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态。[5]
圆柱绕流的另一个显著特征是斯特劳哈尔数是雷诺数的函数。早在1878年，捷克科学家Strouhal[6]就对风吹过金属丝时发出鸣叫声作过研究，发现金属丝的风鸣音调与风速成正比,同时与弦线之粗细成反比，并提出计算涡脱落频率f的经验公式:
式中即斯特劳哈尔数Sr由Re所唯一确定。
本文运用Fluent软件中的RNG k-ε模型对亚临界雷诺数下二维串列圆柱和方柱绕流问题进行了数值研究，通过结果对比，分析了雷诺数、柱体形状对柱体绕流阻力、升力以及涡脱频率的影响。
1.
1.1
数学模型 控制方程
对于静止圆柱绕流，本文研究对象为二维不可压缩流动。在直
角坐标系下，其运动规律可用 N-S方程来描述，连续性方程和动量方程分别为:
其中ui为速度分量；p为压力；ρ为流体的密度；ν为流体的动力黏性系数。
对于湍流情况，本文采用RNG k⁃ε模型，RNG k⁃ε模型是k⁃ε模型的改进方案。通过在大尺度运动和修正后的粘度项体现小尺度的影响，而使这些小尺度运动有系统地从控制方程中去除。所得到的 k方程和ε方程，与标准k⁃ε模型非常相似，其表达式如下：
其中Gk为由于平均速度梯度引起的湍动能的产生项，
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，，经验常数=0.084 5，==1.39，
=1.68。相对于标准 k⁃ε模型，RNG k⁃ε模型通过修正湍动粘度，考虑了平均流动中的旋转及旋转流动情况，RNG k⁃ε模型可以更好的处理高应变率及流线弯曲程度较大的流动。 1.2
相关参数
圆柱绕流的相关参数主要有雷诺数 Re、斯特劳哈尔数Sr、升
力系数Cl和阻力系数 Cd，下面给出各个参数的计算公式和物理意义。
雷诺数Re与圆柱绕流的状态和雷诺数有很大关系，雷诺数代表惯性力和粘性力之比：
其中U为来流速度；L为特征长度，本文取圆柱直径或方柱边长；为流体密度；、分别为流体介质动力粘度和运动粘度。
斯特劳哈尔数 Sr是Strouhal 指出圆柱绕流后在圆柱后面可以出现交替脱落的旋涡，旋涡脱落频率、风速、圆柱直径之间存在一个关系：
式中： Sr为斯托罗哈数，取决于结构的形状断面； f 为旋涡脱落频率；L为结构的特征尺寸； U 为来流速度。
阻力系数和升力系数是表征柱体阻力、升力的无量纲参数。定义为：
， 式中ρ为流体密度；V为来流速度；A为迎流截面面积；*欧阳光明*创编 2021.03.07
和*欧阳光明*创编 2021.03.07
为柱体所受阻力和升力。由于涡脱落的关系，阻力系数将产生振荡，本文选取平均脉动升力来研究，即取方均根值来研究。
2.
2.1
数值计算 物理模型
二维数值模拟双圆柱流场计算区域的选取如图 1所示，圆柱绕
流以圆柱体直径为特征尺度 D，选取圆柱半径为1.5 mm，计算区域为9D× 32D的矩形区域。柱1距上游长度 5D，下游长度27D，保
图 1 串列圆柱和方柱的计算区域 持两柱间距 L/D= 2. 5D不变 (L是两圆柱中心连线长度 )，两柱到上下边界距离相等。对于方柱绕流，选择方柱边长为特征长度，D=30mm。
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2.2 网格划分
计算区域采用分块结构化网格，柱体表面网格做加密处理，边
界区网格相对稀疏。具体网格划分情况见图 2。其中串列圆柱网格31116个节点，30615个四边形面单元；串列方柱446个节点，
图 2 圆柱绕流与方柱绕流计算域的网格划分 46550个四边形面单元。 2.3
边界条件
管道壁面和柱体表面均采用无滑移的静止壁面条件。而入口选
择速度入口，出口选择自由出流。来溜速度大小根据Re来设置，
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雷诺数分300、3000、12000、30000四个等级，速度大小依次为0.1m/s、1m/s、4m/s、10m/s。 2.4
计算模型
本文湍流模型采用标准壁面函数的RNG k-ε模型。采用有限容
积法求解二维不可压缩粘性流体非定常流动控制方程，即把计算区域分成很圆柱近壁面网格多小的控制体，对每个控制体的各个变量进行积分。控制方程的对流项采用二阶迎风格式离散，速度和压力采用SIMPLE算法耦合求解，将所有区域看成一个整体进行耦合计算。动量、湍动能和湍动耗散率均采用二阶迎风格式。先定常计算流场，再用定常计算的结果作为非定常迭代的初始值进行计算。根据初略计算的涡脱频率，固定设置时间步长为0. 002s, 在每个时间步内设置迭代次数为20。流体介质为液态水。
3.
3.1
计算结果 网格模型验证
为验证网格性，本文计算了网格节点数为8346，面单元为
32的粗网格、节点数为31116，面单元为30615的密网格、节点数为63432，面单元为67434的精密网格下Re=200、L/D=2的串列网格的Sr数，结果显示三套网格的计算结果分别为0.143、0.133、0.133。故密网格可用。而方柱绕流则采用同级别网格。
为验证本文计算思路与模型的正确性，本文计算了Re=200串列圆柱不同间距上下游圆柱的斯特劳哈尔数，将其结果与G.X.Wu[7]
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的计算数据相比较，比较图像如图3所示，最大误差为2.2%。
图3串列圆柱不同间距的Sr数计算对比
3.2
流线与涡量图
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图 6 Re=3000圆柱绕流流线图 图 7 Re=3000圆柱绕流涡量等值线图 图 4 Re=3000方柱绕流流线图 图 5 Re=3000方柱绕流涡量等值线图 本文给出了计算过程中雷诺数Re=3000，t=1s时的流线图和涡量图。
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阻力系数
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3.3 *欧阳光明*创编 2021.03.07
图 9 Re=3000圆柱绕流脉动阻力系数 图 8 Re=3000方柱绕流脉动阻力系数 本文给出了Re=3000时，圆柱绕流和方柱绕流的脉动阻力系数图如下。
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由图 9和错误!未找到引用源。可以看到，经过一段时间后圆柱和方柱的阻力系数是振荡变化的，这是由于涡脱落流场压力发生剧烈变化，从而导致柱体表面受力不断振荡。而相比较而言，圆柱绕流到达充分发展湍流要比方柱绕流需要的时间短。
从图 10可以看到，对于串列的柱体，上游受到阻力大于下游收到的阻力，甚至于在部分雷诺数下，某些时刻下游柱体收到的阻力会出现负值，这是由于在上游柱体尾部边界层分离，形成低压区，而漩涡的形成更是会导致柱体后面的压力动态地减小，从而使得下游柱体所受前后压差可能为负，导致下游柱体受到向前的推力。
随着雷诺数地增大，柱体收到的阻力变化也具有一定的规律。
图 10 不同雷诺数圆柱与方柱平均阻力系数 对于圆形柱体，上游圆柱体所受阻力随着雷诺数的增大而减小，这是由于随着雷诺数的变大，边界层分离点更加靠近上游，导致前后
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压差变小。而对于方形柱体，可以看到上下游柱体阻力系数均随着雷诺数地增大而增大。比较柱体不同形状的阻力系数。方柱柱体上下游柱体所受到的阻力均比圆形柱体上下游柱体所受到的阻力大。 3.4
升力系数
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本文给出了Re=3000时的圆柱绕流和方柱绕流上下游各圆柱体
图 12 Re=3000圆柱绕流脉动升力系数 图 11 Re=3000方柱绕流升力系数 表面的脉动升力系数变化曲线如图 12和图 11所示。类似于阻力系数，升力系数由于漩涡的影响也将产生振荡。圆柱绕流到达充分发展湍流要比方柱绕流需要的时间短。
图13不同雷诺数圆柱与方柱平均升力系数
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由图13可以看到相对于圆柱绕流，方柱绕流两柱体所受到的升力要大一些。一般而言，随着雷诺数地增加，两柱体的升力系数也跟着变大，但是圆柱绕流下游圆柱的升力系数增加得更为显著，而上游圆柱则不然，缺乏实验数据进一步佐证。对于方柱绕流则很明显，上下游圆柱体升力系数均随着雷诺数地增大而增大。对于两种绕流下游圆柱对雷诺数的变化更为敏感。随着雷诺数地增大，两种柱体的下游圆柱的升力增大得更快。 3.5
Strouhal系数
本文计算了串列圆柱在L/D=2.5时上下游柱体在不同Re的斯
特劳哈尔数Sr。如图14所示。根据前面的理论介绍，可以了解到此无量纲数与柱体后的涡脱频率有关，反应了流体流经柱体以后形成漩涡以及漩涡脱落的频率。由可以看到，上下游柱体的涡脱落频率基本相同，而Sr数随雷诺数变化的规律并不明显。圆柱绕流的Sr-Re曲线基本在方柱绕流Sr-Re曲线的上方，说明一般情况下，圆柱体的Sr要比方柱体的大。结合上面的涡量等值线图也可以看到，流体流经圆柱体的涡脱落频率比流经方柱体的脱落频率要大。通过图像可以发现，Re数越大，串列圆柱的Sr数越接近0.21，通过前面Lienhard的公式可以发现，在亚临界雷诺数范围内，单圆柱体绕流的Sr数大约是0.21，这说明，雷诺数Re越大，对于间距L/D为2.5的串列圆柱体，其Sr数越接近于单圆柱体。而对于方柱绕流，Sr在此范围没有太大变化。
图14不同柱体的Sr-Re曲线
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4. 结论
本文运用Fluent商业软件，选择RNG k-ε模型对亚临界雷诺数
下二维串列圆柱和方柱绕流问题进行了数值研究。首先先验证了所用网格的性，然后计算了不同间距的串列圆柱体的Sr数，并将其与文献的数据进行对比，验证了本文研究思路和程序运用正确性。接着本文分析了雷诺数、柱体形状对柱体绕流阻力、升力以及涡脱频率的影响，发现Re数越大，方柱的阻力越大，而对圆柱体而言，则有减小的趋势；而Re越大，两种柱体的升力均越大。相对于圆柱，同种条件下，方柱受到的阻力要大；相反地，Sr数要小，即就是涡脱落频率要小。Re数越大，串列圆柱的Sr数越接近于单圆柱体的Sr数。 参考文献
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