采用标幺值计算是，可近似地认为各节点电压的大小

Vi1，且当忽略接地支路时，导纳元素的对角元为非对角元之和，这样可得：

HijBij

LijBij HiiBii LiiBii

且此时式29也可以简化为

QLV 公式 30

这是雅克比矩阵的两个子阵H、L具有相同的表达式，只是其阶数不同，前者为（n-1）阶，后者为m阶，两个子阵的展开式如下：

PQ分解法的简化算法

B11B21B31B12B22B32B13B23B33

将式28代入式30可得：

P1P2Pn-1B11B21B=－n-1,1B12B22Bn-1,2B1，n-1B2，n-1Bn-1,n-112n-1 公式 31

Q1Q2Qm=－

B11B12B1mBBB21222mBBBm2mmm1V1V2Vm 公式 32

式31和式32可简写为

PBQBV 公式 33

式33为简化P—Q分解法的修正方程式，原P—Q分解法的修正方程的简化形式

PBVVQBVV

通过两者的比较可知，简化P—Q分解法的修正方程式比原P—Q分解法的修正方程

PQ分解法的简化算法

更为简单。

小结

五、 小结

1. PQ分解法的修正方程式的特点

1) 以一个(n-1)阶和一个(m-1)阶系数矩阵B、B替代原有的系数矩阵J，提高了计算速度，降低了对贮存容量的要求。

2) 以迭代过程中保持不变的系数矩阵B、B替代原有的系数矩阵J，显著的提高了计算速度。

3) 以对称的系数矩阵B、B替代原有的系数矩阵J，使求逆等运算量和所需的储存容量都大为减少。

2. PQ分解法潮流计算的基本步骤

1) 形成系数矩阵B、B，并求其逆矩阵。

(0)(0)Uii2) 设各节点电压的初值为(i=1,2，…，n，i≠s)和(i=1,2，…，m，i≠s)。

(0)Pi3) 通过有功功率的不平衡方程计算有功功率的不平衡量,从而求出

Pi(0)Ui(0)

(i=1,2，…，n，i≠s)。

(0)i4) 解修正方程式，求各节点电压相位角的变量(i=1,2，…，n，i≠s)

(1)(0)(0)5) 求各节点电压相位角的新值iii(i=1,2，…，n，i≠s)。

小结

Qi(0)(0)6) 通过无功功率的不平衡方程计算无功功率的不平衡量Qi，从而求出Ui(0)

(i=1,2，…，m，i≠s)。

(0)Ui7) 解修正方程式，求各节点电压大小的变量(i=1,2，…，m，i≠s)。

(1)(0)(0)UUUiii8) 求各节点电压大小的新值(i=1,2，…，m，i≠s)。

9) 运用各节点电压的新值自第三步开始进入下一次迭代。

10) 计算平衡节点功率和线路功率

需要说明，分解法所在的种种简化只涉及到解题过程，而收敛条件的校验仍然是以精确地模型为依据，所以计算结果的精度是不受影响的。但要注意，在各种简化条件中，关键是输电线路的r／x比值的大小。110kv及以上电压等级的架空线的r／x比值较小，一般都符合PQ分解法的简化条件。在35kv及以上电压等级的电力网中，线路的r／x比值较大，在迭代计算中可能出现不收敛的情况。

参考文献

参考文献

1、何仰赞，温增银. 电力系统分析(上、下册)(第三版). 武汉：华中科技大学出版社，2002

2、周全仁，张清益. 电网计算与程序设计. 长沙：湖南科学技术出版社，1983

3、杨健霑. C语言程序设计. 武汉：武汉大学出版社，2006

4.《电力系统稳态分析》陈珩 中国电力出版社

5.《电力系统暂态分析》李光琦 中国电力出版社

6.《电力系统计算》 水利电力出版社