维普资讯 http://www.cqvip.com 第２２卷第８期 重庆工学院学报（自然科学） ２００８年８月 Ｖｏ１．２２ Ｎｏ．８ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ａｕｇ．２００８ 二阶常系数非齐次线性微分方程 通解的简易求解法 余镭君 （贵州大学理学院，贵阳５５０００３） 摘要：介绍了求解二阶常系数非齐次线性微分方程的２种简易方法——降阶法和积分法，扩大了 可求解二阶常系数非齐次线性微分方程的范围，并举例说明了它们的应用． 关键词：微分方程；通解；特解 中图分类号：０１７５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１一ｏ９２４（２ｏｏ８）￣一００８５—０２ Ａ Ｓｉｍｐｌｅ Ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ Ｓｏｌｖｅ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ Ｏｒｄｅｒ ２ Ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ Ｎｏｎ－ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｌｉｎｅａｒ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＳＨＥ ＿ｊｕｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｂａｓｉｃ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｇｕｉｄｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕｉｙａｎｇ ５５０００３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｗｏ ｃｏｎｃｉｓｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ａ ｎｏｎ－・ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅ－・ ｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，ｅｎｌａｒｇｅｓ ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｓｏｌｕｂｌｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄ ｅｘｐｌａｉｎｓ ｈｔｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅｍ ｂｙ ｅｘａｍｐｌｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｓｐｅｃｉｌａ ｓｏｌｕｔｉｏｎ 对于 解［ 一５１．若自由项不属于上述２种特殊形式则用 ＋ ＋ｑＹ＝ ） （１） 常数变易法．但学生往往对这２种方法感到知其 其中Ｐ，ｑ为常数，其通解Ｙ为式（１）对应的齐次 然而不知其所以然，而且运算很麻烦．本研究介绍 线性微分方程 ２种方法，不管自由项为何种形式，都能简易的求 ＋ ＋ｑＹ＝０ （２） 出式（１）的通解，并举例说明它们的应用． 的通解Ｙ（ ）与式（１）本身的一个特解Ｙ 之和．求 式（１）的通解的关键是求其特解，而目前的高等数 １ 降阶法 学教材在讲授 ＋ＰＹ ＋ｑＹ＝厂（ ）特解的求法时， 式（１）的自由项厂（ ）＝ｅＡｘＰ （ ）或，（ ）＝ 定理１ 若二阶常系数非齐次线性微分方程 ｅｈ［ｐｌ（ ）ＣＯＳＯｆ￣＋Ｐ （ｘ）ｓｉｎａｒｘ］用比较系数法求 ＋ＰＹ ＋ｑＹ＝厂（ ）（式（１））对应的特征方程ｒ ＋ 收稿日期：２００８—０６—０９ 作者简介：余智君（１９７６一），女，湖南人，讲师，主要从事高等数学研究 维普资讯 http://www.cqvip.com ８６ 重庆工学院学报 ｐｒ＋ｑ＝０的特征根为ｒｌ，ｒ２，则式（１）的通解为 Ｙ＝ｅ ｅ（ｒｌ－ｒ２） Ｉ ｆ（ｘ）ｅ－ｒ２￣ｄｘ］ｄｘ＋ ｅｌｅ ２ Ｉｅ（ｒｌ－ｒ２）ｘｄｘ＋Ｃ２ｅｒ２ ． 证明 因为ｒｌ＋ｒ２＝一Ｐ，ｒｌ ｒ２＝ｑ，则式（１）变为 一（ｒｌ＋ｒ２）Ｙ ＋ｒｌｒ２ｙ＝ｆ（ ），即（Ｙ 一ｒ２），） 一 ｒｌ（）， 一ｒ２ｙ）＝，（ ）．设 ＝Ｙ 一ｒ２ｙ，则式（１）降为 阶线性微分方程ｙ＇－ｒ２ｙ＝ ｖ一．（ ） ４３； 由一阶线性微分方程的通解公式得： 式（３）的通解为Ｙ＝ｅｒｚ （Ｉ ｅ ｚ ｄｘ＋ｃ１），式 （４）的通解为 ＝ｅｒｔ （Ｉ ｆ（ｘ）ｅ ｔ ｄｘ＋Ｃ２） ・ 于是得式（１）的通解： ），：ｅ叫ｅ（ｒＩ ） ［ｊ’ －ｒ， ］ｄ ＋ ｃｌｅｒ２ｘｆ ｅｃ ｒｔ—ｒｚ ｄ ＋ｃ２ｅｒ２ｘ ２积分法 定理２设 （ ）是式（１）对应的齐次线性方程 ＋刀 ＋ｑＹ＝０（式（２））的一个解，且满足 （０）＝０， （０）＝１，贝４ Ｙ （ ）＝Ｉ ｔ） （ —ｔ）ｄｔ是式（１） ０ 的特解．而Ｙ＝Ｙ（ｘ）＋Ｙ （ ）是式（１）的通解． 注意：如果ｆ（ ）在 ＝０连续，一般取 ＝０， ｒ 即Ｙ （ ）＝Ｉ ｆ（ｔ） （ —ｔ）ｄｔ． ０ ． 证明 因为 （０）＝０， （０）＝１， ， ｒ ｙ ＝ ） （０）＋Ｊ。 ｔ） 一ｔ）ｄｔ＝ Ｊｒ ） 一ｔ）ｄｔ 。 － ｒ ｙ ＝，（ ） （０）＋Ｊ。，（ｔ） （ —ｔ）ｄｔ＝ Ｊｒ ） （ —ｔ）ｄｔ 。 所以Ｙ ＋ｐＹ ＋ｑＹ ＝ ｒ ，（ ）＋Ｊ。 ） （ —ｔ）ｄｔ＋ ｐ Ｊ。 ｔ） 一ｔ）ｄｔ＋ ｇ Ｊ。 ｔ） （ —ｔ）ｄｔ＝ ，（ ）＋Ｊ。 ）［ （ —ｔ）＋ （ —ｔ）＋ｑｇ（ｘ—ｔ）］ｄｔ＝ｆ（ｘ） 故）， ＝Ｊ。，（ｔ） （ —ｔ）ｄｔ是（１）的特解・ 而＇，：Ｙ （ ）＋ｙ（ ）是式（１）的通解． ３ 实例 例１ 求 一２）， ＋），＝ 的通解． 解：方程对应的特征方程为ｒ 一ｒ＋１＝０，其 特征根ｒｌ＝ｒ２＝１． 由定理１得方程的通解： ），：ｅ叫ｅ（ｒＩ－ｒ２） ［．『 ）ｅ ］ｄ ＋ Ｃ１ｅｒ２ｘｆ ｅｃ，ｔ一 ， ｄ ＋ｃ：ｅ ： ｅ ｊ’［ｊ’ ｅ ｄ ＋ｃ－ｅ ｊ’・ｄ ＋ｃ２ｅｘ＝ ｅ ａｒｃｔａｎ ｄ ＋ｃ。 ｅ ＋ｃ２ｅｘ： ｅ ［ｘａｒｃｔａｎｘ一去ｌｎ（１＋ ２）］＋Ｃｌｘｅ ＋ｃ２ｅ 例２求 ＋Ｙ＝１一÷一的通解． ’ Ｓｌｎ 解：方程对应的齐次线性方程 ＋Ｙ＝０的通 解为Ｙ（ ）＝Ｃｌｓｉｎｘ＋Ｃ２ＣＯＳＸ， 所以ｙ，（ ）＝ＣｌＣＯ￣￥Ｘ—Ｃ２ｓｉｎｘ 由初始条件：Ｙ（Ｏ）＝０，ｙ，（０） １ ｃｌ：１，ｃ２：０ 于是得到 ＋Ｙ＝０的一个特解为Ｙ０（ ）＝ｓｉｎｘ． 又因为 ）在 ：０点不连续，所以这时取 ０＝ ．由定理２得方程的特解： Ｙ ＝＝Ｉｊ ｓ ｉｎ（ｘ （一ｔ）（１一 ） ｄｔ＝ ｊ ｎ…ｓｔ—ｓ ｎｔ－ｓｉｎ …ｓ ｔ＝ １一ｓｉｎ —ｓｉｎｘｌｎｌ ｓｉｎ ｌ＋（ 一号）ｃ… （下转第１１１页） 维普资讯 http://www.cqvip.com 李科银，等：基于无线个域网的主动监控系统设计 器将代码转换成标准的ｃ语言程序，并调用ｃ编 译器编译连接生成最终的机器码．整个ＴｉｎＯＳ操作 系统由几个模块组成，可根据用户的需求不同而 定制． 系统定制的组件包括系统标准组件、ＬＥＤ组 １１１ 个红外传感节点．事实上，可以制作更多的传感节 点，包括加速度、声音、温度、光照等，以实现对于 区域的监控． 对于本系统的验证节点可以拓展到智能手机 上，只要有蓝牙或者ＷＩＦＩ的手机，我们就可以实 现身份的验证，这样就可以省去用户标识节点，既 件、通讯组件、ＸＣｏｍｍａｎｄ（命令处理）组件、红外信 号采集组件（自制）． 节约了成本，又极大的提高了系统的易用性． 在ＴｉｎｙＯＳ上应用ＮｅｓＣ编写应用程序，以实现 还可以在现有系统上扩充ＧＰＲＳ模块．当非法 红外采集节点、用户标识节点、Ｓｉｎｋ节点的功能． 入侵报警后，系统自动向所有工作人员的手机上 所有这些应用都是基于上段所述的组件进行的开 发送该入侵人员的图像资料和信息，这样对于抓 发． 捕非法入侵者有很大的帮助． ５．３ ＷｉｎＣＥ 用ＶＳ２００５．ｎｅｔ进行嵌入式平台上的程序开 参考文献： 发 ６．主要是应用了ＭＦＣ库，以及用Ｐｌａｔｆｏｒｍ Ｂｕｉｌｄｅｒ生成的与平台相关的ＳＤＫ． ［１］丰燕华．构建实时的校园网络监控系统，提升主动网 监控程序通过创建一个客户端Ｓｏｃｋｅｔ与Ｓｉｋｎ 络管理能力［Ｊ］．农业网络信息，２ｏｏ６（１２）：７０—７２． 节点相连接．Ｓｉｋｎ节点通过ＺｉｇＢｅｅ与其他节点通 ［２］郭建斌．红外热释电效应在火焰探测中的应用［Ｊ］． 信，然后把收到的信息传给监控程序．监控程序对 中国科技信息，２ｏ０８（１）：２７０—２７１． 传来的数据包进行分析，然后进行判断，是否报警 ［３］刘鹏．基于主动网络技术的混合网络监控系统［Ｊ］． 或者进行查询． 计算机工程与设计，２ｏｏ４（９）：６６—６８． ［４］林喜源．基于ＴｍｙＯＳ的无线传感器网络体系结构 ［Ｊ］、单片机与嵌入式系统应用，２ｏｏ６（９）：４４—４７． ６结束语 ［５］ 商士栋．基于ＣＣ１１００的无线传感器网络系统研究 ［Ｄ］．武汉：武汉科技大学，２Ｏ０７． 整个系统的通信介质除了Ｓｉｋｎ节点和下位机 ［６］ 郑昱异．ＷｉｎＣＥ版使用手册［ｚ］．北京：文魁资讯， 之间是采用有线通讯外，其它介质均为无线，这极 ２ＯＯ０． 大增强了系统的可扩展性．原形机中只安放了一 （责任编辑刘舸） （上接第８６页） 所以原方程的通解为： 参考文献・： Ｙ ｃｌｓｉｎｘ＋Ｃ２ＣＯＳＸ＋１一ｓｉｎｘ— ［１］ 同济大学数学教研室主编．高等数学：下册［Ｍ］．４ ｓｉｎｘｌｎ［ｓｉｎｘ Ｉ＋（ 一号）ｃｏｓ ＝ｃ３ｓｉｎ ＋ 版．北京：高等教育出版社，２ＯＯ０． Ｃ４ＣＯＳＸ＋１＋ＸＣＯＳＸ—ｓｉｎｘｌｎＩ ｓｉｎｘ Ｉ ［２］王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程［Ｍ］．２版． 北京：高等教育出版社，１９９６． 其中ｃ，＝ＣＩ一１，ｃ４－－Ｃ２一号 ［３］赵树．微积分（经济应用数学基础之一）［Ｍ］．北京：中 以上２个例子已不能用高等数学教材中的比 国人民大学出版社，１９９９． 较系数法求解，但可用降阶法和积分法求解，这说 ［４］ 张云艳．常系数非齐次线性微分方程的几个解法 ［Ｊ］．黄山学院学报，２ＯＯ４，６（３）：８—９． 明这２种方法更具一般性，从而扩大了可求解二 ［５］杨淑蛾，焦琳．二阶微分方程的非常规解法［Ｊ］．徐州 阶常系数非齐次线性微分方程的范围． 工程学院学报。２ＯＯ５，２ｏ（３）：８４—８５． （责任编辑刘舸）
