浅谈三维图形的图形变换及其变换矩阵

　ｌ２００７年１月　浅谈三维图形的图形变换及其变换矩阵　吴海玉杨　阳赵剑锋　（河北工程大学理学院，河北邯郸０５６０３８）　Ａｐｐｆｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｒａｐｈｉｃｓ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｍａｔｒｉｘ　ｏｆｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ　ｇｒａｐｈｉｃｓ　Ｗｕ　Ｈａｉｙｕ　Ｙａｎｇ　ｙａｎｇ　Ｚｈａｏｊｉａｎｆｅｎｇ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｂｅｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈａｎｄａｎ　０５６Ｏ３８）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｍａｔｒｉｘ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｇｉｖｅｓ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｍａｔｒｉｘ　ｏｆ　ｔｈｒｅｅ－－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ　ｇｒａｐｈｉｃｓ．Ａｓ　ｅｘａｍｐｌｅｓ，ｔｈｒｅｅ　ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｍａｔｒｉｘ　ａｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．　Ｋｅｙｗｏｒｄ：ｇｒａｐｈｉｃｓ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｍａｔｒｉｘ，ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ，ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．　１引言　三维图形图像的处理、显示和形体构造需要使用三维几　何变换。这些变换是通过基本的平移、缩放和旋转变换组合而　成的，每一个变换都可以表示为矩阵变换的形式。通过矩阵的　相乘或连接可以构造更复杂的变换。　２齐次坐标的意义　为了能用矩阵的形式统一描述图形变换，常采用齐次坐　标的形式来描述空间的点。点、线、面的齐次坐标表示对于描　述和操作图示物体是相当有用的。在ｎ维空间中的一个问题．　在ｎ＋ｌ维空间中相应地也有一个问题．而在ｎ＋ｌ维空间中却　常常比１１维空间中较易获得结果。在ｎ＋ｌ维空间中的一个证　明，通过ｎ＋ｌ维空间向ｎ维空间的投影就相关于ｎ维空间的　问题。由此，虽然在三维空间中处理一个“无穷远点”是困难　的。但是可以容易地处理一个四维齐次空间地解析点。例如可　以用如下向量处理：表示ｘ轴方向无穷远点；表示ｙ轴方向无　穷远点；表示Ｚ轴方向无穷远点；表示坐标原点。而实际上这　就是用于三维空间处理的四维齐次单位矩阵。　作者简介：吴海玉（１９ｒ７　），女，吉林临江人，从事数学及计算机图形学教育工作，在读硕士。　ｏ］　＝　ｙ　ｚ　・　＝ｃｘ　ｙ　ｚ・　［皇三呈；］＝Ｐ・Ｔｃ　Ｄ，Ｄ－　维普资讯 http://www.cqvip.com

是三维平移变换示意图。　变换，先平移至原点作比例变换后再平移回到点　Ｙｏ，ｚｏ），比例　ｆ　１　０　０　０丫ｓ１　０　０　０、　ｓ＝Ｉ。０　。０　０　１　０　　０兰。ｌ　。０　ｓ．　０　ｌ　一ｙｏ—ｚ０　１人０　０　０　１　Ｊ１　ｆ　１　０　０　０　１　ｆ　ｓ１　０　０　０、　１　０　。　虽　；产Ｐ　Ｊ　图３以任意点Ｐ为参考点的三维比例变换过程　３－３旋转变换　三维旋转变换是指空间形体绕坐标轴旋转角。旋转的正　方向通常按右手定则确定，即右手拇指指向转轴正向．其余４　指指向便是０角正角，如图４所示。　图４绕三根坐标轴旋转的正方向　旋转变换前后形体的大小和形状部发生变化，只是空间　位置相对原位置发生了变化。　３－３．１绕ｚ轴旋转　图形绕ｚ轴旋转时，所有ｚ轴坐标值都不会变化。而ｘ和　ｙ坐标值变化。设空间中任意一点（ｘ，ｙ，ｚ）绕ｚ轴旋转０角．变　为（ｘ　＇ｙ　，ｚ　），有：　ｘ￣ｘｃｏｓｅ－ｙｓｉｎｅ　ｙ＇＝ｘｓｉｎｅ＋ｙｃｏｓｅ　Ｚ　＝Ｚ　改写成齐次坐标后，绕ｚ轴旋转的变换矩阵为：　Ｐ　ｙ　ｚ　）ｌｆ　ｃｏｓＯ　ｓｉ　ｎＯ　０　１　０　０　０　－ｓｉｎＯ　０　ｃｏｓＯ　０　式中，０为图形绕ｚ轴旋转的角度。　３－３．３绕Ｘ轴旋转　Ｐ　ｙ　ｚ，１）　ｙｚ１）Ｉ：ｆ　１　０　０。ｓｉｎＯ　０ｃｏｓＯ　０１　０　０　。１式中，０为图形绕ｚ轴旋转的角度。　０　卜　ＪＩ广　‘＾　，　９０。的情形。　●　●　Ｐ　图４绕ｙ轴旋转９０。　４结束语　上述推导出的几何变换矩阵是针对三维图形的。多数常　见的三维几何变换都可以通过平移、比例和旋转三种基本变　换的组合来实现。　参考文献：　【ｌｌｔ汝传．计算机图形学【Ｍ】．北京：人民邮电出版社，　２Ｏ０２．１８０—１８９．　［２】何援军．计算机图形学【Ｍ】．北京：机械工业出版社，　２ｏ０６．８７￣１９１．　［３】焦永和．计算机图形学教程【Ｍ】．北京：北京理工大学出　版社。２００１．１０９一ｌｌ４．