平果县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

平果县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． （理）已知tanα=2，则A．

B．

C．

D．

=（ ）

2． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ） A．y=x﹣1

B．y=lnx

C．y=x3 D．y=|x|

3． 给出以下四个说法：

①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ②线性回归直线一定经过样本中心点，；

③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=；

④对分类变量X与Y它们的随机变量K2的观测值k越大，则判断“与X与Y有关系”的把握程度越小． 其中正确的说法的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

4． 设i是虚数单位，若z=cosθ+isinθ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2y5． 已知e为自然对数的底数，若对任意的x[,1]，总存在唯一的y[1,1]，使得lnxx1aye

1e成立，则实数a的取值范围是（ ）

A.[,e] B.(,e] C.(,) D.(,e)

【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．

1e2e2e2e1ex1yi，其中x,y是实数，是虚数单位，则xyi的共轭复数为 1iA、12i B、12i C、2i D、2i

6． 已知

7． 某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m），则该工程需挖掘的总土方数为（ ）

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A．560m3 B．540m3 C．520m3 D．500m3

8． 执行右面的程序框图，如果输入的t[1,1]，则输出的S属于（ ） A.[0,e2] B. (-?,e2] C.[0,5] D.[e3,5]

【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用． 9． 如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）

A．（∁UB）∩A B．（∁UA）∩B C．∁U（A∩B） D．∁U（A∪B） 10．下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（ ） A．瑞雪兆丰年

B．名师出高徒 C．吸烟有害健康

D．喜鹊叫喜

11．已知函数f(x)3sinxcosx(0)，yf(x)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于

A．x，则f(x)的一条对称轴是（ ）

12 B．x12 C．x6 D．x

6

12．函数f（x）=x3﹣3x2+5的单调减区间是（ ） A．（0，2） B．（0，3）

C．（0，1） D．（0，5）

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二、填空题

13．已知α为钝角，sin（

14．（文科）与直线x3y10垂直的直线的倾斜角为___________． 15．已知

是等差数列，

为其公差,

是其前项和，若只有

是

中的最小项,则可得出的结论中

所有正确的序号是___________ ①

②

③

④

⑤

+α）=，则sin（

﹣α）= ．

16．抛物线y=x2的焦点坐标为（ ） A．（0， 17．计算：

）

B．（

，0）

C．（0，4） D．（0，2）

1

×5﹣= ．

18．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：

那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．

三、解答题

19．已知等差数列{an}，等比数列{bn}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）记cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．

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（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，求a的取值范围．

21．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

22．对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=

．若集合A满足下

列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω． 如当n=2时，E2={1，2}，P2=所以P2具有性质Ω．

（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω． （Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B． （Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B，求n的最大值．

．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，

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23．已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣），a∈R． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）的最小值为0． （i）求实数a的值；

（ii）已知数列{an}满足：a1=1，an+1=f（an）+2，记[x]表示不大于x的最大整数，求证：n＞1时[an]=2．

24．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边

长的概率为（ ） A BCD

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平果县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：∵tanα=2，∴故选D．

2． 【答案】D

【解析】解：选项A：y=

在（0，+∞）上单调递减，不正确；

=

=

=

．

选项B：定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故y=lnx为非奇非偶函数，不正确；

3333

选项C：记f（x）=x，∵f（﹣x）=（﹣x）=﹣x，∴f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数，又∵y=x区间

（0，+∞）上单调递增，符合条件，正确；

选项D：记f（x）=|x|，∵f（﹣x）=|﹣x|=|x|，∴f（x）≠﹣f（x），故y=|x|不是奇函数，不正确． 故选D

3． 【答案】B

【解析】解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错； ②线性回归直线一定经过样本中心点（，），故②正确； ③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=，正确；

④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④不正确． 故选：B．

【点评】本题考查统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题．

4． 【答案】B

【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ）， 且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限， ∴故选：B．

【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．

，∴θ为第二象限角，

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5． 【答案】B

【

解

析

】

6． 【答案】D

【解析】

x1(xxi)1yi,x2,y1,故选D 1i27． 【答案】A

【解析】解：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，易得抛物线过点（3，﹣1），其方程为y=﹣S1=

下部分矩形面积S2=24，

故挖掘的总土方数为V=（S1+S2）h=28×20=560m．

3

，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积=2

=4，

故选：A．

【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查，考查学生的计算能力，属于中档题．

8． 【答案】B

9． 【答案】A

【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成， ∴对应的集合表示为A∩∁UB．

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故选：A．

10．【答案】D

【解析】解：根据两个变量之间的相关关系，

可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收， 名师出高徒也具有相关关系， 吸烟有害健康也具有相关关系， 故选D．

【点评】本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．

11．【答案】D 【解析】

试题分析：由已知f(x)2sin(x

6)，T，所以22，则f(x)2sin(2x)，令 6k,kZ，可知D正确．故选D．

6226考点：三角函数f(x)Asin(x)的对称性． 2xk,kZ，得x12．【答案】A

32

【解析】解：∵f（x）=x﹣3x+5，

2

∴f′（x）=3x﹣6x，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2， 故选：A．

【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．

二、填空题

13．【答案】 ﹣

【解析】解：∵sin（∴cos（=sin（

﹣α）=cos[+α）=，

+α）=， ﹣（

+α）]

．

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∵α为钝角，即∴∴sin（∴sin（=﹣=﹣

， ＜

﹣

＜α＜π，

，

﹣α）＜0， ﹣α）=﹣

故答案为：﹣．

【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．

14．【答案】【解析】

试题分析：依题意可知所求直线的斜率为3，故倾斜角为考点：直线方程与倾斜角．

15．【答案】①②③④ 【解析】 因为只有确;，故④正确;

，无法判断符号，故⑤错误， 故正确答案①②③④

答案：①②③④

16．【答案】D

是

中的最小项，所以

，

，所以

，故①②③正

 3. 322

【解析】解：把抛物线y=x方程化为标准形式为x=8y，

∴焦点坐标为（0，2）．

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故选：D．

【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．

17．【答案】 9 ．

【解析】解：

1×5﹣=

×=×=（﹣5）×（﹣9）×=9，

∴

故答案为：9．

18．【答案】14

1

×5﹣=9，

【解析】【知识点】函数模型及其应用

【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A用涂料1，房间B用涂料3， 房间C用涂料2，即最低的涂料总费用是故答案为：14

元。

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．

2

∴1+d=q，2（1+2d）﹣q=1，解得

或

．

∴an=1，bn=1；

n1

或an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3﹣．

（II）当当

时，cn=anbn=1，Sn=n．

n1

时，cn=anbn=（2n﹣1）3﹣，

2n1

∴Sn=1+3×3+5×3+…+（2n﹣1）3﹣，

3Sn=3+3×32+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，

2n1n

∴﹣2Sn=1+2（3+3+…+3﹣）﹣（2n﹣1）3=n

∴Sn=（n﹣1）3+1．

nn

﹣1﹣（2n﹣1）3=（2﹣2n）3﹣2，

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+， ∴f（1）=1， ∴切点为（1，1） ∵f′（x）=﹣1﹣∴f′（1）=﹣2，

∴切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1）， 即2x+y﹣3=0；

（Ⅱ）f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=

， =

，

若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，

2

则g（x）=ax﹣x+2在（0，+∞）2个解，

故，

解得：0＜a＜．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ） 由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b 再由已知得

，解得

故函数v（x）的表达式为

（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得

．

当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200

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当20≤x≤200时，

当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．

所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为

．

，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时． 答：（Ⅰ） 函数v（x）的表达式

（Ⅱ） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，

∵集合A满足下列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，

∴P3不具有性质Ω．…..

证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}． 因为1∈E15，所以1∈A∪B，

不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．

同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾． 所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．…..

解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15⊆Pn，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B． 若n=14，当b=1时，

，

．

取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}， 则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=∅，使E14=A1∪B1． 当b=4时，集合

中除整数外，其余的数组成集合为，

令

，

，

．

则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=∅，使

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当b=9时，集中除整数外，其余的数组成集合

，

令

则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=∅，使

，．

．

集合

它与P14中的任何其他数之和都不是整数，

因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=∅，且P14=A∪B． 综上，所求n的最大值为14．…..

【点评】本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=﹣当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间（0，+∞）内单调递增； 当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞a；由f′（x）＜0，解得0＜x＜a． 所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）． 综上述：a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；

a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+∞）． （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）无最小值，不合题意； 当a＞0时，[f（x）]min=f（a）=1﹣a+lna=0， 令g（x）=1﹣x+lnx（x＞0），则g′（x）=﹣1+=

，

=

．

中的数均为无理数，

由g′（x）＞0，解得0＜x＜1；由g′（x）＜0，解得x＞1．

所以g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）． 故[g（x）]max=g（1）=0，即当且仅当x=1时，g（x）=0． 因此，a=1．

（ⅱ）因为f（x）=lnx﹣1+，所以an+1=f（an）+2=1+

+lnan．

由a1=1得a2=2于是a3=+ln2．因为＜ln2＜1，所以2＜a3＜．

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猜想当n≥3，n∈N时，2＜an＜． 下面用数学归纳法进行证明．

①当n=3时，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立．

②假设当n=k（k≥3，k∈N）时，不等式2＜ak＜成立． 则当n=k+1时，ak+1=1+

+lnak，

由（Ⅰ）知函数h（x）=f（x）+2=1++lnx在区间（2，）单调递增， 所以h（2）＜h（ak）＜h（），又因为h（2）=1++ln2＞2， h（）=1++ln＜1++1＜．

故2＜ak+1＜成立，即当n=k+1时，不等式成立． 根据①②可知，当n≥3，n∈N时，不等式2＜an＜成立． 综上可得，n＞1时[an]=2．

【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．

24．【答案】C

【解析】

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