北京中考数学试题分类汇编

北京中考数学试题分类汇编

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北京中考数学试题分类汇编..................................... 错误!未定义书签。 一、实数（共18小题） ....................................... 错误!未定义书签。 二、代数式（共2小题） ...................................... 错误!未定义书签。 三、整式与分式（共14小题） ................................. 错误!未定义书签。 四、方程与方程组（共11小题） ............................... 错误!未定义书签。 五、不等式与不等式组（共6小题） ............................. 错误!未定义书签。 六、图形与坐标（共4小题） .................................. 错误!未定义书签。 七、一次函数（共11小题） ................................... 错误!未定义书签。 八、反比例函数（共5小题） .................................. 错误!未定义书签。 九、二次函数（共10小题） ................................... 错误!未定义书签。 一十、图形的认识（共11小题） ............................... 错误!未定义书签。 一十一、图形与证明（共33小题）.............................. 错误!未定义书签。 一十二、图形与变换（共12小题）.............................. 错误!未定义书签。 一十三、统计（共15小题） ................................... 错误!未定义书签。 一十四、概率（共6小题） .................................... 错误!未定义书签。 北京中考数学试题分类汇编（答案） ............................. 错误!未定义书签。 一、实数（共18小题） ....................................... 错误!未定义书签。 二、代数式（共2小题） ...................................... 错误!未定义书签。 三、整式与分式（共14小题） ................................. 错误!未定义书签。 四、方程与方程组（共11小题） ............................... 错误!未定义书签。 五、不等式与不等式组（共6小题） ............................. 错误!未定义书签。 六、图形与坐标（共4小题） .................................. 错误!未定义书签。 七、一次函数（共11小题） ................................... 错误!未定义书签。 八、反比例函数（共5小题） .................................. 错误!未定义书签。 九、二次函数（共10小题） ................................... 错误!未定义书签。 一十、图形的认识（共11小题） ............................... 错误!未定义书签。 一十一、图形与证明（共33小题）.............................. 错误!未定义书签。 一十二、图形与变换（共12小题）.............................. 错误!未定义书签。 一十三、统计（共15小题） ................................... 错误!未定义书签。 一十四、概率（共6小题） .................................... 错误!未定义书签。

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2011-2016年北京中考数学试题分类汇编

本套试卷汇编了11-16年北京市中考数学试题真题，将真题按照知识点内容重新进行编排，通过试卷可看出北京中考数学学科各知识点所占整套试卷的百分比，知识点所对应的出题类型。学生可通过试卷针对自己薄弱知识点进行加强练习，通过真题感受中考题目的难易程度，有效的节省复习时间，省时高效地进行数学中考冲刺。

一、实数（共18小题）

【命题方向】实数这部分在初中数学中属于基础知识，课程标准对这部分知识点的要求都比较低，在各地中考中多以选择题、填空题的形式出现，也有少量计算题。

【备考攻略】这部分的主要任务是:了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义。进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式，呈现试题，也可以建立在应用知识解决实际问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况。了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质。 1．2的相反数是（ ） A．2 B．﹣2

C．﹣

D．

2．﹣9的相反数是（ ） A．﹣

B． C．﹣9

D．9

3．﹣的绝对值是（ ） A．﹣

B． C．﹣

D．

4．﹣的倒数是（ ） A． B． C．﹣

D．﹣

3

5．神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（ ） A．×103

B．28×103 C．×104

D．×105

6．截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为（ ） A．14×104 B．×105

C．×106

D．14×106

7．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为（ ） A．×106

B．3×105

C．3×106

D．30×104

8．在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013﹣2015）》中，北京市提出了共计约3960亿元的投资计划，将3960用科学记数法表示应为（ ） A．×102

B．×103

C．×104

D．×104

9．首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为（ ） A．×109

B．×109

C．×1010

D．×1011

10．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（ ） A．×107

B．×108

C．×108

D．×107

11．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）

A．a＞﹣2

B．a＜﹣3

C．a＞﹣b

D．a＜﹣b

12．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ）

A．a B．b C．c D．d 13．计算：（3﹣π）0+4sin45°﹣

+|1﹣4

|．

14．计算：（）﹣（π﹣

﹣2

）+|

0

﹣2|+4sin60°．

|

15．计算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣16．计算：（1﹣

）0+|﹣

|﹣2cos45°+（）﹣1． ﹣2sin45°﹣（）﹣1．

．

17．计算：（π﹣3）0+18．计算：

二、代数式（共2小题）

【命题方向】这部分内容是代数学的最基础内容，是学习方程、函数等知识的必备知识。因此是各地区中考的必考内容。中考题的考查形式以选择题、填空题为主，有少量的解答题。

【备考攻略】题目比较简单，解答这类题目要注意审题，读清楚每一部分式子内容，分清底数指数。

19．百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和，每列10个数之和，每条对角线10个数之和均相等，则这个和

为 ．

20．在右表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数ai，j，规定如下：当i≥j时，ai，j=1；当i＜j时，ai，j=0．例如：当i=2，j=1时，ai，j=a2，1=1．按此规定，a1，3= ；表中的25个数中，共有 个1；计算a1，1•ai，1+a1，2•ai，2+a1，3•ai，3+a1，4•ai，4+a1，5•ai，5的值为 ．

5

a1，1 a2，1 a3，1 a4，1 a5，1

a1，2 a2，2 a3，2 a4，2 a5，2

a1，3 a2，3 a3，3 a4，3 a5，3

a1，4 a2，4 a3，4 a4，4 a5，4

a1，5 a2，5 a3，5 a4，5 a5，5

三、整式与分式（共14小题）

【命题方向】这部分内容是初中数学各类计算的基础，是中考的必考内容。一般是对知识点进行单纯性考查，出题的形式多以选择题、填空题为主，难度较低，也出现一些简单的计算题，一般是利用分式性质化简后求值或与乘法公式综合进行化简。

【备考攻略】对于这部分知识解题要认真，一般不存在思维障碍，失误往往是由于不认真造成的。例如因式分解时没有注意分解到不能再分解为止，分式化简求值时化简出现错误，等等。另外，近几年中考题关于分式的化简求值题字母取值是开放性的不少见，这里实际上考查了分式有意义时字母的取值范围。所以当自己选取字母值时，一定要使化简前和化简后的分式同时有意义才行。 21．已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值． 22．已知x﹣y=

，求代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．

23．已知x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值． 24．已知a2+2ab+b2=0，求代数式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值． 25．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式 ．

26．分解因式：5x3﹣10x2+5x= ．（ 27．分解因式：ax4﹣9ay2= ．（） 28．分解因式：ab2﹣4ab+4a= ．（） 29．分解因式：mn2+6mn+9m= ．（） 30．分解因式：a3﹣10a2+25a= ．（）

6

31．如果分式32．若分式

有意义，那么x的取值范围是 ． 的值为0，则x的值等于 ．（）

）•

的值是（ ）

33．如果a+b=2，那么代数（a﹣A．2 B．﹣2 34．已知

C． D．﹣ ，求代数式

的值．

四、方程与方程组（共11小题）

【命题方向】本部分知识是中考的必考内容。这部分知识在中考题中占有重要地位。题型一般以解答题为主，也有少量的选择题和填空题，由于方程和方程组在生立、生活实际中有广泛的应用，所以应用问题是中考的热点问题。 【备考攻略】解应用问题的关键是分析题中的数量关系，找出等量关系列出方程，对于方程的解要注意检验其合理性，对不合题意的解要舍去。

35．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．

《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何”

译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两”

设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．

36．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围；

7

（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．

37．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= ．（

38．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．（

39．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

40．若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是 ．

41．为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2013年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁点600个．预计到2015年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的倍．预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？

42．列方程或方程组解应用题：

小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．

43．列方程或方程组解应用题：

某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．

8

44．列方程或方程组解应用题：

据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．

45．列方程或方程组解应用题：

京通公交快速通道开通后，为响应市“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？

五、不等式与不等式组（共6小题）

【命题方向】本部分知识是初中阶段的重点知识，也是各地中考的必考内容之一。考查的题型以解答题为主，也有少量的选择题及填空题。

【备考攻略】解这部分题的关键是掌握不等式基本性质三，同时解应用问题卓越要分析题中的数量关系，正确列出不等式求解。

46．解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．

（

47．解不等式：4（x﹣1）＞5x﹣6． 48．解不等式组：

．

9

49．解不等式组

50．解不等式组：

51．解不等式组：

六、图形与坐标（共4小题）

．

，并写出它的所有非负整数解．

．

【命题方向】平面直角坐标系、点与坐标是初中数学的基础知识，它是学习函数的基础。这部分内容在中考中出题比较简单，一般以选择题、填空题为主，也有少量的解答题是结合图形的某些变换来确定点的位置。

【备考攻略】掌握这部分内容要做到：①会根据坐标描述点的位置；②能根据点的位置写出它的坐标；③能在方格纸上建立坐标系描述几何图形的位置；④灵活运用不同的方式来确定物体的位置。

52．在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示）．

10

53．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为 ，点A2014的坐标为 ；若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为 ．（

54．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（ ）

A．景仁宫（4，2）

B．养心殿（﹣2，3）

C．保和殿（1，0） D．武英殿（﹣，﹣4）

55．如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（2，﹣4），则坐标原点为（ ）

11

A．O1 B．O2 C．O3 D．O4

七、一次函数（共11小题）

【命题方向】本部分知识是函数中的重点内容，是各省市中考题中出现较多的内容，每一个知识点都可能出现，考查方式也多种多样。有常见的选择题、填空题和解答题，又有与其他知识相结合的综合试题，尤其是与其他学科或与生活实践相结合的实际问题成为中考热点题。一些省、市还将一次函数与几何图形相结合作为压轴题。

【备考攻略】解决这部分题要充分利用“数形结合”的数学思想，看到数要联想到它对应的图形，看到图形应会用数来量化。

56．已知y是x的函数，自变量x的取值范围x＞0，下表是y与x的几组对应值： x y

… …

1

2

3

5

7

9

… …

小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （2）根据画出的函数图象，写出： ①x=4对应的函数值y约为 ； ②该函数的一条性质： ．

12

57．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为（ ）

A．40平方米 B．50平方米 C．80平方米 D．100平方米

58．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）

A．A→O→B B．B→A→C C．B→O→C D．C→B→O

59．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（ ）（

13

A． B． C． D．

60．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

61．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）

（

14

A．点M B．点N C．点P D．点Q

62．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（ ）（

A． B．

C． D．

63．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣6，0）的直线l1与直线l2：y=2x相交于点B（m，4）． （1）求直线l1的表达式；

（2）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，写出n的取值范围．

．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：

会员年卡类型

办卡费用（元）

每次游泳收费（元）

15

A 类 B 类 C 类

50 200 400

25 20 15

例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（ ）（ A．购买A类会员年卡 C．购买C类会员年卡

B．购买B类会员年卡 D．不购买会员年卡

65．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：

若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．

例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）． （1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； （2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，

①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．

（

16

66．如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上． （1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；

（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；

当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；

（3）已知▱AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．（

八、反比例函数（共5小题）

【命题方向】本部分内容相对一次函数和二次函数来说，出题的数量要少些，难度也小些。反比例函数的图象和性质，以及函数关系式的确定，往往是以选择题和填空题的形式出现，比较容易解答。但也有一些省市的中考题将反比例函数与生活情境结合，与其他知识结合出一些解答题。

【备考攻略】这类问题难度不大，很容易上手解决问题。关键是掌握反比例函数的有关概念、图象和性质。

67．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y= （k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为 ．（

17

68．在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B． （1）求m的值；

（2）若PA=2AB，求k的值．（

69．如图在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）． （1）求一次函数的解析式；

（2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出P点的坐标．

70．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）． （1）求反比例函数y=的解析式；

（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．（

18

71．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，An，…记点An的横坐标为an，若a1=2，则a2= ，a2013= ；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不可能取的值是 ．（ ）

九、二次函数（共10小题）

【命题方向】二次函数与一次函数在初中数学中是最重要知识点之一，也同样是历届中考题的重要考点。二次函数既是函数知识的重点，也是难点。这部分知识命题范围广，形式多样。既有单一知识点考查的选择题和填空题，也有解答题。【备考攻略】尤其是与实际生活中的应用问题，与方程、几何、三角函数等知识相结合的综合题是命题的重点内容，同时二次函数内容被各省、市作为压轴题的频率最高，对于这部分内容要掌握二次函数的相关概念、顶点坐标、对称轴、图象性质、图象平移、极值问题。

72．有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质．

19

小东根据学习函数的经验，对函数y=x+的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是 ； （2）下表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ y …

﹣

﹣

求m的值；

（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） ．（

﹣

1 2 3 …

m …

2

73．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．

（1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；

（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．（

20

74．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y= ．（

75．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． （1）求点A，B的坐标；

（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式； （3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．）

76．抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（ ） A．（3，﹣4）

B．（3，4） C．（﹣3，﹣4）

D．（﹣3，4）

77．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．

（1）求抛物线的表达式及对称轴；

21

（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．（

78．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当m=1时，求线段AB上整点的个数；

②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

79．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．

22

（1）分别判断函数 y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；

（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；

（3）将函数 y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？（

80．已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2时的函数值相等． （1）求二次函数的解析式；

（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值；

（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．（

23

81．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A的坐标；

（2）当∠ABC=45°时，求m的值；

（3）已知一次函数y2=kx+b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象于N．若只有当﹣2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．

一十、图形的认识（共11小题）

【命题方向】这部分内容涉及的知识点多，包括初中阶段平面几何所有相关的概念、定理、定义，是几何学的基础，每年中考题的必考内容，题型涉及面广。

【备考攻略】掌握这部分内容需熟记、理解各种图噶尔相关概念、定义，理解定理，尤其是在解答文字叙述没有给出图形的几何题时，要考虑图形是否唯一，应画出全部符合条件的图形来，否则会丢解。

82．如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（ ）

24

A．45°

B．55°

C．125°

D．135°

83．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（ ）

A．38°

B．104°

C．142°

D．144°

84．如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（ ）（

A．26°

B．36°

C．46°

D．56°

85．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（ ）

25

A．40° B．50° C．70° D．80°

86．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P．（如图1） 求作：直线l的垂线，使它经过点P． 作法：如图2

（1）在直线l上任取两点A，B；

（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q； （3）作直线PQ．

所以直线PQ就是所求的垂线． 请回答：该作图的依据是 ．

87．阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

小芸的作法如下：

老师说：“小芸的作法正确．” 请回答：小芸的作图依据是 ．（

26

88．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）

A．圆锥

B．三棱锥

C．圆柱

D．三棱柱

．如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）

A．圆锥

B．圆柱

C．正三棱柱 D．正三棱锥

90．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）（

A．长方体

B．正方体

C．圆柱

D．三棱柱

91．若下图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是 ．（

92．如图，小军、小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小军、小珠的身高分别为，，则路灯的高为 m．

27

一十一、图形与证明（共33小题）

【命题方向】图形的证明是平面几何的重要内容。在各省、市中考题中所占的比例都很大，题型多以证明题为主，也有很多是与其他知识综合的压轴题。 【备考攻略】尤其是近几年在这个问题中引入了运动变化的形式，增加了试题的开放性与灵活性，既考查了学生的逻辑推理能力，也考查了运用数学知识解决问题的能力，解答这部分题需较高的思维水平，善于发现运动中变化的量的规律及不变量，正确画出变化后的图形，运用图形相关的定理进行论证。 93．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．（

94．已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．（

95．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．

28

96．已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD． 求证：BC=ED．

97．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．

（

98．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．（

29

99．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为，则M，C两点间的距离为（ ）（

A．

B．

C．

D．

100．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=积．（

，BE=2

．求CD的长和四边形ABCD的面

101．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN；

（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

102．在等边△ABC中，

（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；

30

（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM． ①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；

想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM； 想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…

请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）． 103．内角和为540°的多边形是（ ）

A． B． C． D．

104．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= ．（

105．正十边形的每个外角等于（ ）（ A．18°

B．36°

C．45°

D．60°

106．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．

107．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．

31

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．（本题已被至少82套试卷使用）

108．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．（本题已被至少78套试卷使用）

109．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长．（本题已被至少17套试卷使用）

110．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

32

（本题已被至少38套试卷使用）

111．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．（本题已被至少72套试卷使用）

112．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为 ．（本题已被至少96套试卷使用）

113．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．

（1）若点P在线段CD上，如图1． ①依题意补全图1；

②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；

（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）

33

114．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．

（1）依题意补全图1；

（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；

（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明． 115．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．

小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2） 请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为 ； （2）求正方形MNPQ的面积．

（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：

34

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=

，则AD的长为 ．

（本题已被

至少10套试卷使用）

116．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=°，OC=4，CD的长为（ ）（本题已被至少97套试卷使用）

A．2

B．4 C．4

D．8

于点D，

117．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E． （1）求证：AC∥DE；

（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．

118．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且

=

，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．

（1）求证：△ACD是等边三角形；

（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．（本题已被至少62套试卷使用）

35

119．如图，AB是⊙O的直径，C是

的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于

点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．

（1）求证：AC=CD；

（2）若OB=2，求BH的长．（本题已被至少62套试卷使用）

120．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E． （1）求证：∠EPD=∠EDO；

（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．（本题已被至少74套试卷使用）

121．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE． （1）求证：BE与⊙O相切；

36

（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长．（本题已被至少23套试卷使用）

122．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=用）

，求BC和BF的长．（本题已被至少92套试卷使

123．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．

（1）已知点A的坐标为（1，0），

①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

（2）⊙O的半径为

，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得

点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．

37

124．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．

特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0． （1）当⊙O的半径为1时．

①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，在？若存在，求其坐标；

②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣

x+2

与x轴、y轴分别交

）关于⊙O的反称点是否存

于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．

38

125．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，﹣2），F（2

，0）．

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D、E、F中，⊙O的关联点是 ．

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．（本题已被至少6套试卷使用）

一十二、图形与变换（共12小题）

【命题方向】这部分知识包含了图的各种变换——平移、旋转、对称、相似及解直角三形的知识。

【备考攻略】同样是历届中考的必考内容、题型有单一知识点的选择题、填空题，也有利用网格的图案设计题，及利用解直角三角形的实际问题与相似三角形的证明问题。

126．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）（本题已被至少8套试卷使用）

A． B． C． D．

39

127．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ）（本题已被至少54套试卷使用）

A． B． C．

D．

128．阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．

参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．

（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于 ．（本题已被至少8套试卷使用） 129．操作与探究：

40

（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．

点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是 ；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是 ；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是 ．

（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形

A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．

（本题已被至少8套试卷使用）

130．在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．

（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；

41

（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围．

（本题已被至少8套试卷使用）

131．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）（本题已被至少183套试卷使用）

A． B． C． D．

132．下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）（本题已被至少11套试卷使用） A．等边三角形

B．平行四边形

C．梯形

D．矩形

133．阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．

小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）． 请回答：∠ACE的度数为 ，AC的长为 ． 参考小腾思考问题的方法，解决问题：

如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．

（本题已被至少63套试卷使用）

42

134．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则

的值为（ ）（本题已被至少29套试卷使用）

A． B． C． D．

135．在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 m．（本题已被至少69套试卷使用） 136．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）（本题已被至少76套试卷使用）

A．60m

B．40m

C．30m

D．20m

137．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=，CD=8m，则树高AB= m．（本题已被至少19套试卷使用）

一十三、统计（共15小题）

43

【命题方向】这部分知识是初中数学的重要内容，各省、市中考的必考内容。题型多样，有选择题、填空题、解答题。

【备考攻略】统计知识常与生产、生活实际相结合。解答这部分题，审题很重要，要从实际问题中抽象出所需数据。另外，读图在这个知识点中尤为重要，从扇形统计图、条形统计图、折线统计图及频数分布直方图中读取相关信息来解决问题，对这部分的各个知识点都要熟练掌握。 138．调查作业：了解你所在小区家庭5月份用气量情况：

小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2﹣5之间，这300户家庭的平均人数均为．

小天、小东和小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1，表2和表3． 表1 抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表 （单位：m3） 家庭人数 用气量

2 14

3 19

4 21

5 26

表2 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 （单位：m3） 家庭人数 用气量

表3 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 （单位：m3） 家庭人数 用气量

根据以上材料回答问题：

小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处． 139．北京市2009﹣2014年轨道交通日均客运量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约 万人次，你的预估理由是 ．（本题已被至少套试卷使用）

44

10 12 13 14 17 17 18 19 20 20 22 26 31 28 31 2

2

2

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

5

5

10 11 15 13 14 15 15 17 17 18 18 18 18 20 22 2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

4

140．为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：m3），绘制了统计图．如图所示，下面四个推断合理的是（ ）

①年用水量不超过180m3的该市居民家庭按第一档水价交费； ②年用水量超过240m3的该市居民家庭按第三档水价交费； ③该市居民家庭年用水量的中位数在150﹣180之间； ④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180．

A．①③ B．①④ C．②③

D．②④

141．根据某研究院公布的2009～2013年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：

2009～2013年成年国民 年人均阅读图书数量统计表 年份 年人均阅读图书数量（本）

45

2009 2010 2011 2012 2013

根据以上信息解答下列问题： （1）直接写出扇形统计图中m的值；

（2）从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为 本；

（3）2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平，估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为 本．（本题已被至少59套试卷使用）

142．阅读下列材料：

2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．

2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待

46

量为万人次，2013 年清明小长假增加了万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．

2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、 万人次． 根据以上材料解答下列问题：

（1）2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为 万人次；

（2）选择统计表或统计图，将2013﹣2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来．（本题已被至少55套试卷使用） 143．第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分．

（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为平方千米，牡丹园面积为 平方千米；

（2）第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八界园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；

（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系．根据小娜的发现，请估计，将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）． 第七届至第十届园博会游客量和停车位数量统计表：

47

日接待游客量 （万人次）

单日最多接待游客量

（万人次）

6 20（预计） （预计）

停车位数量 （个） 约3000 约4000 约10500 约

第七届 第八届 第九届 第十届

8（预计） （预计）

（本题已被至少57套试卷使用）

144．近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011年北京市又调整修订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分． 北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表（截止2010年底） 开通时间 开通线路 运营里程（千米） 1971 1984 2003 2007 2008

1号线 2号线 13号线 八通线 5号线 8号线 10号线 机场线

2009 2010

4号线 房山线 大兴线 亦庄线 昌平线 15号线

31 23 41 19 28 5 25 28 28 22 22 23 21 20

请根据以上信息解答下列问题：

（1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；

（2）按照2011年规划方案，预计2020年北京市轨道交通运营总里程将达到多少千米？

48

（3）要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务，从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程多少千米？

145．阅读下列材料：

北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．

2011年，北京市文化创意产业实现增加值亿元，占地区生产总值的%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值亿元，占地区生产总值的%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值亿元，比上年增长%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值亿元，占地区生产总值的%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值亿元，占地区生产总值的%． 根据以上材料解答下列问题：

（1）用折线图将2011﹣2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；

49

（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约 亿元，你的预估理由 ．

146．以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制统计图的一部分．

请根据以上信息解答下列问题：

（1）2008年北京市私人轿车拥有是多少万辆（结果保留三个有效数字） （2）补全条形统计图；

（3）汽车数量增多除造成交通拥堵外，还增加了碳排放量，为了了解汽车碳排放量的情况，小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关．如：一辆排量为的轿车，如果一年行驶1万千米，这一年，它碳排放量约为吨．于是他调查了他所居住小区的150辆私人轿车，不同排量的轿车数量如下表所示． 排量（L） 数量（辆）

小于 29

75

31

大于 15

如果按照小明的统计数据，请你通过计算估计，2010年北京市仅排量为的这类私人轿车（假设每辆车平均一行行驶1万千米）的碳排放总量约为多少万吨？

147．在1﹣7月份，某种水果的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（ ）

50

A．3月份

B．4月份

C．5月份

D．6月份

148．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 时间（小时）

人数

5 10

6 15

7 20

8 5

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ）（本题已被至少65套试卷使用） A．小时

B．小时

C．小时

D．7小时

149．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（ ）（本题已被至少53套试卷使用）

A．21，21 B．21，

C．21，22

D．22，22

150．某篮球队12名队员的年龄如表： 年龄（岁） 人数

5

4

1

2

18

19

20

21

则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（ ）（本题已被至少61套试卷使用） A．18，19

B．19，19

C．18，

D．19， 51

151．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如表所示：

用电量（度） 120 140 160 180 200

户数

2

3

6

7

2

则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）（本题已被至少31套试卷使用）

A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180 152．北京今年6月某日部分区县的高气温如下表： 区县 最高气温

大兴 通州 平谷 顺义 怀柔 门头沟 延庆 昌平 密云 房山 32

32

30

32

30

32

29

32

30

32

则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（ ）（本题已被至少10套试卷使用） A．32，32

一十四、概率（共6小题）

【命题方向】概率这个知识点是课改后的新内容。因为生活中处处存在概率问题，所以它是各省、市中考题中必考内容。题型涵盖了选择题、填空题和解答题。

【备考攻略】概率题多数都是以实际问题为背景的，考查的分数比例与统计知识基本相同，解决概率问题采用的方法是列表法或树状图法。

153．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ）（本题已被至少68套试卷使用） A． B． C． D．

154．如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（ ）

B．32，30

C．30，32

D．32，31

52

（本

题已被至少套试卷使用） A． B． C． D．

155．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（ ）（本题已被至少79套试卷使用） A． B． C． D．

156．班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票．小英从中随机抽取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是（ ）（本题已被至少11套试卷使用） A． B． C． D．

157．一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（ ）（本题已被至少20套试卷使用） A．

B． C．

D．

158．林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据： 移植的棵数n 成活的棵数m 成活的频率

1000 865

1500 1356

2500 2220

4000 3500

8000 7056

15000 20000 30000 13170 17580 230

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 ．

53

2011-2016年北京中考数学试题分类汇编（答案）

参与试题解析

一、实数（共18小题）

【命题方向】实数这部分在初中数学中属于基础知识，课程标准对这部分知识点的要求都比较低，在各地中考中多以选择题、填空题的形式出现，也有少量计算题。【备考攻略】这部分的主要任务是:了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义。进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式，呈现试题，也可以建立在应用知识解决实际问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况。了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质。 1．（2014•北京）2的相反数是（ ） A．2 B．﹣2 【考点】相反数．

【分析】根据相反数的概念作答即可．

【解答】解：根据相反数的定义可知：2的相反数是﹣2． 故选：B．

【点评】此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．0的相反数是其本身．

2．（2012•北京）﹣9的相反数是（ ） A．﹣

B． C．﹣9

D．9

C．﹣

D．

【考点】相反数．

54

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答． 【解答】解：﹣9的相反数是9． 故选D．

【点评】本题考查了互为相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

3．（2011•北京）﹣的绝对值是（ ） A．﹣

B． C．﹣

D．

【考点】绝对值． 【专题】计算题．

【分析】数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

【解答】解：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，在数轴上，点﹣到原点的距离是， 所以﹣的绝对值是． 故选D．

【点评】本题考查绝对值的基本概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

4．（2013•北京）﹣的倒数是（ ） A． B． C．﹣ 【考点】倒数．

【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

【解答】解：∵（﹣）×（﹣）=1， ∴﹣的倒数是﹣． 故选D．

【点评】本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：

55

D．﹣

倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

5．（2016•北京）神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（ ） A．×103

B．28×103 C．×104

D．×105

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：28000=×104． 故选：C．

【点评】此题考查科学记数n法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

6．（2015•北京）截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为（ ） A．14×104 B．×105

C．×106

D．14×106

【考点】科学记数法—表示较大的数． 【专题】计算题．

【分析】将140000用科学记数法表示即可． 【解答】解：140000=×105， 故选B．

【点评】此题考查了科学记数法﹣表示较大的数，较小的数，以及近似数与有效数字，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

56

7．（2014•北京）据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为（ ） A．×106

B．3×105

C．3×106

D．30×104

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：300 000=3×105， 故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

8．（2013•北京）在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013﹣2015）》中，北京市提出了共计约3960亿元的投资计划，将3960用科学记数法表示应为（ ） A．×102

B．×103

C．×104

D．×104

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将3960用科学记数法表示为×103． 故选B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

57

9．（2012•北京）首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为（ ） A．×109

B．×109

C．×1010

D．×1011

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：60 110 000 000=×10， 故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

10．（2011•北京）我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（ ） A．×107

B．×108

C．×108

D．×107

10

【考点】科学记数法与有效数字．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1 048 576有7位，所以可以确定n=7﹣1=6． 有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．

用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关． 【解答】解：665 575 306≈×108． 故选C．

58

【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．

11．（2016•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）

A．a＞﹣2

B．a＜﹣3

C．a＞﹣b

D．a＜﹣b

【考点】实数与数轴．

【分析】利用数轴上a，b所在的位置，进而得出a以及﹣b的取值范围，进而比较得出答案．

【解答】解：A、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误； B、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；

C、如图所示：1＜b＜2，则﹣2＜﹣b＜﹣1，故a＜﹣b，故此选项错误； D、由选项C可得，此选项正确． 故选：D．

【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出a以及﹣b的取值范围是解题关键．

12．（2015•北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ）

A．a B．b C．c D．d 【考点】实数大小比较．

【分析】首先根据数轴的特征，以及绝对值的含义和性质，判断出实数a，b，c，d的绝对值的取值范围，然后比较大小，判断出这四个数中，绝对值最大的是哪个数即可．

【解答】解：根据图示，可得

3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，2＜|d|＜3，

59

所以这四个数中，绝对值最大的是a． 故选：A．

【点评】此题主要考查了实数大小的比较方法，以及绝对值的非负性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出实数a，b，c，d的绝对值的取值范围．

13．（2016•北京）计算：（3﹣π）0+4sin45°﹣

+|1﹣

|．

【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题．

【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（3﹣π）+4sin45°﹣【解答】解：（3﹣π）0+4sin45°﹣=1+4×=1=

﹣2﹣2

+

﹣1 ﹣1

0

+|1﹣

|

|的值是多少即可．

+|1﹣

【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． （2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．

（3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．

14．（2015•北京）计算：（）﹣2﹣（π﹣

）0+|

﹣2|+4sin60°．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

60

【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

【解答】解：原式=4﹣1+2﹣

+4×

=5+

．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

15．（2014•北京）计算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣

|

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式=1﹣5﹣=﹣4．

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

16．（2013•北京）计算：（1﹣

）0+|﹣

|﹣2cos45°+（）﹣1．

+

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题．

【分析】分别进行零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可． 【解答】解：原式=1+=5．

【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，属于基础题，注意各部分的运算法则．

﹣2×

+4

61

17．（2012•北京）计算：（π﹣3）+

0

﹣2sin45°﹣（）．

﹣1

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题．

【分析】分别根据零指数幂、二次根式的化简、负整数指数幂的运算，得出各部分的最简值，继而合并可得出答案． 【解答】解：原式=1+3=2

﹣7．

﹣2×

﹣8

【点评】此题考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数幂的运算法则是关键，另外要求我们熟练记忆一些特殊角的三角函数值．

18．（2011•北京）计算：

．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题．

【分析】根据负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．注意负指数幂与零指数幂的性质．

【解答】解：原式=2﹣2×=2﹣=2

+3+3．

+1，

+3

+1，

【点评】本题主要考查了负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．

二、代数式（共2小题）

【命题方向】这部分内容是代数学的最基础内容，是学习方程、函数等知识的必备知识。因此是各地区中考的必考内容。中考题的考查形式以选择题、填空题为主，有少量的解答题。【备考攻略】题目比较简单，解答这类题目要注意审题，读清楚每一部分式子内容，分清底数指数。

62

19．（2016•北京）百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和，每列10个数之和，每条对角线10个数之和均相等，则这个和为

505 ．

【考点】规律型：数字的变化类．

【分析】根据已知得：百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成，先计算总和；又因为一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和=总和÷10．

【解答】解：1～100的总和为：

=5050，

一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为：5050÷10=505， 故答案为：505．

【点评】本题是数字变化类的规律题，是常考题型；一般思路为：按所描述的规律从1开始计算，从计算的过程中慢慢发现规律，总结出与每一次计算都符合的规律，就是最后的答案；此题非常简单，跟百子碑简介没关系，只考虑行、列就可以，同时，也可以利用列来计算．

20．（2011•北京）在右表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数ai，j，规定如下：当i≥j时，ai，

j

=1；当i＜j时，ai，j=0．例如：当i=2，j=1时，ai，j=a2，1=1．按此规定，a1，3=

0 ；表中的25个数中，共有 15 个1；计算a1，1•ai，1+a1，2•ai，2+a1，3•ai，3+a1，

4

•ai，4+a1，5•ai，5的值为 1 ．

63

a1，1 a2，1 a3，1 a4，1 a5，1

a1，2 a2，2 a3，2 a4，2 a5，2

a1，3 a2，3 a3，3 a4，3 a5，3

a1，4 a2，4 a3，4 a4，4 a5，4

a1，5 a2，5 a3，5 a4，5 a5，5

【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】压轴题．

【分析】由题意当i＜j时，ai，j=0．当i≥j时，ai，j=1；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个．

【解答】解：由题意，很容易发现，从i与j之间大小分析： 当i＜j时，ai，j=0． 当i≥j时，ai，j=1； 由图表可知15个1．

a1，1•ai，1+a1，2•ai，2+a1，3•ai，3+a1，4•ai，4+a1，5•ai，5=1×1+0+0+0+0=1． 故答案为：0；15；1．

【点评】本题考查了数字的变化，由题意当i＜j时，ai，j=0．当i≥j时，ai，

j

=1；仔细分析很简单的问题．

三、整式与分式（共14小题）

【命题方向】这部分内容是初中数学各类计算的基础，是中考的必考内容。一般是对知识点进行单纯性考查，出题的形式多以选择题、填空题为主，难度较低，也出现一些简单的计算题，一般是利用分式性质化简后求值或与乘法公式综合进行化简。【备考攻略】对于这部分知识解题要认真，一般不存在思维障碍，失误往往是由于不认真造成的。例如因式分解时没有注意分解到不能再分解为止，分式化简求值时化简出现错误，等等。另外，近几年中考题关于分式的化简求值题字母取值是开放性的不少见，这里实际上考查了分式有意义时字母的取值范围。所以当自己选取字母值时，一定要使化简前和化简后的分式同时有意义才行。

21．（2015•北京）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．

【考点】整式的混合运算—化简求值． 【专题】计算题．

【分析】原式第一项利用单项式乘以多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：∵2a2+3a﹣6=0，即2a2+3a=6， ∴原式=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．（2014•北京）已知x﹣y=

，求代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．

【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】先把代数式计算，进一步化简，再整体代入x﹣y=可．

【解答】解：∵x﹣y=

，

，求得数值即

∴（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x） =x2+2x+1﹣2x+y2﹣2xy =x2+y2﹣2xy+1 =（x﹣y）2+1 =（=3+1 =4．

【点评】此题考查整式的混合运算与化简求值，注意先化简，再整体代入求值．

23．（2013•北京）已知x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．

【考点】整式的混合运算—化简求值．

65

）2+1

【专题】计算题．

【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：∵x2﹣4x﹣1=0，即x2﹣4x=1，

∴原式=4x2﹣12x+9﹣x2+y2﹣y2=3x2﹣12x+9=3（ ）+9=12．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

24．（2011•北京）已知a2+2ab+b2=0，求代数式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值．

【考点】整式的混合运算—化简求值． 【专题】计算题．

【分析】本题需先要求的式子进行化简整理，再根据已知条件求出a+b的值，即可求出最后结果．

【解答】解：a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b） =a+4ab﹣（a﹣4b） =4ab+4b2 ∵a2+2ab+b2=0 ∴a+b=0

∴原式=4b（a+b） =0

【点评】本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和乘法公式的综合应用是本题的关键．

25．（2016•北京）如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式 am+bm+cm=m（a+b+c） ．

2

2

2

66

【考点】因式分解-提公因式法．

【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可． 【解答】解：由题意可得：am+bm+cm=m（a+b+c）． 故答案为：am+bm+cm=m（a+b+c）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确利用矩形面积求出是解题关键．

26．（2015•北京）分解因式：5x3﹣10x2+5x= 5x（x﹣1）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式5x，再根据完全平方公式进行二次分解． 【解答】解：5x﹣10x+5x =5x（x2﹣2x+1） =5x（x﹣1）2．

故答案为：5x（x﹣1）2．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

27．（2014•北京）分解因式：ax4﹣9ay2= a（x2﹣3y）（x2+3y） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】因式分解．

【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式进行分解即可． 【解答】解：ax4﹣9ay2=a（x4﹣9y2）=a（x2﹣3y）（x2+3y）． 故答案为：a（x2﹣3y）（x2+3y）．

【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，正确利用平方差公式是解题关键．

28．（2013•北京）分解因式：ab2﹣4ab+4a= a（b﹣2）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

3

2

67

【专题】因式分解．

【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2． 【解答】解：ab2﹣4ab+4a

=a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式） =a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式） 故答案为：a（b﹣2）2．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

29．（2012•北京）分解因式：mn+6mn+9m= m（n+3） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：mn2+6mn+9m =m（n2+6n+9） =m（n+3）．

故答案为：m（n+3）2．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

30．（2011•北京）分解因式：a3﹣10a2+25a= a（a﹣5）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：a3﹣10a2+25a， =a（a2﹣10a+25），（提取公因式） =a（a﹣5）2．（完全平方公式）

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后可以利用完全平方公式继续进行二次分解，分解因式一定要彻底．

68

2

2

2

31．（2016•北京）如果分式【考点】分式有意义的条件．

【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案． 【解答】解：由题意，得 x﹣1≠0， 解得x≠1， 故答案为：x≠1．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．

32．（2011•北京）若分式

的值为0，则x的值等于 8 ．

有意义，那么x的取值范围是 x≠1 ．

【考点】分式的值为零的条件． 【专题】计算题．

【分析】根据分式的值为零的条件：分子=0，分母≠0，可以求出x的值． 【解答】解：x﹣8=0， x=8，

故答案为：8．

【点评】此题主要考查了分式的值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

33．（2016•北京）如果a+b=2，那么代数（a﹣A．2 B．﹣2

C． D．﹣

）•

的值是（ ）

【考点】分式的化简求值． 【专题】计算题；分式．

69

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a+b=2， ∴原式=故选：A．

【点评】此题考查了分式的化简求值，将原式进行正确的化简是解本题的关键．

34．（2012•北京）已知【考点】分式的化简求值． 【专题】计算题．

【分析】将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用b表示出a，将表示出的a代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值． 【解答】解：==

，

•（a﹣2b） •（a﹣2b）

，求代数式

的值．

•

=a+b=2

∵=≠0，∴a=b，

∴原式====．

【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．

四、方程与方程组（共11小题）

70

【命题方向】本部分知识是中考的必考内容。这部分知识在中考题中占有重要地位。题型一般以解答题为主，也有少量的选择题和填空题，由于方程和方程组在生立、生活实际中有广泛的应用，所以应用问题是中考的热点问题。【备考攻略】解应用问题的关键是分析题中的数量关系，找出等量关系列出方程，对于方程的解要注意检验其合理性，对不合题意的解要舍去。

35．（2015•北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．

《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何”

译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两”

设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为

．

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

【分析】根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组． 【解答】解：根据题意得：故答案为：

．

，

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．

71

36．（2016•北京）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．

【考点】根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式． 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；

（2）结合（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．

【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根，

∴△=（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）=4m+5＞0， 解得：m＞﹣．

（2）m=1，此时原方程为x2+3x=0， 即x（x+3）=0， 解得：x1=0，x2=﹣3．

【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据根的个数结合根的判别式得出关于m的一元一次不等式；（2）选取m的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．

37．（2015•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= 4 ，b= 2 ． 【考点】根的判别式． 【专题】开放型．

【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．

【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，

72

∴△=b﹣4×a=b﹣a=0， ∴a=b2， 当b=2时，a=4，

故b=2，a=4时满足条件． 故答案为：4，2．

【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．

38．（2014•北京）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 【考点】根的判别式． 【专题】计算题．

【分析】（1）先计算判别式的值得到△=（m+2）2﹣4m×2=（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．

【解答】（1）证明：∵m≠0， △=（m+2）2﹣4m×2 =m2﹣4m+4 =（m﹣2）2，

而（m﹣2）2≥0，即△≥0， ∴方程总有两个实数根；

（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0， x﹣1=0或mx﹣2=0， ∴x1=1，x2=，

当m为正整数1或2时，x2为整数，

73

22

即方程的两个实数根都是整数， ∴正整数m的值为1或2．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

39．（2013•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

【考点】根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法． 【专题】计算题．

【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；

（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值． 【解答】解：（1）根据题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0， 解得：k＜；

（2）由k为正整数，得到k=1或2， 利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1±∵方程的解为整数， ∴5﹣2k为完全平方数， 则k的值为2．

【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．

40．（2012•北京）若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是 ﹣1 ．

74

，

【考点】根的判别式．

【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．

【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有两个相等的实数根， ∴△=0，

∴（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）=0， 解得m=﹣1．

【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．

41．（2015•北京）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2013年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁点600个．预计到2015年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的倍．预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？

【考点】分式方程的应用．

【分析】根据租赁点的公租自行车数量变化表示出2013年和2015年平均每个租赁点的公租自行车数量，进而得出等式求出即可．

【解答】解：设到2015年底，全市将有租赁点x个，根据题意可得：

×=

，

解得：x=1000，

经检验得：x=1000是原方程的根，

答：到2015年底，全市将有租赁点1000个．

【点评】此题主要考查了分式的方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．

75

42．（2014•北京）列方程或方程组解应用题：

小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．

【考点】分式方程的应用．

【分析】设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则原来的燃油汽车所需的油费为（x+）元，根据驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，所行的路程相等列出方程解决问题． 【解答】解：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则原来的燃油汽车所需的油费为（x+）元，由题意得

=

解得：x=

经检验x=为原方程的解

答：纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元．

【点评】此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程解决问题．

43．（2013•北京）列方程或方程组解应用题：

某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积． 【考点】分式方程的应用．

【分析】设每人每小时的绿化面积x平方米，根据增加2人后完成的时间比原来的时间少3小时为等量关系建立方程求出其解即可． 【解答】解：设每人每小时的绿化面积x平方米，由题意，得

， ，

76

解得：x=．

经检验，x=是原方程的解，且符合题意． 答：每人每小时的绿化面积平方米．

【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时验根是必须的过程，学生容易忘记，解答本题时根据增加2人后完成的时间比原来的时间少3小时为等量关系建立方程是关键．

44．（2012•北京）列方程或方程组解应用题：

据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量． 【考点】分式方程的应用．

【分析】首先设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x﹣4）毫克，根据关键语句“若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，”可得方程

=

，解方程即可得到答案，注意最后一定要检验．

【解答】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x﹣4）毫克，由题意得：

=

，

解得：x=22，

经检验：x=22是所列方程的解．

答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．

【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找到题目中的关键语句，列出方程．列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．

77

45．（2011•北京）列方程或方程组解应用题：

京通公交快速通道开通后，为响应市“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？

【考点】分式方程的应用． 【专题】行程问题．

【分析】设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米，根据已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的，可列方程求解． 【解答】解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米， ∵小王家距上班地点18千米， ∴小王从家到上班地点所需时间t=

小时；

∵他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米， ∴他乘公交车从家到上班地点所需时间t=

，

∵乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的， ∴

=×

，

解得x=27

经检验x=27是原方程的解，且符合题意．

答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米．

78

【点评】本题考查理解题意的能力，关键是以时间做为等量关系，根据乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的列方程求解．

五、不等式与不等式组（共6小题）

【命题方向】本部分知识是初中阶段的重点知识，也是各地中考的必考内容之一。考查的题型以解答题为主，也有少量的选择题及填空题。【备考攻略】解这部分题的关键是掌握不等式基本性质三，同时解应用问题卓越要分析题中的数量关系，正确列出不等式求解。

46．（2014•北京）解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．

【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化成1即可求解． 【解答】解：去分母，得：3x﹣6≤4x﹣3， 移项，得：3x﹣4x≤6﹣3， 合并同类项，得：﹣x≤3， 系数化成1得：x≥﹣3． 则解集在数轴上表示出来为：

．

【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错． 解不等式要依据不等式的基本性质：

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

47．（2011•北京）解不等式：4（x﹣1）＞5x﹣6．

79

【考点】解一元一次不等式．

【分析】根据不等式的解法，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1解不等式，注意不等式的两边同时除以同一个负数时，要改变不等号的方向． 【解答】解：去括号得：4x﹣4＞5x﹣6， 移项得：4x﹣5x＞4﹣6， 合并同类项得：﹣x＞﹣2， 把x的系数化为1得：x＜2， ∴不等式的解集为：x＜2．

【点评】此题主要考查了不等式的解法，一定要注意符号的变化，和不等号的变化情况．

48．（2016•北京）解不等式组：【考点】解一元一次不等式组．

【分析】根据不等式性质分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找可得不等式组的解集．

【解答】解：解不等式2x+5＞3（x﹣1），得：x＜8， 解不等式4x＞

，得：x＞1，

．

∴不等式组的解集为：1＜x＜8．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

49．（2015•北京）解不等式组解．

【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解． 【专题】计算题．

，并写出它的所有非负整数

80

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可确定出所有非负整数解． 【解答】解：由①得：x≥﹣2； 由②得：x＜，

∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，

则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

50．（2013•北京）解不等式组：【考点】解一元一次不等式组． 【专题】计算题．

【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【解答】解：

解不等式①得，x＞﹣1， 解不等式②得，x＜，

所以，不等式组的解集是﹣1＜x＜．

【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

51．（2012•北京）解不等式组：

．

，

．

，

81

【考点】解一元一次不等式组；不等式的性质；解一元一次不等式． 【专题】计算题．

【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【解答】解：

∵解不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x＞5， ∴不等式组的解集为：x＞5．

【点评】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组）的应用，解此题的关键是根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集．

六、图形与坐标（共4小题）

【命题方向】平面直角坐标系、点与坐标是初中数学的基础知识，它是学习函数的基础。这部分内容在中考中出题比较简单，一般以选择题、填空题为主，也有少量的解答题是结合图形的某些变换来确定点的位置。【备考攻略】掌握这部分内容要做到：①会根据坐标描述点的位置；②能根据点的位置写出它的坐标；③能在方格纸上建立坐标系描述几何图形的位置；④灵活运用不同的方式来确定物体的位置。

52．（2012•北京）在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是 3或4 ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= 6n﹣3 （用含n的代数式表示）．

，

【考点】点的坐标．

82

【专题】压轴题；规律型．

【分析】根据题意画出图形，根据图形可得当点B的横坐标为8时，n=2时，此时△AOB所在的四边形内部（不包括边界）每一行的整点个数为4×2+1﹣2，共有3行，所以此时△AOB所在的四边形内部（不包括边界）的整点个数为（4×2+1﹣2）×3，因为四边形内部在AB上的点是3个，所以此时△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m=

B的横坐标为4n（n为正整数）时，m的值． 【解答】解：如图：

=9，据此规律即可得出点

当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1）（1，2）（2，1），共三个点，

所以当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；

当点B的横坐标为8时，n=2时，△AOB内部（不包括边界）的整点个数m=

=9，

当点B的横坐标为12时，n=3时，△AOB内部（不包括边界）的整点个数m=

=15，

=6n﹣3；

所以当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=

另解：网格点横向一共3行，竖向一共是4n﹣1列，所以在y轴和4n点形成的矩形内部一共有3（4n﹣1）个网格点，而这条连线为矩形的对角线，与3条横线有3个网格点相交，所以要减掉3点，总的来说就是矩形内部网格点减掉3点的一半，即为[3（4n﹣1）﹣3]÷2=6n﹣3． 故答案为：3或4，6n﹣3．

【点评】此题考查了点的坐标，关键是根据题意画出图形，找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系，考查数形结合的数学思想方法．

83

53．（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为 （﹣3，1） ，点A2014的坐标为 （0，4） ；若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为 ﹣1＜a＜1且0＜b＜2 ． 【考点】规律型：点的坐标． 【专题】压轴题；新定义；探究型．

【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2014除以4，根据商和余数的情况确定点A2014的坐标即可；再写出点A1（a，b）的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．

【解答】解：∵A1的坐标为（3，1），

∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1）， …，

依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵2014÷4=503余2，

∴点A2014的坐标与A2的坐标相同，为（0，4）； ∵点A1的坐标为（a，b），

∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b）， …，

依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方， ∴

，

，

解得﹣1＜a＜1，0＜b＜2．

故答案为：（﹣3，1），（0，4）；﹣1＜a＜1且0＜b＜2．

84

【点评】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．

54．（2015•北京）如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（ ）

A．景仁宫（4，2）

B．养心殿（﹣2，3）

C．保和殿（1，0） D．武英殿（﹣，﹣4） 【考点】坐标确定位置．

【分析】根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可． 【解答】解：根据表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），

85

可得：原点是中和殿，

所以可得景仁宫（2，4），养心殿（﹣2，3），保和殿（0，1），武英殿（﹣，﹣3）， 故选B

【点评】此题考查坐标确定位置，本题解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向．

55．（2016•北京）如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（2，﹣4），则坐标原点为（ ）

A．O1 B．O2 C．O3 D．O4

【考点】坐标与图形性质；一次函数图象与系数的关系．

【分析】先根据点A、B的坐标求得直线AB的解析式，再判断直线AB在坐标平面内的位置，最后得出原点的位置．

【解答】解：设过A、B的直线解析式为y=kx+b

86

∵点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（2，﹣4） ∴

解得

∴直线AB为y=﹣x﹣2

∴直线AB经过第二、三、四象限

由A、B的坐标又知沿直线m向上为x轴正方向，沿直线n向上为y轴正方向． 如图，连接AB，则原点在AB的右上方．

∴坐标原点为O1 故选（A）

【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握待定系数法以及一次函数图象与系数的关系．在一次函数y=kx+b中，k决定了直线的方向，b决定了直线与y轴的交点位置．

七、一次函数（共11小题）

【命题方向】本部分知识是函数中的重点内容，是各省市中考题中出现较多的内容，每一个知识点都可能出现，考查方式也多种多样。有常见的选择题、填空题和解答题，又有与其他知识相结合的综合试题，尤其是与其他学科或与生活实践相结合的实际问题成为中考热点题。一些省、市还将一次函数与几何图形相结合作为压轴题。【备考攻略】解决这部分题要充分利用“数形结合”的数学思想，看到数要联想到它对应的图形，看到图形应会用数来量化。

87

56．（2016•北京）已知y是x的函数，自变量x的取值范围x＞0，下表是y与x的几组对应值： x y

… …

1

2

3

5

7

9

… …

小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （2）根据画出的函数图象，写出： ①x=4对应的函数值y约为 2 ；

②该函数的一条性质： 该函数有最大值 ．

【考点】函数的概念． 【专题】数形结合．

【分析】（1）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可； （2）①在所画的函数图象上找出自变量为4所对应的函数值即可； ②利用函数图象有最高点求解． 【解答】解：（1）如图，

88

（2）①x=4对应的函数值y约为； ②该函数有最大值．

故答案为2，该函数有最大值．

【点评】本题考查了函数的定义：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．

57．（2014•北京）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为（ ）

A．40平方米 B．50平方米 C．80平方米 D．100平方米 【考点】函数的图象．

【分析】根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160﹣60=100平方米，然后可得绿化速度．

【解答】解：根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160﹣60=100平方米，

每小时绿化面积为100÷2=50（平方米）． 故选：B．

【点评】此题主要考查了函数图象，关键是正确理解题意，从图象中找出正确信息．

58．（2015•北京）一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的

距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）

A．A→O→B B．B→A→C C．B→O→C D．C→B→O 【考点】动点问题的函数图象． 【专题】压轴题．

【分析】根据函数的增减性：不同的观察点获得的函数图象的增减性不同，可得答案．

【解答】解：A、从A点到O点y随x增大一直减小，从O到B先减小后增发，故A不符合题意；

B、从B到A点y随x的增大先减小再增大，从A到C点y随x的增大先减小再增大，但在A点距离最大，故B不符合题意；

C、从B到O点y随x的增大先减小再增大，从O到C点y随x的增大先减小再增大，在B、C点距离最大，故C符合题意；

D、从C到M点y随x的增大而减小，一直到y为0，从M点到B点y随x的增大而增大，明显与图象不符，故D不符合题意； 故选：C．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，利用观察点与动点P之间距离的变化关系得出函数的增减性是解题关键．

59．（2014•北京）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（ ）

90

A． B． C． D．

【考点】动点问题的函数图象． 【专题】压轴题．

【分析】根据等边三角形，菱形，正方形，圆的性质，分析得到y随x的增大的变化关系，然后选择答案即可．

【解答】解：A、等边三角形，点P在开始与结束的两边上直线变化， 在点A的对边上时，设等边三角形的边长为a， 则y=

（a＜x＜2a），符合题干图象；

B、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，

在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合； C、正方形，点P在开始与结束的两边上直线变化，

在另两边上，先变速增加至∠A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；

D、圆，AP的长度，先变速增加至AP为直径，然后再变速减小至点P回到点A，题干图象不符合． 故选：A．

【点评】本题考查了动点问题函数图象，熟练掌握等边三角形，菱形，正方形以及圆的性质，理清点P在各边时AP的长度的变化情况是解题的关键．

60．（2013•北京）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

91

A． B．

C． D．

【考点】动点问题的函数图象． 【专题】压轴题．

【分析】作OC⊥AP，根据垂径定理得AC=AP=x，再根据勾股定理可计算出OC=

，然后根据三角形面积公式得到y=x•

（0≤x≤2），再

根据解析式对四个图形进行判断．

【解答】解：作OC⊥AP，如图，则AC=AP=x， 在Rt△AOC中，OA=1，OC=所以y=OC•AP=x•

=

（0≤x≤2），

=

，

所以y与x的函数关系的图象为A选项． 故选：A． 排除法：

很显然，并非二次函数，排除B选项； 采用特殊位置法；

当P点与A点重合时，此时AP=x=0，S△PAO=0； 当P点与B点重合时，此时AP=x=2，S△PAO=0； 当AP=x=1时，此时△APO为等边三角形，S△PAO=排除B、C、D选项，

；

92

故选：A．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．

61．（2012•北京）小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）

A．点M

B．点N

C．点P

D．点Q

【考点】动点问题的函数图象． 【专题】应用题；压轴题．

【分析】分别假设这个位置在点M、N、P、Q，然后结合函数图象进行判断．利用排除法即可得出答案．

【解答】解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；

B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；

93

C、，

假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；

D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确； 故选：D．

【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解答本题要注意依次判断各点位置的可能性，点P的位置不好排除，同学们要注意仔细观察．

62．（2011•北京）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

94

【考点】动点问题的函数图象． 【专题】压轴题；数形结合．

【分析】本题需先根据题意，求出BC，AC的长，再分别计算出当x=0和x=2时，y的值，即可求得y与x的函数图象．

【解答】解：解法一、∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2， ∴BC=1，AC=

，

， ，

∴当x=0时，y的值是当x=1时，y的值是

∵当x=2时CD的垂线与CA平行，虽然x不能取到2，但y应该是无穷大， ∴y与x的函数关系图象大致是B，

过点D作点DG⊥AC于点G，过点D作点DF⊥BC于点F， ∴CF=DG=，DF=CG=∴EG=y﹣CG，

分别在直角三角形CDF、直角三角形DGE、直角三角形CDE中利用勾股定理， DF2+CF2+DG2+GE2=CE2， y=

．

（2﹣x），

解法二、∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2， ∴BC=1，AC=

．

；

∴当x=0时，y=当x=1时，y=

∵当x=2时，CD的垂线与CA平行，虽然x不能取到2，但y应该是无穷大， ∴y与x的函数关系图象大致是B选项． 故选：B．

95

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象．在解题时要能根据题意得出函数关系是解答本题的关键．

63．（2016•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣6，0）的直线l1与直线l2：y=2x相交于点B（m，4）． （1）求直线l1的表达式；

（2）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，写出n的取值范围．

【考点】两条直线相交或平行问题．

【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题． （2）由图象可知直线l1在直线l2上方即可，由此即可写出n的范围． 【解答】解：（1）∵点B在直线l2上， ∴4=2m，

∴m=2，点B（2，4）

设直线l1的表达式为y=kx+b， 由题意

，解得

，

∴直线l1的表达式为y=x+3． （2）由图象可知n＜2．

【点评】本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围．

96

．（2015•北京）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型

办卡费用（元）

每次游泳收费（元）

A 类 B 类 C 类

50 200 400

25 20 15

例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（ ） A．购买A类会员年卡 C．购买C类会员年卡

B．购买B类会员年卡 D．不购买会员年卡

【考点】一次函数的应用．

【分析】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：yA=50+25x，yB=200+20x，yC=400+15x，当45≤x≤55时，确定y的范围，进行比较即可解答．

【解答】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元， 根据题意得： yA=50+25x， yB=200+20x， yC=400+15x， 当45≤x≤55时， 1175≤yA≤1425； 1100≤yB≤1300； 1075≤yC≤1225；

由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡． 故选：C．

【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，并确定函数值的范围．

97

65．（2012•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：

若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．

例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）． （1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； （2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，

①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．

【考点】一次函数综合题． 【专题】压轴题．

【分析】（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|=2，据此可以求得y的值；

②设点B的坐标为（0，y）．因为|﹣﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|=；

98

（2）①设点C的坐标为（x0，x0+3）．根据材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为﹣x0=x0+2，据此可以求得点C的坐标；

②当点E在过原点且与直线y=x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即E（﹣，）．解答思路同上． 【解答】解：（1）①∵B为y轴上的一个动点， ∴设点B的坐标为（0，y）． ∵|﹣﹣0|=≠2， ∴|0﹣y|=2， 解得，y=2或y=﹣2；

∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）； ②点A与点B的“非常距离”的最小值为

（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|=|y1﹣y2|．即AC=AD，

∵C是直线y=x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1）， ∴设点C的坐标为（x0，x0+3）， ∴﹣x0=x0+2， 此时，x0=﹣，

99

∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=， 此时C（﹣，

）；

②当点E在过原点且与直线y=x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，设E（x，y）（点E位于第二象限）．则

，

解得，，

故E（﹣，）． ﹣﹣x0=x0+3﹣， 解得，x0=﹣，

则点C的坐标为（﹣，）， 最小值为1．

【点评】本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．

66．（2011•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．

（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；

（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；

当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；

100

（3）已知▱AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．

【考点】一次函数综合题；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理． 【专题】综合题；压轴题；分类讨论．

【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离；

（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围即可；

（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可．

【解答】解：（1）如图1，分别连接AD、DB，则点D在直线AE上， ∵点D在以AB为直径的半圆上， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AD，

在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=∵AE∥BF，

∴两条射线AE、BF所在直线的距离为

（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=

或﹣1＜b＜1；

． ，

当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜

101

（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：

①当点M在射线AE上时，如图2 ∵AMPQ四点按顺时针方向排列， ∴直线PQ必在直线AM的上方，

∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合， ∴0＜PQ＜

．

∵AM∥PQ且AM=PQ， ∴0＜AM＜

∴﹣2＜x＜﹣1，

②当点M在弧AD上时，如图3

∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列， ∴直线PQ必在直线AM的下方， 此时，不存在满足题意的平行四边形． ③当点M在弧BD上时， 设弧DB的中点为R，则OR∥BF，

当点M在弧DB上时，如图4，

过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点． ∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形， ∴0≤x＜

当点M在弧RB上时，如图5， 直线PQ必在直线AM的下方， 此时不存在满足题意的平行四边形．

④当点M在射线BF上时，如图6，

102

．

直线PQ必在直线AM的下方， 此时，不存在满足题意的平行四边形．

综上，点M的横坐标x的取值范围是﹣2＜x＜﹣1或0≤x＜

．

【点评】本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、平行四边形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了分类讨论思想．

103

八、反比例函数（共5小题）

【命题方向】本部分内容相对一次函数和二次函数来说，出题的数量要少些，难度也小些。反比例函数的图象和性质，以及函数关系式的确定，往往是以选择题和填空题的形式出现，比较容易解答。但也有一些省市的中考题将反比例函数与生活情境结合，与其他知识结合出一些解答题。【备考攻略】这类问题难度不大，很容易上手解决问题。关键是掌握反比例函数的有关概念、图象和性质。

67．（2014•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y= （k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为 y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一） ．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】开放型．

【分析】先根据正方形的性质得到B点坐标为（2，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出过B点的反比例函数解析式即可． 【解答】解：∵正方形OABC的边长为2， ∴B点坐标为（2，2），

当函数y= （k≠0）过B点时，k=2×2=4， ∴满足条件的一个反比例函数解析式为y=． 故答案为：y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

104

68．（2015•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B． （1）求m的值；

（2）若PA=2AB，求k的值．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）将点P的坐标代入反比例函数的解析式即可求得m的值； （2）作PC⊥x轴于点C，设点A的坐标为（a，0），则AO=﹣a，AC=2﹣a，根据PA=2AB得到AB：AP=AO：AC=1：2，求得a值后代入求得k值即可． 【解答】解：∵y=经过P（2，m）， ∴2m=8， 解得：m=4；

（2）点P（2，4）在y=kx+b上， ∴4=2k+b， ∴b=4﹣2k，

∵直线y=kx+b（k≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B， ∴A（2﹣，0），B（0，4﹣2k），

如图，点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴时， ∵PA=2AB，

∴AB=PB，则OA=OC， ∴﹣2=2， 解得k=1；

当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴时，

=， 解得，k=3． ∴k=1或k=3

105

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是表示出A的坐标，然后利用线段之间的倍数关系确定k的值，难度不大．

69．（2013•北京）如图在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）． （1）求一次函数的解析式；

（2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出P点的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】计算题．

【分析】（1）将A点坐标代入y=（x＞0），求出m的值为2，再将（2，2）代入y=kx﹣k，求出k的值，即可得到一次函数的解析式；

（2）将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加． 【解答】解：（1）将A（m，2）代入y=（x＞0）得， m=2，

则A点坐标为A（2，2），

将A（2，2）代入y=kx﹣k得，2k﹣k=2，

106

解得k=2，则一次函数解析式为y=2x﹣2；

（2）∵一次函数y=2x﹣2与x轴的交点为C（1，0），与y轴的交点为B（0，﹣2）， S△ABP=S△ACP+S△BPC， ∴×2CP+×2CP=4， 解得CP=2，

则P点坐标为（3，0），（﹣1，0）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数解析式并熟悉点的坐标与图形的关系是解题的关键．

70．（2011•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）． （1）求反比例函数y=的解析式；

（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

107

【专题】代数综合题．

【分析】（1）把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，即可得到函数解析式；

（2）PA=OA，则P在以A为圆心，以OA为半径的圆上或P在以O点为圆心，以OA为半径的圆上，圆与坐标轴的交点就是P．

【解答】解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上． ∴n=﹣2×（﹣1）=2 ∴点A的坐标为（﹣1，2） ∵点A在反比例函数的图象上． ∴k=﹣2

∴反比例函数的解析式是y=﹣． （2）方法一： ∵A（﹣1，2）， ∴OA=

=

，

∵点P在坐标轴上，

∴当点P在x轴上时设P（x，0）， ∵PA=OA， ∴

=

，解得x=﹣2；

当点P在y轴上时，设P（0，y）， ∴

=

，解得y=4；

当点P在坐标原点，则P（0，0）．

∴点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）或（0，0）． 方法二：过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，如图， ①当P在原点时，满足PA=OA，则P点（0，0）； ②当P在x轴上时，

∵PA=OA，AB⊥OP，A点坐标为（﹣1，2） ∴OB=1，OP=2OB=2， ∴P（﹣2，0），

108

③当P在y轴上时，

∵PA=OA，AC⊥OC，A点坐标为（﹣1，2） ∴OC=2，OP=2OC=4， ∴P（0，4），

∴点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）或（0，0）．

【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．

71．（2013•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，An，…记点An的横坐标为an，若a1=2，则a2= ﹣ ，a2013= ﹣ ；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不可能取的值是 0、﹣1 ．

【考点】反比例函数综合题． 【专题】压轴题；探究型．

109

【分析】求出a2，a3，a4，a5的值，可发现规律，继而得出a2013的值，根据题意可得A1不能在x轴上，也不能在y轴上，从而可得出a1不可能取的值． 【解答】解：当a1=2时，B1的纵坐标为，

B1的纵坐标和A2的纵坐标相同，则A2的横坐标为a2=﹣， A2的横坐标和B2的横坐标相同，则B2的纵坐标为b2=﹣， B2的纵坐标和A3的纵坐标相同，则A3的横坐标为a3=﹣， A3的横坐标和B3的横坐标相同，则B3的纵坐标为b3=﹣3， B3的纵坐标和A4的纵坐标相同，则A4的横坐标为a4=2， A4的横坐标和B4的横坐标相同，则B4的纵坐标为b4=， 即当a1=2时，a2=﹣，a3=﹣，a4=2，a5=﹣， b1=，b2=﹣，b3=﹣3，b4=，b5=﹣， ∵

=671，

∴a2013=a3=﹣；

点A1不能在y轴上（此时找不到B1），即x≠0，

点A1不能在x轴上（此时A2，在y轴上，找不到B2），即y=﹣x﹣1≠0， 解得：x≠﹣1；

综上可得a1不可取0、﹣1． 故答案为：﹣；﹣；0、﹣1．

【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大．

110

九、二次函数（共10小题）

【命题方向】二次函数与一次函数在初中数学中是最重要知识点之一，也同样是历届中考题的重要考点。二次函数既是函数知识的重点，也是难点。这部分知识命题范围广，形式多样。既有单一知识点考查的选择题和填空题，也有解答题。【备考攻略】尤其是与实际生活中的应用问题，与方程、几何、三角函数等知识相结合的综合题是命题的重点内容，同时二次函数内容被各省、市作为压轴题的频率最高，对于这部分内容要掌握二次函数的相关概念、顶点坐标、对称轴、图象性质、图象平移、极值问题。

72．（2015•北京）有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是 x≠0 ； （2）下表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ y …

﹣

﹣

求m的值；

（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） 该函数没有最大值 ．

﹣

1 2 3 …

m …

111

【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的性质．

【分析】（1）由图表可知x≠0；

（2）根据图表可知当x=3时的函数值为m，把x=3代入解析式即可求得； （3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （4）观察图象即可得出该函数的其他性质． 【解答】解：（1）x≠0， （2）令x=3， ∴y=×3+ =+=∴m=

； ；

2

（3）如图

（4）该函数的其它性质： ①该函数没有最大值；

112

②该函数在x=0处断开； ③该函数没有最小值；

④该函数图象没有经过第四象限． 故答案为该函数没有最大值．

【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．

73．（2015•北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B． （1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；

（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

【考点】二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．

【分析】（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得x=3，确定A（3，2），根据AB关于x=1对称，所以B（﹣1，2）．

（2）把（3，2），（﹣1，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得b，c的值，即可解答；

（3）画出函数图象，把A，B代入y=ax2，求出a的值，即可解答． 【解答】解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，

，求出

113

解得：x=3， ∴A（3，2），

∵点A关于直线x=1的对称点为B， ∴B（﹣1，2）．

（2）把（3，2），（﹣1，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：

解得：

∴y=x2﹣2x﹣1． 顶点坐标为（1，﹣2）．

（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，

代入A（3，2）则9a=2， 解得：a=，

代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2， 解得：a=2， ∴

．

【点评】本题考查了二次函数的性质，解集本题的关键是求出二次函数的解析式，并结合图形解决问题．

74．（2013•北京）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y= x2+1（答案不唯一） ．

114

【考点】二次函数的性质． 【专题】开放型．

【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可． 【解答】解：抛物线y=x2+1开口向上，且与y轴的交点为（0，1）． 故答案为：x2+1（答案不唯一）．

【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0．

75．（2013•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． （1）求点A，B的坐标；

（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式； （3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．

【考点】二次函数的性质；一次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】（1）令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标；

（2）求出点A关于对称轴的对称点（2，﹣2），然后设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；

115

（3）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式． 【解答】解：（1）当x=0时，y=﹣2， ∴A（0，﹣2），

抛物线的对称轴为直线x=﹣∴B（1，0）；

（2）易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′（2，﹣2）， 则直线l经过A′、B，

设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则解得

， ，

=1，

所以，直线l的解析式为y=﹣2x+2；

（3）∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称， 结合图象可以观察到抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，在﹣1＜x＜0这一段位于直线l的下方，

∴抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1， 当x=﹣1时，y=﹣2×（﹣1）+2=4， 所以，抛物线过点（﹣1，4）， 当x=﹣1时，m+2m﹣2=4， 解得m=2，

∴抛物线的解析式为y=2x2﹣4x﹣2．

116

【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，第（3）小题较难，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（﹣1，4）是解题的关键．

76．（2011•北京）抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（ ） A．（3，﹣4）

B．（3，4） C．（﹣3，﹣4）

D．（﹣3，4）

【考点】二次函数的性质． 【专题】应用题．

【分析】利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标；或者用顶点坐标公式求解．

【解答】解：∵y=x2﹣6x+5， =x2﹣6x+9﹣9+5， =（x﹣3）2﹣4，

∴抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（3，﹣4）． 故选A．

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，配方法求顶点式，难度适中．

77．（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）． （1）求抛物线的表达式及对称轴；

117

（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．

【考点】待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值．

【分析】（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；

（2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围． 【解答】解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）， 代入得：解得：

，

，

∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1；

（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4， 由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4， 设直线BC解析式为y=kx+b， 将B与C坐标代入得：

，

118

解得：k=，b=0， ∴直线BC解析式为y=x， 当x=1时，y=，

则t的范围为﹣4≤t≤．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

78．（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B． （1）求抛物线的顶点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当m=1时，求线段AB上整点的个数；

②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

119

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）利用配方法即可解决问题．

（2）①m=1代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题． ②根据题意判断出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围． 【解答】解：（1）∵y=mx2﹣2mx+m﹣1=m（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）． （2）①∵m=1， ∴抛物线为y=x2﹣2x，

令y=0，得x=0或2，不妨设A（0，0），B（2，0）， ∴线段AB上整点的个数为3个．

②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，

∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0））， 当抛物线经过（﹣1，0）时，m=， 当抛物线经过点（﹣2，0）时，m=， ∴m的取值范围为＜m≤．

120

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

79．（2014•北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．

（1）分别判断函数 y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；

（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；

（3）将函数 y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？

【考点】二次函数综合题． 【专题】代数综合题；压轴题．

【分析】（1）根据有界函数的定义和函数的边界值的定义进行答题； （2）根据函数的增减性、边界值确定a=﹣1；然后由“函数的最大值也是2”来求b的取值范围；

（3）需要分类讨论：m＜1和m≥1两种情况．由函数解析式得到该函数图象过点（﹣1，1）、（0，0），根据平移的性质得到这两点平移后的坐标分别是

121

（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）；最后由函数边界值的定义列出不等式≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，易求m取值范围：0≤m≤或≤m≤1．

【解答】解：（1）根据有界函数的定义知，函数y=（x＞0）不是有界函数． y=x+1（﹣4≤x≤2）是有界函数．边界值为：2+1=3；

（2）∵函数y=﹣x+1的图象是y随x的增大而减小， ∴当x=a时，y=﹣a+1=2，则a=﹣1

当x=b时，y=﹣b+1．则，

∴﹣1＜b≤3；

（3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于﹣1，此时函数的边界t＞1，与题意不符，故m≤1． 当x=﹣1时，y=1 即过点（﹣1，1） 当x=0时，y最小=0，即过点（0，0）， 都向下平移m个单位，则 （﹣1，1﹣m）、（0，﹣m） ≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣， ∴0≤m≤或≤m≤1．

【点评】本题考查了二次函数综合题型．掌握“有界函数”和“有界函数的边界值”的定义是解题的关键．

80．（2012•北京）已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2时的函数值相等．

（1）求二次函数的解析式；

122

（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值；

（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．

【考点】二次函数综合题；解一元一次方程；根的判别式；一次函数图象上点的坐标特征；平移的性质． 【专题】计算题．

【分析】（1）把x=0和x=2代入得出关于t的方程，求出t即可； （2）把A的坐标代入抛物线，即可求出m，把A的坐标代入直线，即可求出k；

（3）求出点B、C间的部分图象的解析式是y=﹣（x﹣3）（x+1），得出抛物线平移后得出的图象G的解析式是y=﹣（x﹣3+n）（x+1+n），﹣n﹣1≤x≤3﹣n，直线平移后的解析式是y=4x+6+n，若两图象有一个交点时，得出方程4x+6+n=﹣（x﹣3+n）（x+1+n）有两个相等的实数解，求出判别式△=6n=0，求出的n的值与已知n＞0相矛盾，得出平移后的直线与抛物线有两个公共点， 设两个临界的交点为（﹣n﹣1，0），（3﹣n，0），代入直线的解析式，求出n的值，即可得出答案．

【解答】（1）解：∵二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2时的函数值相等，

123

∴代入得：0+0+=4（t+1）+4（t+2）+， 解得：t=﹣，

∴y=（﹣+1）x2+2（﹣+2）x+=﹣x2+x+， ∴二次函数的解析式是y=﹣x2+x+．

（2）解：把A（﹣3，m）代入y=﹣x2+x+得：m=﹣×（﹣3）2﹣3+=﹣6，

即A（﹣3，﹣6），

代入y=kx+6得：﹣6=﹣3k+6， 解得：k=4， 即m=﹣6，k=4．

（3）解：由题意可知，点B、C间的部分图象的解析式是y=﹣x2+x+=﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣（x﹣3）（x+1），﹣1≤x≤3，

则抛物线平移后得出的图象G的解析式是y=﹣（x﹣3+n）（x+1+n），﹣n﹣1≤x≤3﹣n，

此时直线平移后的解析式是y=4x+6+n， 如果平移后的直线与平移后的二次函数相切，

124

则方程4x+6+n=﹣（x﹣3+n）（x+1+n）有两个相等的实数解， 即﹣x2﹣（n+3）x﹣n2﹣=0有两个相等的实数解， 判别式△=[﹣（n+3）]2﹣4×（﹣）×（﹣n2﹣）=6n=0， 即n=0，

∵与已知n＞0相矛盾，

∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切，

∴结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点， 则两个临界的交点为（﹣n﹣1，0），（3﹣n，0）， 则0=4（﹣n﹣1）+6+n， n=，

0=4（3﹣n）+6+n， n=6，

即n的取值范围是：≤n≤6．

【点评】本题考查了二次函数和一次函数的性质，平移的性质，根的判别式等知识点的应用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．

81．（2011•北京）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A的坐标；

（2）当∠ABC=45°时，求m的值；

（3）已知一次函数y2=kx+b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象于N．若只有当﹣2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．

125

【考点】二次函数综合题． 【专题】代数综合题．

【分析】（1）令y=0，则求得两根，又由点A在点B左侧且m＞0，所以求得点A的坐标；

（2）二次函数的图象与y轴交于点C，即求得点C，由∠ABC=45°，从而求得；

（3）由m值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得．

【解答】解：（1）∵点A、B是二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象与x轴的交点，

∴令y=0，即mx2+（m﹣3）x﹣3=0 整理，得

（x+1）（mx﹣3）=0 解得x1=﹣1，

又∵点A在点B左侧且m＞0 ∴点A的坐标为（﹣1，0）

（2）由（1）可知点B的坐标为∵二次函数的图象与y轴交于点C ∴点C的坐标为（0，﹣3） ∵∠ABC=45° ∴OB=

，

126

∴m=1

（3）由（2）得，二次函数解析式为y1=x2﹣2x﹣3， ∵只有当﹣2＜n＜2时，点M位于点N的上方， ∴当﹣2＜n＜2时，y1＜y2，

即一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2和2， 由此可得交点坐标为（﹣2，5）和（2，﹣3）， 将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b中， 得

，解得：

∴一次函数解析式为y=﹣2x+1．

【点评】本题考查了二次函数的综合运用，（1）令y=0则求得两根，又由AB位置确定m＞0，即求得；（2）二次函数的图象与y轴交于点C，再由45度从而求得．（3）由m值代入求得二次函数式，求得交点坐标，则代入一次函数式即求得．本题比较模糊，按照一般计算，代入即求得．

一十、图形的认识（共11小题）

【命题方向】这部分内容涉及的知识点多，包括初中阶段平面几何所有相关的概念、定理、定义，是几何学的基础，每年中考题的必考内容，题型涉及面广。【备考攻略】掌握这部分内容需熟记、理解各种图噶尔相关概念、定义，

127

理解定理，尤其是在解答文字叙述没有给出图形的几何题时，要考虑图形是否唯一，应画出全部符合条件的图形来，否则会丢解。

82．（2016•北京）如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（ ）

A．45°

B．55°

C．125°

D．135°

【考点】角的概念． 【分析】由图形可直接得出．

【解答】解：由图形所示，∠AOB的度数为55°， 故选B．

【点评】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．

83．（2012•北京）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（ ）

A．38°

B．104°

C．142°

D．144°

【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义． 【专题】常规题型．

128

【分析】根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解． 【解答】解：∵∠BOD=76°， ∴∠AOC=∠BOD=76°， ∵射线OM平分∠AOC，

∴∠AOM=∠AOC=×76°=38°，

∴∠BOM=180°﹣∠AOM=180°﹣38°=142°． 故选：C．

【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．

84．（2015•北京）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（ ）

A．26°

B．36°

C．46°

D．56°

【考点】平行线的性质．

【分析】如图，首先运用平行线的性质求出∠AOB的大小，然后借助平角的定义求出∠3即可解决问题． 【解答】解：如图，∵直线l4∥l1， ∴∠1+∠AOB=180°，而∠1=124°， ∴∠AOB=56°，

∴∠3=180°﹣∠2﹣∠AOB =180°﹣88°﹣56° =36°， 故选B．

129

【点评】该题主要考查了平行线的性质及其应用问题；应牢固掌握平行线的性质，这是灵活运用、解题的基础和关键．

85．（2014•北京）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（ ）

A．40°

B．50°

C．70°

D．80°

【考点】平行线的性质．

【分析】根据平角的定义求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等解答． 【解答】解：∵∠1=∠2，∠3=40°，

∴∠1=×（180°﹣∠3）=×（180°﹣40°）=70°， ∵a∥b， ∴∠4=∠1=70°． 故选：C．

【点评】本题考查了平行线的性质，平角等于180°，熟记性质并求出∠1是解题的关键．

86．（2016•北京）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：

已知：直线l和l外一点P．（如图1） 求作：直线l的垂线，使它经过点P．

130

作法：如图2

（1）在直线l上任取两点A，B；

（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q； （3）作直线PQ．

所以直线PQ就是所求的垂线．

请回答：该作图的依据是 到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上） ．

【考点】作图—基本作图．

【分析】只要证明直线AB是线段PQ的垂直平分线即可．

【解答】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）， 理由：如图，∵PA=AQ，PB=QB，

∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上， ∴直线AB垂直平分线段PQ， ∴PQ⊥AB．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，属于中考常考题型．

87．（2015•北京）阅读下面材料：

131

在数学课上，老师提出如下问题：

小芸的作法如下：

老师说：“小芸的作法正确．”

请回答：小芸的作图依据是 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线． ． 【考点】作图—基本作图． 【专题】作图题；压轴题．

【分析】通过作图得到CA=CB，DA=DB，则可根据线段垂直平分线定理的逆定理判断CD为线段AB的垂直平分线． 【解答】解：∵CA=CB，DA=DB，

∴CD垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．）

故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．．

【点评】本题考查了基本作图：基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．

88．（2016•北京）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）

132

A．圆锥

B．三棱锥

C．圆柱

D．三棱柱

【考点】由三视图判断几何体．

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．

【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选D

【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

．（2014•北京）如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）

A．圆锥

B．圆柱

C．正三棱柱 D．正三棱锥

【考点】由三视图判断几何体．

【分析】如图：该几何体的俯视图与左视图均为矩形，主视图为三角形，易得出该几何体的形状．

【解答】解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个三角形，

则可得出该几何体为三棱柱． 故选：C．

133

【点评】本题是个简单题，主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．

90．（2012•北京）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）

A．长方体

B．正方体

C．圆柱

D．三棱柱

【考点】由三视图判断几何体．

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．

【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选D．

【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

91．（2011•北京）若下图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是 圆柱 ．

【考点】由三视图判断几何体． 【专题】图表型．

【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【解答】解：一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱． 故答案为：圆柱．

134

【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．

92．（2016•北京）如图，小军、小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小军、小珠的身高分别为，，则路灯的高为 3 m．

【考点】中心投影．

【分析】根据CD∥AB∥MN，得到△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，根据相似三角形的性质可知

，

，即可得到结论．

【解答】解：如图，∵CD∥AB∥MN， ∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF， ∴即

，

，

，

，

解得：AB=3m， 答：路灯的高为3m．

【点评】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

一十一、图形与证明（共33小题）

【命题方向】图形的证明是平面几何的重要内容。在各省、市中考题中所占的比例都很大，题型多以证明题为主，也有很多是与其他知识综合的压轴题。

135

【备考攻略】尤其是近几年在这个问题中引入了运动变化的形式，增加了试题的开放性与灵活性，既考查了学生的逻辑推理能力，也考查了运用数学知识解决问题的能力，解答这部分题需较高的思维水平，善于发现运动中变化的量的规律及不变量，正确画出变化后的图形，运用图形相关的定理进行论证。 93．（2014•北京）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．

【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△EDB，则对应角相等：∠A=∠E．

【解答】证明：如图，∵BC∥DE， ∴∠ABC=∠BDE． 在△ABC与△EDB中，

∴△ABC≌△EDB（SAS）， ∴∠A=∠E．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

94．（2013•北京）已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．

136

【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠CAB=∠ADE，然后利用“角边角”证明△ABC和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可． 【解答】证明：∵DE∥AB， ∴∠CAB=∠ADE， ∵在△ABC和△DAE中，

，

∴△ABC≌△DAE（ASA）， ∴BC=AE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．

95．（2013•北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．

137

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；旋转的性质． 【专题】压轴题．

【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；

（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；

（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°﹣α=15°，求出即可． 【解答】（1）解：∵AB=AC，∠A=α，

∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α， ∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°， 即∠ABD=30°﹣α；

（2）△ABE是等边三角形， 证明：连接AD，CD，ED，

∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD， 则BC=BD，∠DBC=60°， ∵∠ABE=60°，

∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形， 在△ABD与△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α， ∵∠BCE=150°，

138

∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD， 在△ABD和△EBC中

∴△ABD≌△EBC（AAS）， ∴AB=BE，

∴△ABE是等边三角形；

（3）解：∵∠BCD=60°，∠BCE=150°， ∴∠DCE=150°﹣60°=90°， ∵∠DEC=45°，

∴△DEC为等腰直角三角形， ∴DC=CE=BC， ∵∠BCE=150°，

∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°， ∵∠EBC=30°﹣α=15°， ∴α=30°．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．

139

96．（2012•北京）已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD． 求证：BC=ED．

【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】首先由AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD，再有条件AB=CE，AC=CD可证出△BAC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED．

【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ECD， 在△BAC和△ECD中∴△BAC≌△ECD（SAS）， ∴CB=ED．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

97．（2011•北京）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．

，

【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质． 【专题】证明题．

140

【分析】根据BE∥DF，可得∠ABE=∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可．

【解答】证明：∵BE∥DF， ∴∠ABE=∠D， 在△ABE和△FDC中， ∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F ∴△ABE≌△FDC（ASA）， ∴AE=FC．

【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．

98．（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．

【考点】等腰三角形的性质． 【专题】证明题．

【分析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD． 【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD．

【点评】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

141

99．（2015•北京）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为，则M，C两点间的距离为（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】直角三角形斜边上的中线． 【专题】应用题．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC=AM=． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点， ∴MC=AB=AM=． 故选D．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．

100．（2013•北京）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=ABCD的面积．

，BE=2

．求CD的长和四边形

【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．

【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．

【解答】解：过点D作DH⊥AC，

142

∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=∴EH=DH， ∵EH2+DH2=ED2， ∴EH2=1， ∴EH=DH=1， 又∵∠DCE=30°， ∴DC=2，HC=

，

，

∵∠AEB=45°，∠BAC=90°， BE=2

，

∴AB=AE=2， ∴AC=2+1+

=3+

，

）+×1×（3+

）=

．

∴S四边形ABCD=×2×（3+

【点评】此题主要考查了解直角三角形和三角形面积求法，根据已知构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键．

101．（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN；

（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

143

【分析】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．

（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题． 【解答】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点， ∴MN∥AD，MN=AD，

在RT△ABC中，∵M是AC中点， ∴BM=AC， ∵AC=AD， ∴MN=BM．

（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC=30°， 由（1）可知，BM=AC=AM=MC， ∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°， ∵MN∥AD，

∴∠NMC=∠DAC=30°， ∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°， ∴BN2=BM2+MN2，

由（1）可知MN=BM=AC=1， ∴BN=

【点评】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

102．（2016•北京）在等边△ABC中，

144

（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数； （2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM． ①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；

想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM； 想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…

请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）． 【考点】三角形综合题．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论；

（2）如图2根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，由点Q关于直线AC的对称点为M，得到AQ=AM，∠OAC=∠MAC，等量代换得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）∵AP=AQ， ∴∠APQ=∠AQP， ∴∠APB=∠AQC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠BAP=∠CAQ=20°，

∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°；

145

（2）如图2，∵AP=AQ， ∴∠APQ=∠AQP， ∴∠APB=∠AQC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠BAP=∠CAQ，

∵点Q关于直线AC的对称点为M， ∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC， ∴∠MAC=∠BAP，

∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°， ∴∠PAM=60°， ∵AP=AQ， ∴AP=AM，

∴△APM是等边三角形， ∴AP=PM．

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．

103．（2016•北京）内角和为540°的多边形是（ ）

A． B． C． D．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解．

146

【解答】解：设多边形的边数是n，则 （n﹣2）•180°=540°， 解得n=5． 故选：C．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．

104．（2015•北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360° ．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】首先根据图示，可得∠1=180°﹣∠BAE，∠2=180°﹣∠ABC，∠3=180°﹣∠BCD，∠4=180°﹣∠CDE，∠5=180°﹣∠DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE的内角和是多少，再用180°×5减去五边形ABCDE的内角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少即可． 【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5

=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）

=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA） =900°﹣（5﹣2）×180° =900°﹣540° =360°．

故答案为：360°．

【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）

147

多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．

105．（2012•北京）正十边形的每个外角等于（ ） A．18°

B．36°

C．45°

D．60°

【考点】多边形内角与外角． 【专题】常规题型．

【分析】根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数，计算即可得解．

【解答】解：360°÷10=36°， 所以，正十边形的每个外角等于36°． 故选：B．

【点评】本题考查了正多边形的外角和、边数、外角度数之间的关系，熟记正多边形三者之间的关系是解题的关键．

106．（2016•北京）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．

【考点】平行四边形的性质． 【专题】证明题．

【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，得出内错角相等∠E=∠BAE，再由角平分线证出∠E=∠DAE，即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠E=∠BAE， ∵AE平分∠BAD，

148

∴∠BAE=∠DAE， ∴∠E=∠DAE， ∴DA=DE．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出∠E=∠DAE是解决问题的关键．

107．（2015•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．

【考点】平行四边形的性质；角平分线的性质；勾股定理；矩形的判定． 【专题】证明题．

【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案； （2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA=∠FAB．

149

在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC=

=

=5，

∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠FAB， 即AF平分∠DAB．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．

108．（2013•北京）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．

【考点】平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理． 【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；

（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度． 【解答】证明：（1）在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC． ∵F是AD的中点， ∴DF=

．

又∵CE=BC，

150

∴DF=CE，且DF∥CE， ∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）解：如图，过点D作DH⊥BE于点H． 在▱ABCD中，∵∠B=60°， ∴∠DCE=60°． ∵AB=4， ∴CD=AB=4， ∴CH=CD=2，DH=2

．

在▱CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1． ∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=

=

．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

109．（2011•北京）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长．

【考点】平行四边形的判定与性质；勾股定理．

151

【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出 四边形ACEB的周长．

【解答】解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC， ∴AC∥DE． 又∵CE∥AD，

∴四边形ACED是平行四边形． ∴DE=AC=2．

在Rt△CDE中，由勾股定理得CD=∵D是BC的中点， ∴BC=2CD=4

．

=2

．

=2

．

在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB=∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴EB=EC=4．

∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2

．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径．

110．（2011•北京）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

152

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质． 【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可．

（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得．

（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．

由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案

【解答】（1）证明：如图1， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F， ∴∠CEF=∠F． ∴CE=CF．

（2）解：连接GC、BG，

∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD为矩形， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF=∠BAF=45°， ∵∠DCB=90°，DF∥AB， ∴∠DFA=45°，∠ECF=90° ∴△ECF为等腰直角三角形， ∵G为EF中点， ∴EG=CG=FG，CG⊥EF，

153

∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC， ∴BE=DC，

∵∠CEF=∠GCF=45°， ∴∠BEG=∠DCG=135° 在△BEG与△DCG中， ∵

，

∴△BEG≌△DCG， ∴BG=DG， ∵CG⊥EF，

∴∠DGC+∠DGA=90°， 又∵∠DGC=∠BGA， ∴∠BGA+∠DGA=90°， ∴△DGB为等腰直角三角形， ∴∠BDG=45°．

（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD． ∵AD∥GF，AB∥DF， ∴四边形AHFD为平行四边形 ∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD

∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30° ∴△DAF为等腰三角形 ∴AD=DF， ∴CE=CF，

∴平行四边形AHFD为菱形

∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形 ∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60° ∵FG=CE，CE=CF，CF=BH， ∴BH=GF

在△BHD与△GFD中，

154

∵，

∴△BHD≌△GFD， ∴∠BDH=∠GDF

∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°

【点评】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．同学们在解决此类问题时，可以通过以下的步骤进行思考和分析：（1）通过测量或特殊情况的提示进行猜想；（2）根据猜想的结果进行联想（如60度角可以联想到等边三角形，45度角可以联想到等腰直角三角形等）；（3）在联想的基础上根据已知条件利用几何变换（如旋转、平移、轴对称等）构造全等解决问题．

111．（2014•北京）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

【考点】菱形的判定；平行四边形的性质；解直角三角形．

155

【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；

（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，从而得到PH=三角函数的定义求解即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE=∠AEB． ∵AE是角平分线， ∴∠DAE=∠BAE． ∴∠BAE=∠AEB． ∴AB=BE． 同理AB=AF． ∴AF=BE．

∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB=BE，

∴四边形ABEF是菱形．

（2）解：作PH⊥AD于H，

∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4， ∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF， ∴AP=AB=2， ∴PH=

，DH=5，

=

．

，DH=5，然后利用锐角

∴tan∠ADP=

156

【点评】本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．

112．（2013•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为 20 ．

【考点】矩形的性质；三角形中位线定理． 【专题】几何图形问题．

【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．

【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点， ∴OM=CD=AB=， ∵AB=5，AD=12， ∴AC=

=13，

∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点， ∴BO=AC=，

∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6++=20， 故答案为：20．

【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．

113．（2015•北京）在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．

157

（1）若点P在线段CD上，如图1． ①依题意补全图1；

②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；

（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）

【考点】四边形综合题． 【专题】压轴题．

【分析】（1）①根据题意画出图形即可；

②连接CH，先根据正方形的性质得出△DHQ是等腰直角三角形，再由SAS定理得出△HDP≌△HQC，故PH=CH，∠HPC=∠HCP，由正方形的性质即可得出结论； （2）根据四边形ABCD是正方形，QH⊥BD可知△DHQ是等腰直角三角形，再由平移的性质得出PD=CQ．作HR⊥PC于点R，由∠AHQ=152°，可得出∠AHB及∠DAH的度数，设DP=x，则DR=HR=RQ，由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：（1）①如图1；

②解法一：如图1，连接CH， ∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD， ∴∠HDQ=45°，

∴△DHQ是等腰直角三角形． ∵DP=CQ，

在△HDP与△HQC中． ∵

，

∴△HDP≌△HQC（SAS），

158

∴PH=CH，∠HPC=∠HCP． ∵BD是正方形ABCD的对称轴， ∴AH=CH，∠DAH=∠HCP， ∴∠AHP=180°﹣∠ADP=90°， ∴AH=PH，AH⊥PH． 解法二：如图1，连接CH， ∵QH⊥BD，

∴∠QHB=∠BCQ=90°， ∴B、H、C、Q四点共圆， ∴∠DHC=∠BQC，

由正方形的性质可知∠DHC=∠AHD， 由平移性质可知∠BQC=∠APD， ∴∠AHD=∠APD， ∴A、H、P、D四点共圆，

∴∠PAH=∠PDH=45°，∠AHP=∠ADP=90°， ∴△HAP是等腰直角三角形， ∴AH=PH，AH⊥PH．

（2）解法一：如图2，

∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD， ∴∠HDQ=45°，

∴△DHQ是等腰直角三角形． ∵△BCQ由△ADP平移而成， ∴PD=CQ． 作HR⊥PC于点R， ∵∠AHQ=152°， ∴∠AHB=62°， ∴∠DAH=17°． 设DP=x，则DR=HR=RQ=

．

159

∵tan17°=，即tan17°=，

∴x=解法二：

．

由（1）②可知∠AHP=90°， ∴∠AHP=∠ADP=90°， ∴A、H、D、P四点共圆， 又∠AHQ=152°，∠BHQ=90°， ∴∠AHB=152°﹣90°=62°， 由圆的性质可知∠APD=∠AHB=62°， 在Rt△APD中，∠PAD=90°﹣62°=28°， ∴PD=AD•tan28°=tan28°．

【点评】本题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、图形平移的性质、全等三角形的判定与性质等知识，难度适中．

114．（2014•北京）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．

160

（1）依题意补全图1；

（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；

（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．

【考点】四边形综合题． 【专题】压轴题．

【分析】（1）根据题意直接画出图形得出即可； （2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；

（3）由轴对称的性质可得：EF=BF，AE=AB=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF，进而利用勾股定理得出答案．

【解答】解：（1）如图1所示：

（2）如图2，连接AE，

则∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， ∴∠EAP=∠BAP=20°， ∴∠EAD=130°， ∴∠ADF=

（3）如图3，连接AE、BF、BD， 由轴对称的性质可得：EF=BF，AE=AB=AD，

=25°；

161

∠ABF=∠AEF=∠ADF， ∴∠BFD=∠BAD=90°， ∴BF2+FD2=BD2， ∴EF2+FD2=2AB2．

【点评】此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质得出对应边相等是解题关键．

115．（2013•北京）阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．

小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2） 请回答：

162

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为 a ； （2）求正方形MNPQ的面积．

（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=

，则AD的长为

．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2，边长为a；

（2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；

（3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度．

【解答】解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a， 每个等腰直角三角形的面积为：a•a=a2，

则拼成的新正方形面积为：4×a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等， ∴这个新正方形的边长为a；

（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，

163

∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××1=2；

（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．

2

由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．

不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．

如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a，

在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=a×∴S△RSF=a•

a=

a2．

=

a，

过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x， 则AN=AD•sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=∴S△ADS=SD•AN=•

x•x=

x2．

a2=

a2，

x，

∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=3S△RSF=3×∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，

1

∴=3×x，得x=，

（不合题意，舍去）

22

解得x=或x=

∴x=，即AD的长为． 故答案为：a；．

【点评】本题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．

116．（2015•北京）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=°，OC=4，CD的长为（ ）

A．2

B．4 C．4

D．8

【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．

【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=

OC=2

，然后利用CD=2CE进行计算．

【解答】解：∵∠A=°， ∴∠BOC=2∠A=45°， ∵⊙O的直径AB垂直于弦CD， ∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形， ∴CE=

OC=2

， ．

∴CD=2CE=4故选：C．

165

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．

117．（2016•北京）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交

于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．

（1）求证：AC∥DE；

（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．

【考点】切线的性质．

【分析】（1）欲证明AC∥DE，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．

（2）作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD，首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可． 【解答】（1）证明：∵ED与⊙O相切于D， ∴OD⊥DE， ∵F为弦AC中点， ∴OD⊥AC， ∴AC∥DE．

（2）解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．

首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．

∵AC∥DE，AE=AO，

166

∴OF=DF， ∵AF⊥DO， ∴AD=AO， ∴AD=AO=OD，

∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形， ∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=a， ∴AO∥CD，又AE=CD，

∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM=∴平行四边形ACDE面积=

a2．

a，

【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．

118．（2015•北京）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且

=

，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．

（1）求证：△ACD是等边三角形； （2）连接OE，若DE=2，求OE的长．

【考点】切线的性质；等边三角形的判定与性质．

167

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根据垂径定理得到得证；

（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为：r则ON=r，AN=DN=

r，由于得到EN=2+

，BE=AE=

，在Rt△DEF与Rt

，于是得到

，问题即可

△BEO中，由勾股定理列方程即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线， ∴AB⊥BE， ∵CD∥BE， ∴CD⊥AB， ∴∵∴

=

， ，

，

∴AD=AC=CD，

∴△ACD是等边三角形；

（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形， ∴∠DAC=60° ∵AD=AC，CD⊥AB， ∴∠DAB=30°， ∴BE=AE，ON=AO， 设⊙O的半径为：r， ∴ON=r，AN=DN=∴EN=2+

r，

，

，BE=AE=

在Rt△NEO与Rt△BEO中，

168

OE2=ON2+NE2=OB2+BE2， 即（）2+（2+∴r=2∴OE2=∴OE=2

． ，

+25=28，

）2=r2+

，

【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．

119．（2014•北京）如图，AB是⊙O的直径，C是

的中点，⊙O的切线BD交

AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH． （1）求证：AC=CD； （2）若OB=2，求BH的长．

【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】（1）连接OC，由C是

的中点，AB是⊙O的直径，则CO⊥AB，再由

BD是⊙O的切线，得BD⊥AB，从而得出OC∥BD，即可证明AC=CD；

169

（2）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≌△FBE（ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=⊥AF，可证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵C是

的中点，AB是⊙O的直径，

，由AB是直径，得BH

∴CO⊥AB，

∵BD是⊙O的切线， ∴BD⊥AB， ∴OC∥BD， ∵OA=OB， ∴AC=CD；

（2）解：∵E是OB的中点， ∴OE=BE，

在△COE和△FBE中，

，

∴△COE≌△FBE（ASA）， ∴BF=CO， ∵OB=2， ∴BF=2， ∴AF=

=2

，

∵AB是直径， ∴BH⊥AF， ∴△ABF∽△BHF， ∴

=

，

∴AB•BF=AF•BH，

170

∴BH===．

【点评】本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质、勾股定理，是中档题，难度不大．

120．（2013•北京）如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E． （1）求证：∠EPD=∠EDO；

（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．

【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∠EPD=∠EDO； （2）连接OC，利用tan∠PDA=，可求出CD=4，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长．

【解答】（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C， ∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO， ∴∠PAO=90°，

∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°， ∴∠APO=∠EDO，

171

∴∠EPD=∠EDO；

（2）解：连接OC， ∴PA=PC=6， ∵tan∠PDA=，

∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10， ∴CD=4， ∵tan∠PDA=，

∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5， ∵∠EPD=∠ODE， ∴△OED∽△DEP， ∴

=

=

=2，

∴DE=2OE

在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52， ∴OE=

．

【点评】本题综合考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．

121．（2012•北京）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE． （1）求证：BE与⊙O相切；

（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长．

172

【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 【专题】几何综合题．

【分析】（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论．

（2）过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC=，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长． 【解答】证明：（1）连接OC，

∵OD⊥BC， ∴∠COE=∠BOE， 在△OCE和△OBE中， ∵

，

∴△OCE≌△OBE，

∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE， ∵OB是⊙O半径， ∴BE与⊙O相切．

（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，

173

∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°， ∴△ODH∽△OBD， ∴

=

=

又∵sin∠ABC=，OB=9， ∴OD=6，

易得∠ABC=∠ODH， ∴sin∠ODH=，即∴OH=4， ∴DH=

=2

， =，

又∵△ADH∽△AFB， ∴

=

，

=

，

∴FB=．

【点评】此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握切线的判定定理，在第二问的求解中，一定要注意相似三角形的性质的运用．

122．（2016•北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=

，求BC和BF的长．

174

【考点】切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 【专题】几何综合题．

【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°． （2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可． 【解答】（1）证明：连接AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠1+∠2=90°． ∵AB=AC， ∴∠1=∠CAB． ∵∠CBF=∠CAB， ∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90° 即∠ABF=90° ∵AB是⊙O的直径， ∴直线BF是⊙O的切线．

（2）解：过点C作CG⊥AB于G． ∵sin∠CBF=∴sin∠1=

，∠1=∠CBF， ，

∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，

175

∴BE=AB•sin∠1=，

∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=2

，

=2

=

=

，

，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=∴sin∠2=

=

=

，cos∠2=

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2， ∴AG=3， ∵GC∥BF， ∴△AGC∽△ABF， ∴∴BF=

=

【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．

123．（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图． （1）已知点A的坐标为（1，0），

①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

176

（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得

点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；

②由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45，设直线AC的解析式为；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；

（2）由定义可知，MN必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN与x轴的夹角为45°，由因为点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交点，由此可以求出m的范围． 【解答】解：（1）①∵A（1，0），B（3，1）

由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1， ∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2；

②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线， 又∵点A，C的“相关矩形”为正方形 ∴直线AC与x轴的夹角为45°， 设直线AC的解析为：y=x+m或y=﹣x+n 把（1，0）分别y=x+m， ∴m=﹣1，

∴直线AC的解析为：y=x﹣1， 把（1，0）代入y=﹣x+n， ∴n=1，

177

∴y=﹣x+1，

综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1；

（2）设直线MN的解析式为y=kx+b， ∵点M，N的“相关矩形”为正方形，

∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°， ∴k=±1， ∵点N在⊙O上，

∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形， 当k=1时，

作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，

其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B， 连接OA，OC，

把M（m，3）代入y=x+b， ∴b=3﹣m，

∴直线MN的解析式为：y=x+3﹣m ∵∠ADO=45°，∠OAD=90°， ∴OD=

OA=2，

∴D（0，2）

同理可得：B（0，﹣2）， ∴令x=0代入y=x+3﹣m， ∴y=3﹣m， ∴﹣2≤3﹣m≤2， ∴1≤m≤5，

当k=﹣1时，把M（m，3）代入y=﹣x+b， ∴b=3+m，

∴直线MN的解析式为：y=x+3+m， 同理可得：﹣2≤3+m≤2， ∴﹣5≤m≤﹣1；

178

综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1

【点评】本题考查新定义问题，涉及圆的切线性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解相关矩形的定义，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来．

124．（2015•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．

特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0． （1）当⊙O的半径为1时．

①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，在？若存在，求其坐标；

②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣

x+2

与x轴、y轴分别交

）关于⊙O的反称点是否存

于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．

179

【考点】圆的综合题． 【专题】压轴题．

【分析】（1）①根据反称点的定义，可得当⊙O的半径为1时，点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）；T（1，

）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；

②由OP≤2r=2，得出OP2≤4，设P（x，﹣x+2），由勾股定理得出OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，解不等式得出0≤x≤2．再分别将x=2与0代入检验即可；

（2）先由y=﹣

x+2

，求出A（6，0），B（0，2

），则

=

，∠

OBA=60°，∠OAB=30°．再设C（x，0），分两种情况进行讨论：①C在OA上；②C在A点右侧．

【解答】解：（1）当⊙O的半径为1时． ①点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；

N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）； T（1，

②∵OP≤2r=2，OP2≤4，设P（x，﹣x+2）， ∴OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4， ∴2x2﹣4x≤0， x（x﹣2）≤0， ∴0≤x≤2．

当x=2时，P（2，0），P′（0，0）不符合题意；

180

）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；

当x=0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意； ∴0＜x＜2；

（2）∵直线y=﹣

x+2

与x轴、y轴分别交于点A，B， ），

∴A（6，0），B（0，2∴

=

，

∴∠OBA=60°，∠OAB=30°． 设C（x，0）．

①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r=2， 所以AC≤4，

C点横坐标x≥2（当x=2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；

②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2， 所以C点横坐标x≤8．

综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8．

【点评】本题是圆的综合题，其中涉及到一次函数图象上点的坐标特征，特殊角的三角函数值，勾股定理，一元二次不等式的解法，利用数形结合、正确理解反称点的意义是解决本题的关键．

181

125．（2013•北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，﹣2），F（2（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D、E、F中，⊙O的关联点是 D，E ．

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．

，0）．

【考点】圆的综合题． 【专题】压轴题．

【分析】（1）①根据关联点的定义得出E点是⊙O的关联点，进而得出F、D，与⊙O的关系；

②若P要刚好是⊙C的关联点，需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，进而得出PC的长，进而得出点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r，再考虑临界点位置的P点，进而得出m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；再考虑临界情况，即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，即可得出圆的半径r的取值范围． 【解答】解：（1）①如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R， ∵⊙O的半径为1，∴RO=1，

182

∵EO=2， ∴∠OER=30°，

根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°， ∴E点是⊙O的关联点，

∵D（，），E（0，﹣2），F（2∴OF＞EO，DO＜EO，

∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于60°，

故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E； 故答案为：D，E；

②如图2，由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点， 需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°， 由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°， 连接BC，则PC=

=2BC=2r，

，0），

∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r； 由上述证明可知，考虑临界点位置的P点， 如图3，点P1到原点的距离OP1=2×1=2， 过点O作直线l的垂线OH，垂足为H，tan∠OGF=∴∠OGF=60°， ∴OH=OGsin60°=sin∠OP1H=

=

； ，

=

=

，

∴∠OP1H=60°， 可得点P1与点G重合， 过点P2作P2M⊥x轴于点M， 可得∠P2OM=30°， ∴OM=OP2cos30°=

，

从而若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上，

183

∴0≤m≤

；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点； 考虑临界情况，如图4，

即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2， 此时，r=1，

故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1．

184

【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及切线判定与性质以及锐角三角函数关系和新概念等知识，注意临界点位置的应用是解题关键．

一十二、图形与变换（共12小题）

【命题方向】这部分知识包含了图的各种变换——平移、旋转、对称、相似及解直角三形的知识。【备考攻略】同样是历届中考的必考内容、题型有单一知识点的选择题、填空题，也有利用网格的图案设计题，及利用解直角三角形的实际问题与相似三角形的证明问题。

126．（2016•北京）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选D．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

127．（2015•北京）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ）

185

A． B． C．

D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形， B、不是轴对称图形， C、不是轴对称图形， D、是轴对称图形， 故选：D．

【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．

128．（2011•北京）阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC

186

的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．

参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．

（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于

．

【考点】平移的性质；三角形的面积；作图—复杂作图． 【专题】探究型．

【分析】根据平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等，即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积．

（1）分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P，得到的△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形．

（2）由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等．结合图形知以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的． 【解答】解：△BDE的面积等于1．

（1）如图．以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP．

（2）平移AF到PE，可得AF∥PE，AF=PE， ∴四边形AFEP为平行四边形，

∴AE与PF互相平分，即M为PF的中点， 又∵AP∥FN，F为AB的中点， ∴N为PC的中点，

∴E为△PFC各边中线的交点， ∴△PEC的面积为△PFC面积的 连接DE，可知DE与PE在一条直线上 ∴△EDC的面积是△ABC面积的

187

所以△PFC的面积是1××3=

∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于．

【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

129．（2012•北京）操作与探究：

（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．

点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是 0 ；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是 3 ；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是

．

（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形

A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．

188

【考点】坐标与图形变化-平移；数轴；正方形的性质；平移的性质． 【专题】应用题．

【分析】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解；

（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F的坐标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可．

【解答】解：（1）点A′：﹣3×+1=﹣1+1=0， 设点B表示的数为a，则a+1=2， 解得a=3，

设点E表示的数为b，则b+1=b， 解得b=；

故答案为：0，3，；

（2）根据题意得，，

解得，

1

设点F的坐标为（x，y）， ∵对应点F′与点F重合， ∴x+=x，y+2=y， 解得x=1，y=4，

所以，点F的坐标为（1，4）．

【点评】本题考查了坐标与图形的变化，数轴上点右边的总比左边的大的性质，读懂题目信息是解题的关键．

130．（2012•北京）在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．

（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质． 【专题】压轴题．

【分析】（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形，即可得出答案；

（2）首先利用已知得出△APD≌△CPD，进而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出；

190

（3）由（2）得出∠CDB=90°﹣α，且PQ=QD，进而得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α，得出α的取值范围即可．

【解答】解：（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点， ∴BM⊥AC，AM=MC，

∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ， ∴AM=MQ，∠AMQ=120°， ∴CM=MQ，∠CMQ=60°， ∴△CMQ是等边三角形， ∴∠ACQ=60°， ∴∠CDB=30°；

（2）如图2，连接PC，AD， ∵AB=BC，M是AC的中点， ∴BM⊥AC，

即BD为AC的垂直平分线， ∴AD=CD，AP=PC，PD=PD， 在△APD与△CPD中， ∵

，

∴△APD≌△CPD（SSS）， ∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD， 又∵PQ=PA，

∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠PCQ=∠PAD， ∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，

∴∠APQ+∠ADC=360°﹣（∠PAD+∠PQD）=180°， ∴∠ADC=180°﹣∠APQ=180°﹣2α， ∴2∠CDB=180°﹣2α， ∴∠CDB=90°﹣α；

191

（3）如图1，延长BM，CQ交于点D，连接AD， ∵∠CDB=90°﹣α，且PQ=QD，

∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α， ∵点P不与点B，M重合， ∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，

∵点P在线段BM上运动，∠PAD最大为2α，∠PAD最小等于α， ∴2α＞180°﹣2α＞α， ∴45°＜α＜60°．

【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，得出∠APQ+∠ADC=360°﹣（∠PAD+∠PQD）=180°是解题关键．

131．（2013•北京）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确； B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误． 故选：A．

192

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合； 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

132．（2011•北京）下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A．等边三角形

B．平行四边形

C．梯形

D．矩形

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，四个选项中，只有D选项既为中心对称图形又是轴对称图形

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项正确． 故选D．

【点评】本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

133．（2014•北京）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．

小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．

请回答：∠ACE的度数为 75° ，AC的长为 3 ． 参考小腾思考问题的方法，解决问题：

如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．

193

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形． 【专题】阅读型．

【分析】根据相似的三角形的判定与性质，可得

=2，根据等腰三角

形的判定，可得AE=AC，根据正切函数，可得DF的长，根据直角三角形的性质，可得AB与DF的关系，根据勾股定理，可得答案．

【解答】解：∠ABC+∠ACB=∠ECD+∠ACB=∠ACE=180°﹣75°﹣30°=75°， ∠E=75°，BD=2DC， ∴AD=2DE， AE=AD+DE=3， ∴AC=AE=3，

∠ACE=75°，AC的长为3． 过点D作DF⊥AC于点F． ∵∠BAC=90°=∠DFA， ∴AB∥DF， ∴△ABE∽△FDE， ∴

=2，

∴EF=1，AB=2DF．

在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°， ∴∠ACD=75°，AC=AD． ∵DF⊥AC， ∴∠AFD=90°，

在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°， ∴DF=AFtan30°=∴AC=AD=2

，AD=2DF=2

．

194 ．

，AB=2DF=2

∴BC==2．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理．

134．（2011•北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则

的值为（ ）

A． B． C． D．

【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．

【分析】根据梯形的性质容易证明△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性质即可得到AO：CO的值．

【解答】解：∵四边形ABCD是梯形， ∴AD∥CB， ∴△AOD∽△COB， ∴

，

∵AD=1，BC=3． ∴

=．

故选B．

【点评】此题主要考查了梯形的性质，利用梯形的上下底平行得到三角形相似，然后用相似三角形的性质解决问题．

195

135．（2014•北京）在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 15 m． 【考点】相似三角形的应用．

【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解． 【解答】解：设旗杆高度为x米， 由题意得，解得x=15． 故答案为：15．

【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．

136．（2013•北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）

=

，

A．60m

B．40m

C．30m

D．20m

【考点】相似三角形的应用．

【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．

【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴△BAE∽△CDE， ∴

∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，

196

∴

解得：AB=40， 故选B．

【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．

137．（2012•北京）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=，CD=8m，则树高AB= m．

【考点】相似三角形的应用．

【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．

【解答】解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D ∴△DEF∽△DCB ∴

=

∵DE=40cm=，EF=20cm=，AC=，CD=8m， ∴

=

∴BC=4米， ∴AB=AC+BC=+4=米， 故答案为：．

【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．

197

一十三、统计（共15小题）

【命题方向】这部分知识是初中数学的重要内容，各省、市中考的必考内容。题型多样，有选择题、填空题、解答题。【备考攻略】统计知识常与生产、生活实际相结合。解答这部分题，审题很重要，要从实际问题中抽象出所需数据。另外，读图在这个知识点中尤为重要，从扇形统计图、条形统计图、折线统计图及频数分布直方图中读取相关信息来解决问题，对这部分的各个知识点都要熟练掌握。

138．（2016•北京）调查作业：了解你所在小区家庭5月份用气量情况： 小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2﹣5之间，这300户家庭的平均人数均为．

小天、小东和小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1，表2和表3． 表1 抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表 （单位：m3） 家庭人数 用气量

2 14

3 19

4 21

5 26

表2 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 （单位：m3） 家庭人数

用气量 10 11 15 13 14 15 15 17 17 18 18 18 18 20 22 表3 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 （单位：m3） 家庭人数

用气量 10 12 13 14 17 17 18 19 20 20 22 26 31 28 31 根据以上材料回答问题：

小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处． 【考点】抽样调查的可靠性；加权平均数．

2

2

2

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

5

5

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

4

198

【分析】首先根据题意分析家庭平均人数，进而利用加权平均数求出答案，再利用已知这300户家庭的平均人数均为分析即可．

【解答】解：小天调查的人数太少，小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为：

（2×3+3×11+4）÷15=，

远远偏离了平均人数的，所以他的数据抽样有明显的问题，

小芸抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为：（2×2+3×7+4×4+5×2）÷15=，

说明小芸抽样数据质量较好，因此小芸的抽样调查的数据能较好的反应出该小区家庭5月份用气量情况．

【点评】此题主要考查了抽样调查的可靠性以及加权平均数，正确理解抽样调查的随机性是解题关键．

139．（2015•北京）北京市2009﹣2014年轨道交通日均客运量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约 980 万人次，你的预估理由是 因为2012﹣2013年发生数据突变，故参照2013﹣2014增长进行估算． ．

【考点】用样本估计总体；折线统计图．

【分析】根据统计图进行用样本估计总体来预估即可．

【解答】解：参①：1038，按每年平均增长人数近似相等进行估算；

199

参②：980，因为2012﹣2013年发生数据突变，故参照2013﹣2014增长进行估算．（因为题目问法比较灵活，只要理由合理均可给分，估计学生答出980至1140之间均可给分）

【点评】此题考查用样本估计总体，关键是根据统计图分析其上升规律．

140．（2016•北京）为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：m3），绘制了统计图．如图所示，下面四个推断合理的是（ ）

①年用水量不超过180m的该市居民家庭按第一档水价交费； ②年用水量超过240m3的该市居民家庭按第三档水价交费； ③该市居民家庭年用水量的中位数在150﹣180之间； ④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180．

3

A．①③ B．①④ C．②③

D．②④

【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数． 【分析】利用条形统计图结合中位数的定义分别分析得出答案．

【解答】解：①由条形统计图可得：年用水量不超过180m3的该市居民家庭一共有（++++）=4（万），

×100%=80%，故年用水量不超过180m3的该市居民家庭按第一档水价交费，正确；

200

②∵年用水量超过240m3的该市居民家庭有（++）=（万）， ∴

×100%=7%≠5%，故年用水量超过240m3的该市居民家庭按第三档水价交

费，故此选项错误；

③∵5万个数数据的中间是第25000和25001的平均数，

∴该市居民家庭年用水量的中位数在120﹣150之间，故此选项错误； ④由①得，该市居民家庭年用水量的平均数不超过180，正确， 故选：B．

【点评】此题主要考查了频数分布直方图以及中位数的定义，正确利用条形统计图获取正确信息是解题关键．

141．（2014•北京）根据某研究院公布的2009～2013年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：

2009～2013年成年国民 年人均阅读图书数量统计表 年份 年人均阅读图书数量（本） 2009 2010 2011 2012 2013

根据以上信息解答下列问题： （1）直接写出扇形统计图中m的值；

（2）从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为 5 本； （3）2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平，估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为 4950 本．

201

【考点】扇形统计图；用样本估计总体；统计表． 【分析】（1）1直接减去个部分的百分数即可；

（2）直接利用从2009到2013年平均增长数量，求出即可； （3）根据（2）的结果直接计算．

【解答】解：（1）m%=1﹣%﹣%﹣%﹣%=66%， ∴m=66．

（2）∵年平均增长幅度为（﹣）÷4=（本）， ∴2014年的阅读量为：+≈5（本）； 故答案为：5；

（3）2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为：990×5=4950（本）． 故答案为：4950．

【点评】本题考查了扇形统计图，能从图表中找到相关信息并加以利用是解题的关键．

142．（2015•北京）阅读下列材料：

2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、万人次；颐和园、天坛公园、

202

北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．

2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为万人次，2013 年清明小长假增加了万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．

2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、 万人次． 根据以上材料解答下列问题：

（1）2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为 40 万人次； （2）选择统计表或统计图，将2013﹣2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来． 【考点】条形统计图；统计表．

【分析】（1）2013年的人数乘以（1+25%）即可求解；

（2）求出2014年颐和园的游客接待量，然后利用统计表即可表示． 【解答】解：（1）2014年，玉渊潭公园的游客接待量是：32×（1+25%）=40（万人）． 故答案是：40；

（2）2013年颐和园的游客接待量是：﹣=（万元）．

2013年 2014年 2015年

玉渊潭公园

32 40 38

颐和园 26

北京动物园

22 18

【点评】本题考查了数据的分析与整理，正确读懂题意，从所列的数据中整理出2013﹣2015年三年中，三个公园的游客数是关键．

203

143．（2013•北京）第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分．

（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为平方千米，牡丹园面积为 平方千米；

（2）第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八界园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；

（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系．根据小娜的发现，请估计，将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）． 第七届至第十届园博会游客量和停车位数量统计表：

日接待游客量 （万人次）

第七届 第八届 第九届 第十届

8（预计） （预计）

单日最多接待游客量

（万人次）

6 20（预计） （预计）

停车位数量 （个） 约3000 约4000 约10500 约 ×103

【考点】条形统计图；用样本估计总体；统计表；扇形统计图． 【分析】（1）根据月季园和牡丹园所占的比例求出牡丹园的面积即可；

204

（2）先算出植物花园的总面积，然后可求出第九届园博会会园区陆地面积，根据图象求出第七、八界园博会的水面面积之和，补全条形统计图即可； （3）根据图表所给的信息，求出停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，算出比值，求出大约需要设置的停车位数量．

【解答】解：（1）∵月季园面积为平方千米，月季园所占比例为20%， 则牡丹园的面积为：15%×=（平方千米）；

故答案为；

（2）植物花园的总面积为：÷20%=（平方千米）， 则第九届园博会会园区陆地面积为：×18=（平方千米）， 第七、八界园博会的水面面积之和为：1+=（平方千米）， 则第九届园博会水面面积为平方千米， 如图：

（3）由图标可得，停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，比值约为500，

则第十届园博会大约需要设置的停车位数量约为：500×≈×103．． 故答案为：×103．

205

【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

144．（2012•北京）近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011年北京市又调整修订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分． 北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表（截止2010年底） 开通时间 开通线路 运营里程（千米） 1971 1984 2003 2007 2008

1号线 2号线 13号线 八通线 5号线 8号线 10号线 机场线

2009 2010

4号线 房山线 大兴线 亦庄线 昌平线 15号线

31 23 41 19 28 5 25 28 28 22 22 23 21 20

请根据以上信息解答下列问题：

（1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；

（2）按照2011年规划方案，预计2020年北京市轨道交通运营总里程将达到多少千米？

（3）要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务，从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程多少千米？

206

【考点】条形统计图；扇形统计图．

【分析】（1）根据表格所给数据即可得出：2009年运营路程为：2008年运营总路程+28求出即可；

（2）根据扇形图得出：截止2010年已开通运营总路程占计划的百分比，进而得出答案；

（3）根据截止2015年新增运营路程为：1000×%=367（千米）；进而得出从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程．

【解答】解：（1）根据表格所给数据即可得出：2009年运营路程为：200+28=228， 如图所示：

207

（2）根据扇形图得出：截止2010年已开通运营总路程占计划的百分比，进而得出

预计2020年北京市轨道交通运营总里程将达到：336÷%=1000（千米）， 答：预计2020年北京市轨道交通运营总里程将达到1000千米； （3）根据截止2015年新增运营路程为：1000×%=367（千米）；

则从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程[367﹣（372﹣336）]÷4=．

答：从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程千米．

【点评】此题主要考查了扇形图与条形图综合应用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，此题难度较大应注意认真读图．

145．（2016•北京）阅读下列材料：

北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．

2011年，北京市文化创意产业实现增加值亿元，占地区生产总值的%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值亿元，占地区生产总值的%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值亿元，比上年增长%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值亿元，占地区生产总值的%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值亿元，占地区生产总值的%． 根据以上材料解答下列问题：

（1）用折线图将2011﹣2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；

（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约 亿元，你的预估理由 用近3年的平均增长率估计2016年的增长率 ．

208

【考点】折线统计图；用样本估计总体．

【分析】（1）画出2011﹣2015的北京市文化创意产业实现增加值折线图即可．

（2）设2013到2015的平均增长率为x，列出方程求出x，用近3年的平均增长率估计2016年的增长率即可解决问题．

【解答】解：（1）2011﹣2015年北京市文化创意产业实现增加值如图所示，

（2）设2013到2015的平均增长率为x， 则（1+x）2=， 解得x≈13%，

用近3年的平均增长率估计2016年的增长率， ∴2016年的增长率为×（1+13%）≈亿元．

故答案分别为，用近3年的平均增长率估计2016年的增长率．

【点评】本题考查折线图、样本估计总体的思想，解题的关键是用近3年的平均增长率估计2016年的增长率，属于中考常考题型．

146．（2011•北京）以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制统计图的一部分．

209

请根据以上信息解答下列问题：

（1）2008年北京市私人轿车拥有是多少万辆（结果保留三个有效数字） （2）补全条形统计图；

（3）汽车数量增多除造成交通拥堵外，还增加了碳排放量，为了了解汽车碳排放量的情况，小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关．如：一辆排量为的轿车，如果一年行驶1万千米，这一年，它碳排放量约为吨．于是他调查了他所居住小区的150辆私人轿车，不同排量的轿车数量如下表所示． 排量（L） 数量（辆）

小于 29

75

31

大于 15

如果按照小明的统计数据，请你通过计算估计，2010年北京市仅排量为的这类私人轿车（假设每辆车平均一行行驶1万千米）的碳排放总量约为多少万吨？

【考点】折线统计图；条形统计图． 【专题】数形结合．

【分析】（1）用2007年北京市私人轿车拥有辆乘以增长率再加上2007年的拥有量即可解答．

（2）根据（1）中求出的2008年2008年北京市私人轿车拥有量补全统计图即可．

（3）先求出本小区内排量为的这类私人轿车所占的百分比，再用样本估计总体的方法求出排放总量即可解答． 【解答】解：（1）146×（1+19%）， =，

210

≈174（万辆），

所以2008年北京市私人轿车拥有量约是174万辆；

（2）如图．

（3）276×

×=（万吨），

所以估计2010年北京市仅排量为的这类私人轿车的碳排放总量约为万吨．

【点评】本题考查了折线统计图、条形统计图的知识，难度较大，注意解答此类综合题目时要抓住每种统计图的特点，不要弄混．

147．（2016•北京）在1﹣7月份，某种水果的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（ ）

A．3月份

B．4月份

C．5月份

D．6月份

【考点】象形统计图．

【分析】根据图象中的信息即可得到结论．

211

【解答】解：由图象中的信息可知，3月份的利润=﹣5=元， 4月份的利润=6﹣3=3元， 5月份的利润=﹣2=元， 6月份的利润=3﹣=元，

故出售该种水果每斤利润最大的月份是4月份， 故选B．

【点评】本题考查了象形统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息，理解利润=售价﹣进价是解题的关键．

148．（2013•北京）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 时间（小时）

人数

5 10

6 15

7 20

8 5

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ） A．小时

B．小时

C．小时

D．7小时

【考点】加权平均数．

【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50，再进行计算即可． 【解答】解：根据题意得： （5×10+6×15+7×20+8×5）÷50 =（50+90+140+40）÷50 =320÷50 =（小时）．

故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是小时． 故选：B．

【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计算公式列出算式是解题的关键．

212

149．（2015•北京）某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（ ）

A．21，21 B．21，

C．21，22

D．22，22

【考点】众数；条形统计图；中位数． 【专题】数形结合．

【分析】根据条形统计图得到各数据的权，然后根据众数和中位数的定义求解．

【解答】解：这组数据中，21出现了10次，出现次数最多，所以众数为21， 第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22． 故选C．

【点评】本题考查了众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了条形统计图和中位数．

150．（2014•北京）某篮球队12名队员的年龄如表： 年龄（岁） 人数

5

4

1

2

18

19

20

21

则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（ ） A．18，19

B．19，19

C．18，

D．19，

【考点】众数；加权平均数．

【分析】根据众数及平均数的概念求解．

【解答】解：年龄为18岁的队员人数最多，众数是18； 平均数=

=19．

213

故选：A．

【点评】本题考查了众数及平均数的知识，掌握众数及平均数的定义是解题关键．

151．（2012•北京）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如表所示：

用电量（度） 120 140 160 180 200

户数

2

3

6

7

2

则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ） A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180 【考点】众数；中位数．

【分析】根据众数和中位数的定义就可以解决．

【解答】解：在这一组数据中180是出现次数最多的，故众数是180； 将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数是160，160，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（160+160）÷2=160． 故选：A．

【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．

152．（2011•北京）北京今年6月某日部分区县的高气温如下表： 区县 最高气温

大兴 通州 平谷 顺义 怀柔 门头沟 延庆 昌平 密云 房山 32

32

30

32

30

32

29

32

30

32

则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（ ） A．32，32

B．32，30

C．30，32

D．32，31

【考点】众数；中位数． 【专题】计算题．

214

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

【解答】解：在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32； 处于这组数据中间位置的数是32、32，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是32． 故选A．

【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

一十四、概率（共6小题）

【命题方向】概率这个知识点是课改后的新内容。因为生活中处处存在概率问题，所以它是各省、市中考题中必考内容。题型涵盖了选择题、填空题和解答题。【备考攻略】概率题多数都是以实际问题为背景的，考查的分数比例与统计知识基本相同，解决概率问题采用的方法是列表法或树状图法。 153．（2015•北京）一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ）

A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【专题】计算题．

【分析】直接根据概率公式求解．

【解答】解：从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率=故选B．

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

=．

215

154．（2014•北京）如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（ ）

A． B． C． D． 【考点】概率公式．

【分析】由有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：∵有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有3种情况，

∴从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是：=． 故选：D．

【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

155．（2013•北京）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（ ）

A． B． C． D． 【考点】概率公式．

【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．

【解答】解：根据题意可得：大于2的有3，4，5三个球，共5个球， 任意摸出1个，摸到大于2的概率是．

216

故选C．

【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．

156．（2012•北京）班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票．小英从中随机抽取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】概率公式．

【分析】根据根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可求出答案．

【解答】解：从中随机抽取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是=． 故选B．

【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

157．（2011•北京）一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A．

B． C．

D．

【考点】概率公式． 【专题】计算题．

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

217

【解答】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，共15个， 摸到红球的概率为故选B．

【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

158．（2016•北京）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据： 移植的棵数n 成活的棵数m 成活的频率

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 ． 【考点】利用频率估计概率．

【分析】对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法． 【解答】解：=，

∴这种幼树移植成活率的概率约为． 故答案为：

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．

≈

865

1356

2220

3500

7056

13170 17580 230

1000

1500

2500

4000

8000

15000 20000 30000

=，

218