第2课时 实际问题与一元二次方程〔2〕
【知识与技能】
1.继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型；
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理. 【过程与方法】
经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体验解决问题策略的多样性，开展数学应用意识.
【情感态度】
通过构建一元二次方程解决身边的问题，体会数学的应用价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和开展人类理性精神的作用.
【教学重点】
列一元二次方程解决应用问题. 【教学难点】
寻找问题中的等量关系. 一、情境导入，初步认识
问题1 通过上节课的学习，请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么?
问题2 现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？你能解决这一问题吗？不妨试试看.
【教学说明】问题1的目的是引导学生回忆前面学过的知识，为本节课的学习作好铺垫；问题2那么过渡到本节要处理的问题中来，使学生初步感受到一元二次方程也是解决几何问题的重要手段之一，引入新课.
二、思考探究，获取新知 探究教材20页探究3.
【教学说明】让学生自主探究，相互交流，尝试寻求解决问题的方法.为了帮助学生更好地理解题意，可设置如下几个问题：〔1〕长方形的长与宽的比是多少呢？〔2〕如果设出长方形的长的话，你能求出左、右边衬的宽吗？
上、下边衬的宽呢？〔3〕问题中的等量关系是什么？由此你能得到怎样的方程？〔4〕如果将问题中的等量关系〔四周彩色边衬所占面积是整个长方形面积的四分之一〕转化为长方形面积与整个长方形面积之间的关系时，结论如何？由此你又能列出怎样的方程呢？然后教师在巡视过程中，关注学生的解题方法，选取有代表性的依据不同方式而获得结论的学生上黑板展示他们的解答过程，共同分析，提高认知.
三、典例精析，掌握新知
例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？〔精确到0.1尺〕
分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为〔2x+3〕尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.
解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为〔6+2x〕(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x21≈0.84,x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.
例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.
〔1〕假设所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽； 〔2〕如果墙长为18m，那么(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？ 〔3〕能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由. 分析:如图,假设设BC=xm，那么AB的长为
35xm,假设设AB=xm,那么2BC=(35-2x)m,再利用题设中的等量关系，可求出〔1〕的解；在〔2〕中墙长a=18m意味着BC边长应小于或等于18m,从而对〔1〕的结论进行甄别即可；〔3〕中可借助〔1〕的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.
解:(1)设BC=xm,那么AB=CD=解这个方程，得x1=20,x2=15.
当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=15m时，AB=CD=10m.即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m;
35x35x，依题意可列方程为x·=150, 22(2)当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;
(3)不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC=xm,由〔1〕知AB=
35x35xm,从而有x·=160,方程整理为x2Δ=352-4×1×320=1225-128022＜0,原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.
【教学说明】以上两例均应先让学生思考，探索出问题的解.教师在学生自主探究过程中，应关注学生是否能正确理解题意，如何设未知数并构建方程，是否能根据问题的实际意义检验结果的合理性等，及时帮助学生克服困难，掌握列方程解决实际问题的方法.最后师生共同给出答案.让学生进一步加深理解，在反思中获取新知.
四、运用新知，深化理解
1.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，那么斜边长为〔 〕 A.37 C.38
2.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，假设余下的长方形的面积为48cm2，那么原来正方形的铁皮的面积为 .
3.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，假设整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.
4.某种服装进价每件60元，据市场调查，这种服装按80元销售时，每月可卖出400件，假设销售价每涨价1元，就要少卖出5件，如果服装店预计在销售这种服装时每月获利12000元，那么这种服装的销售价定为多少时，可使顾客更实惠?
【教学说明】让学生学以致用，稳固新知. 2
3.设花边的宽为xm，依题意有〔6+2x〕(3+2x)=40，解得x1=1,x2=-11/2(不合题意应舍去)，即花边的宽度为1m.
4.设销售价提高了x个1元，那么每月应少卖出5x件.依题意可列方程为〔80+x-60〕×(400-5x)=12000.解这个方程，得x1=20,x2=40.显然，当x=40时，销售价为120元，当x=20时，销售价为100元，要使顾客得到实惠，那么销售
价越低越好，故这种服装的销售价应定为100元适宜.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，谈谈你对列一元二次方程解决实际问题的体会和收获？你认为有哪些地方需要特别注意？
【教学说明】让学生回忆整理本节知识，反思学习过程的体会，加深理解. 1.布置作业：从教材“〞中选取. “课时作业〞局部.
1.面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的应用题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提高，对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.
2.列一元二次方程解应用题是让数学来源于生活，是对一元二次方程解法的延伸，同时又是一元二次方程或二元一次方程组解应用题步骤的总结和内容的升华，列一元二次方程解应用题是下章中学习二次函数解决问题的根底. 第1课时
教学目标
1.认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形. 2.经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系.
3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题. 4.帮助学生树立几何知识源于客观实际,用客观实际的观念,激发学生学习的兴趣.
重点、难点
重点:
1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三条形. 2.能从图中识别三角形.
3.通过度量三角形的边长的实践活动,从中理解三角形三边间的不等关系. 难点:
1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形. 2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.
教学过程
一、看一看
1.投影:图形见章前P1图.
教师表达: 三角形是一种最常见的几何图形之一.(看条件许可, 可以把古埃及的金字塔、飞机、飞船、分子结构……的投影,给同学放映)从古埃及的金字塔到现代的飞机、上天的飞船,从宏大的建筑如P68-69的图,到微小的分子结构, 处处都有三角形的身影.结合以上的实际使学生了解到:我们所研究的“三角形〞这个课题来源于实际生活之中. 学生活动:(1)交流在日常生活中所看到的三角形. (2)选派代表说明三角形的存在于我们的生活之中.
2.板书:在黑板上老师画出以下几个图形.
(1)教师引导学生观察上图:区别三条线段是否存在首尾顺序相接所组成的.图(1)三条线段AC、CB、AB是否首尾顺序相接.(是) (2)观察发现,以上的图,哪些是三角形?
(3)描述三角形的特点:
板书:“不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形〞. 教师提问:上述对三角形的描述中你认为有几个局部要引起重视. 学生答复:
一直线上的三条线段. b.首尾顺次相接. 二、读一读
指导学生阅读课本P2,第一局部至思考,一段课文,并答复以下问题: (1)什么叫三角形?
(2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点? (3)三角形ABC用符号表示________.
(4)三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.
三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的三边,AB可用边AB的所对的角C的小写字母c 表示,AC可用b表示,BC可用a表示. 三、做一做
画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?
同学们在画图计算的过程中,展开议论,并指定答复以上问题: (1)小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线. a.从B→C b.从B→A→C
(2)从B沿边BC到C的路线长为BC的长.
从B沿边BA到A,从A沿边C到C的路线长为BA+AC.
经过测量可以说BA+AC>BC,可以说这两条路线的长是不一样的. 四、议一议
1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系? 2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系? 3.三角形三边有怎样的不等关系?
通过动手实验同学们可以得到哪些结论?
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 五、想一想
三角形按边分可以,分成几类? 六、练一练
有三根木棒长分别为3cm、6cm和2cm,用这些木棒能否围成一个三角形? 分析:(1)三条线段能否构成一个三角形, 关键在捡判定它们是否符合三角形三边的不等关系,符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构成一个三角形.
(2)要让学生明确两条木棒长为3cm和6cm,要想用三根木棒合起来构成一个三角形,这第三根木棒的长度应介于3cm和9cm之间,由于它的第三根木棒长只有2cm,所以不可能用这三条木棒构成一个三角形. 错导:∵3cm+6cm>2cm
∴用3cm、6cm、2cm的木棒可以构成一个三角形.
错因:三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,这里3+6>2,没错,可6-3不小于2,所以答复这类问题应先确定最大边,然后看小于最大量的两量之和是否大于最大值,大时就可构成,小时就无法构成. 七、忆一忆
今天我们学了哪些内容:
1.三角形的有关概念(边、角、顶点) 2.会用符号表示一个三角形.
3.通过实践了解三角形的三边不等关系. 八、作业
课本P8习题11.2第1、2、6、7题.
