2020高考数学复习专题42 等比数列(解析版)

专题知识梳理1．等比数列的定义等比数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．2．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1qn1，这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1

－

为首项，q为公比．第二通项公式为：an＝amqn

3．等比数列的前n项和公式－m

a1（1－qn）a1－anq等比数列{an}的前n项和公式：Sn＝(q≠1)或Sn＝(q≠1)．1－q1－q注意：（1）当q＝1时，该数列是各项不为零的常数列，Sn＝na1；（2）有关等比数列的求和问题，当q不能确定时，应分q＝1，q≠1来讨论．4．等比数列的性质(1)若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，则G2＝ab．(2)等比数列{an}中，若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al，特别地，当m＋n＝2p时，am·an

＝a2p．(3)设Sm是等比数列{an}的前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m满足关系式(S2m－Sm)2＝Sm·(S3m－S2m)．(4)等比数列的单调性，若首项a1＞0，公比q>1或首项a1＜0，公比0考点探究考向1等比数列中基本量的计算【例】（1）（2018苏州模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且值为．S61915

，a4a2，则a3的S388（2）（2018年新课标I卷）记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2an+1，则S6=__________．【解析】（1）观察得公比q不为1，将条件代入前n项和为Sn及通项公式，得a1(1q6)19193159322

，，故。,1q,qaqa=aq(q1),a11311

4a1(1q3)8828（2）根据Sn=2an+1，可得Sn+1=2an+1+1，两式相减得an12an12n，即an+1=2an，当󰝊ﵰഀ时，1(126)所以数列{an}是以—1为首项，以2为公比的等比数列，所以S6S1a12a11,a11，63，12故答案是—63.题组训练11.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于4n1

．4111aq,3

【解析】由通项公式ana1q，得14q，故q。28aq21

2.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝____．2a13,【解析】当q=1时，S2＝3，S4＝15得∴6＝15矛盾；当q≠1时，4a115a1+a1q3,a1(1+q)3,24

q4，a1(1q)2

15a1(1q)(1q)151q∴S6S4a5a6S4a1q4(1q)153q41534263。3.设等比数列an满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________.【解析】设等比数列的公比为q，很明显q1，结合等比数列的通项公式和题意可得②a1a2a11q1，①，由可得：q2，代入①可得a11，2

aaa1q3，②①113

由等比数列的通项公式可得：a4a1q8.4.（2018·南通模拟）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+6a4，则a3的值为。3

【解析】将an=a1qn-1代入，得a1qa1q6a1q,a1q0,qq60，∴q3,qa3=a2q=3。753422

3，∴考向2等比数列的性质【例】(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝____；(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S1031＝，则公比q＝____．S53222222

【解析】(1)由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a28，a3a5＝a4，得a4＋a8＝41.∵a4a8＝5，∴(a4＋a8)＝a4＋2a4a8

＋a28＝41＋2×5＝51.又an>0，∴a4＋a8＝51.S10－S5S311(2)由10＝，a1＝－1知公比q≠1，则可得＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S53232S5

S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－11，q＝－.322题组训练8271.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为____．33827【解析】设插入的三个数依次为a2，a3，a4，则a2a4=a32=×，33827827∴a2a3a4=××=486。33332.等比数列{an}中，a1>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，则a3＋a5＝____．【解析】由等比数列下标性质，得a2a4=a32，a4a6＝a52，由a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，得a32+a52+2a3a5=36，，

（a3+a5）2=36，由a1>0，a3=a1q2>0，同理a5>0，故a3+a5=6。3.在正项等比数列{an}中，若a3a78，则log2a1log2a2log2a10=【解析】由等比数列{an}知，a1a10a2a9a3a78，故.log2a1log2a2log2a10=log2a1a2a10log2(a1a10)(a2a9)(a5a6)log28515。*

4.已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn1qSn1，其中q>0，nN.若2a2,a3,a22成等差数列，则{an}的通项公式为。【解析】由已知，Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n³1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan对所有n³1都成立.所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，从而an=qn-1.5.等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1＝________.1【解析】设等比数列{an}共有2k＋1(k∈N*)项，则a2k＋1＝192，则S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝(a2＋a4

qa1－a2k＋1q2a1－192×－221126＋…＋a2k)＋a2k＋1＝S偶＋a2k＋1＝－＋192＝255，解得q＝－2，而S奇＝＝＝255，qq1－q21－－22解得a1＝3.考向3等比数列的判定与证明【例】已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和Sn＝pn2＋2n，n∈N*.(1)求p的值及an；1(2)在等比数列{bn}中，b3＝a1，b4＝a2＋4，若{bn}的前n项和为Tn.求证：数列{Tn＋}为等比数列．6n（n－1）【解析】(1)Sn＝na1＋d＝na1＋n(n－1)＝n2＋(a1－1)n.又Sn＝pn2＋2n，n∈N*，∴p＝1，a1－12＝2，a1＝3，∴an＝3＋(n－1)2＝2n＋1.(2)证明：∵b3＝a1＝3，b4＝a2＋4＝9，∴q＝3，∴bn＝b3qn3＝3×3n3＝3n2，－

－

－

3n11nTn＋（1－3）3n－1n

1136＝6＝3(n≥2)，∴b1＝，∴Tn＝3＝，∴Tn＋＝，∴366613n－11－3Tn－1＋661∴数列{Tn＋}为等比数列．6题组训练1.已知数列{an}的前n项和为Sn，3Sn＝an－1(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列；(3)求an和Sn.11【解析】(1)由3S1＝a1－1，得3a1＝a1－1，∴a1＝－.又3S2＝a2－1，即3a1＋3a2＝a2－1，得a2＝.24an1111(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－，∴{an}是首项为－，公比为3322an－1

1－的等比数列．2111－（－）n

（－）21n112(3)由(2)可得an＝(－)，Sn＝＝－[1－(－)n]．23211－（－）22.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解析】Sn＋1＝4an＋2，Sn＝4an－1＋2，上式减下式，得an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn

－1

(1)由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1

anan＋1an313a1，∴＋－n＝，故2n是首项为，公差为的等差数列．∴n＝＋242n22n12433n－1－

(n－1)·＝，故an＝(3n－1)·2n2.443.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．【解析】(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.综上，a2＝4，a3＝8.(2)证明a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．Sn＋2∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴＝2，Sn－1＋2故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．