2015北京五十五中高三(上)期中数学(理)

数 学（理）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．已知全集U为实数集，集合A={x|x﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

2

A．{x|1≤x＜3} B．{x|x＜3} C．{x|x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1} 2．复数

在复平面上对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若a=20.5

，b=logπ3，c=ln，则（ ） A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b

4．已知d为常数，p：对于任意n∈N*

，an+2﹣an+1=d；q：数列 {an}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．为了得到函数y=sin3x+cos3x图象，可将函数图象（ ）

A．向左平移个单位B．向右平移个单位 C．向右平移

个单位D．向左平移

个单位

6．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（ ）

A．2 B．﹣1 C．﹣1 D．2﹣1

1 / 17

） 7．若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（ ）

A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） 1）

D．（﹣∞，﹣1）∪（0，

8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，在同一个坐标系中，an=f（n）及Sn=g（n）的部分图象如图所示，则（ ）

A．当n=4时，Sn取得最大值 C．当n=4时，Sn取得最小值

B．当n=3时，Sn取得最大值 D．当n=3时，Sn取得最大值

二．填空题（本题共6小题，每题5分，共30分.） 9．等比数列{an}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7= ．

10．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若a=4，b=5，△ABC的面积为11．已知角θ的终边上一点坐标为（3，﹣4），则cos（π﹣2θ）的值是 ．

12．如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是 ．

．则c= ； sinA= ．

13．私家车具有申请报废制度．一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元，每年的维修费是一个公差为3000元的等差数列，第一年维修费为3000元，则该车主申请车辆报废的最佳年限（使用多少年的年平均费用最少）是 年．

14．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，（i）f（6）= ；

（ii）若函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次记为x1，x2，…，xn，…，则当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n

﹣1

；②f（3x）=3f（x）．

+x2n= ．

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 15．函数

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；

2 / 17

部分图象如图所示．

（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；

（Ⅲ）设g（x）=f（x）﹣2cos2x，求函数g（x）在区间

上的值域．

16．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an﹣1（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列

的前n项和Tn；

（Ⅲ）数列{bn}满足bn+1=an+bn（n∈N*），且b1=3．若不等式数t的取值范围．

对任意n∈N恒成立，求实

*

17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2． （Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；

（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求

的值；如果不存在，说明理由．

18．已知，其中a＞0．

（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极值，求a的值； （Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围． 19．已知椭圆

的离心率为

，右顶点为A．

3 / 17

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l经过C的左焦点F1且与C相交于B，D两点，求△ABD面积的最大值及相应的直线l的方程． 20．已知函数f（x）=

．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为ax﹣y=0，求x0的值； （Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）＞x；

（Ⅲ）问集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}（b∈R且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）

4 / 17

数学试题答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．

【考点】Venn图表达集合的关系及运算．

【分析】由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁RB），然后利用集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：A={x|x﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}， 则∁UB={x|x≥1}，

由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）， ∴A∩（∁UB）={x|1≤x＜3}， 故选：A． 2．

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、复数的几何意义即可得出． 【解答】解：故选：B． 3．

【考点】对数值大小的比较．

【分析】利用对数函数的单调性即可得出．

【解答】解：∵a=20.5，＞1，0＜b=logπ3＜1，c=ln＜0， ∴a＞b＞c． 故选：C． 4．

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】先根据命题的否定，得到￢p和￢q，再根据充分条件和必要的条件的定义判断即可． 【解答】解：p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：数列 {an}是公差为d的等差数列， 则￢p：∃n∈N*，an+2﹣an+1≠d；￢q：数列 {an}不是公差为d的等差数列， 由￢p⇒￢q，即an+2﹣an+1不是常数，则数列 {an}就不是等差数列， 若数列 {an}不是公差为d的等差数列，则不存在n∈N*，使得an+2﹣an+1≠d，

5 / 17

2

==在复平面上对应的点位于第二象限．

即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件， 即后者可以推不出前者， 故选：A． 5．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的余弦函数． 【分析】根据 函数y=sin3x+cos3x=【解答】解：∵函数y=sin3x+cos3x=∴将函数y=故选：A． 6．

【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S=用裂项法即可得解．

【解答】解：模拟执行程序框图，可得 N=10，S=0，k=1 S=

，

++

， +

，

+

+

+…+

+

的值，

sin3x的图象向左平移

sin3（x+sin（3x+

），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． ）=

sin3（x+

），

个单位可得函数y=sin3x+cos3x的图象，

满足条件k＜10，k=2，S=满足条件k＜10，k=3，S=…

满足条件k＜10，k=10，S=+…+

=

﹣1，

+++…++=

不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为故选：C． 7．

【考点】对数值大小的比较．

﹣1．

【分析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论．

6 / 17

【解答】解：由题意

．

故选C． 8．

【考点】数列的函数特性．

【分析】由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．分别利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可判断出． 【解答】解：由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4，由a7=0.7，a8=﹣0.4，可得d=﹣1.1，a1=7.3． ∴S7=

＞0，与S7=﹣0.8，矛盾，舍去．

=﹣0.4，解得a1=﹣0.5，∴

②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．由S7=﹣0.8，S8=﹣0.4，可得a8=0.4，∴a8=﹣0.5+7d，解得d=

≠0.4﹣0.7=﹣0.3，矛盾，舍去．

③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得d=﹣0.3，而﹣0.4﹣（﹣0.8）=0.4，矛盾，舍去． ④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得

=0.7，解得a1=1，∴﹣0.8=1+6d，解得

，解得a1=1．

∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，∴a8=﹣0.8﹣0.3=﹣1.1，∴S8=0.7﹣1.1=﹣0.4，满足条件． ∴an=a1+（n﹣1）d=1﹣0.3（n﹣1）=1.3﹣0.3n≥0，解得因此当n=4时，Sn取得最大值． 故选：A．

二．填空题（本题共6小题，每题5分，共30分.） 9．

7 / 17

=4+，

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】根据等比数列的通项公式分别化简a1+a2=3，a2+a3=6后得到首项和公比的两个关系式，分别记作①和②，然后②÷①即可求出公比，把公比代入①即可求出首项，根据求出的首项和公比，利用等比数列的通项公式求出a7的值即可．

【解答】解：由a1+a2=a1（1+q）=3①，a2+a3=a1q（1+q）=6②， ②÷①得：q=2，把q=2代入①得到a1=1， 则a7=2=． 故答案为： 10．

【考点】三角形中的几何计算．

【分析】利用三角形的面积公式求出sinC，然后求出cosC，利用余弦定理求出c的值，利用正弦定理求出sinA． 【解答】解：因为a=4，b=5，△ABC的面积为所以所以sinC=

， ，所以cosC=．

．

6

由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=16+25﹣20=21． 所以c=由正弦定理

．

可知sinA=

=

=

．

故答案为： 11．．

；．

【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．

【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得 cosθ 的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos（π﹣2θ）的值．

【解答】解：∵角θ的终边上一点坐标为（3，﹣4），∴cosθ=则cos（π﹣2θ）=﹣cos2θ=﹣（2cos2θ﹣1）=1﹣2cos2θ=1﹣2×故答案为： 12．

8 / 17

=， =

，

．

【考点】定积分．

【分析】由题意，利用定积分的几何意义，所求阴影区域的面积是S=﹣

，即可得出结论．

【解答】解：由题意，阴影区域的面积是S=﹣故答案为：2． 13．

【考点】等差数列的性质．

【分析】设这辆汽车报废的最佳年限n年，年平均费用：废的最佳年限．

【解答】解：设这辆汽车报废的最佳年限n年， 第n年的费用为an， 则an=1.5+0.3n，

前n年的总费用为：Sn=15+1.5n+年平均费用：当且仅当0.15n=

=0.15n+

+1.65≥2

=﹣sinx=2．

=0.15n++1.65，利用均值定理能求出这辆汽车报

=0.15n+1.65n+15，

+1.65=4.65， 取得最小值．

2

，即n=10时，年平均费用

∴这辆汽车报废的最佳年限10年． 故答案为：10． 14．

【考点】数列的求和；函数的值；函数的零点．

【分析】（i）由于f（3x）=3f（x），可得f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，即可得到f（6）． （ii）如图所示，由题意当x∈[0，1）时，不必考虑．利用已知可得：当x∈[3，6]时，由

，可得

，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．分别作出

y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．利用等比数列的前n项和公式即可得出．

【解答】解：当1≤x≤2时，0≤f（x）≤1；当2＜x＜3时，0＜f（x）＜1，可得当x∈[1，3）时，f（x）∈[0，1]．

（i）∵f（3x）=3f（x），∴f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，

9 / 17

∴f（6）=3×1=3． （ii）当同理，当

当x∈[3，6]时，由同理，当x∈（6，9）时，由

时，则1≤3x＜3，由

可知：

．

时，0≤f（x）＜1，因此不必要考虑．

，可得

，可得

，f（x）∈[0，3]；

，f（x）∈[0，3]；

此时f（x）∈[0，3]．作出直线y=a，a∈（1，3）．

则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6， 依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3． ∴当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=4×（3+32+…+3n）=

=6×（3n﹣1）．

n

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 15．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）由函数图象观察可知A，函数的周期T=2（函数图象上，解得φ=2kπ+（Ⅱ）令2kπ+

≤2x+

，k∈Z结合范围|φ|≤

﹣

）=π，由周期公式可得ω，由点（

，2）在

，求得φ的值，从而可得函数解析式；

≤2kπ+，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递减区间．

时，可求2x﹣

∈[﹣

，

]，利用正弦函数的性质

（Ⅲ）先求g（x）=2sin（2x﹣可得所求值域．

），当x∈

【解答】解：由函数图象观察可知：A=2…，

10 / 17

函数的周期T=2（由点（∵|φ|≤∴φ=

…

﹣）=π，由周期公式可得：ω==2…

，k∈Z

，2）在函数图象上，可得：2sin（2×，

+φ）=2，可得：φ=2kπ+

∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+（Ⅱ）令2kπ+k∈Z．…

≤2x+

≤2kπ+

）．

，kπ+

]，

，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+

（Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣2cos2x=2sin（2x+∴当x∈

时，2x﹣

∈[﹣）在区间

，

）﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣

）∈[﹣，1]．

），…

]，可得：sin（2x﹣

∴函数g（x）=2sin（2x﹣ 16．

上的值域为：[﹣1，2]．…

【考点】数列的求和；函数恒成立问题．

【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出； （II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出； （III）利用“累加求和”可得bn，由不等式数的单调性即可得出．

【解答】解：（I）∵Sn=2an﹣1（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1． 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1）=2an﹣2an﹣1，化为an=2an﹣1， ∴数列{an}是等比数列，首项为1，公比为2． ∴an=2

n﹣1

，化为t＞+n﹣1，再利用二次函

．

=

．

（II）

∴数列的前n项和Tn=+…+，

∴=…++，

11 / 17

∴=1+2﹣=﹣1﹣=3﹣，

∴Tn=6﹣．

（III）∵数列{bn}满足bn+1=an+bn（n∈N*），且b1=3． ∴bn+1﹣bn=an=2

n﹣1

，

∴bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1 =2=

=2n﹣1+2． 不等式化为n﹣1＜∴t＞令g（n）=∴

．

．

+t， +n﹣1，

+n﹣1=﹣

+≤g（3）=

，

，

n﹣2

+2

n﹣3

+…+1+3 +3

∴实数t的取值范围是 17．

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．

【分析】（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CE∥DG，由DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，即证明CE∥平面PAD． （Ⅱ）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），由2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解． （Ⅲ）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），由【解答】（本小题共14分）

解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG． 因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，

12 / 17

，令x=1，则可得=（1，1，

，可得，由•=0，可解a，然后求得的值．

所以BE∥AG且BE=AG，

所以四边形BEGA为平行四边形． 所以EG∥AB，且EG=AB．

因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB， 所以EG∥CD，且EG=CD． 所以四边形CDGE为平行四边形． 所以CE∥DG．

因为DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD， 所以CE∥平面PAD． …

（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0）， E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0）， 所以

=（4，4，﹣4），

=（4，0，﹣2），

=（0，4，﹣4）．

设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z）， 所以

，可得

．

令x=1，则，所以=（1，1，2）．

设PD与平面PCE所成角为a， 则sinα=|cos＜，

＞|=|

=|

|=

．．

所以PD与平面PCE所成角的正弦值是． …

（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则

，

=（4，﹣设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z）， 则

．

令x=2，则，

所以=（2，，a﹣4）． 因为平面DEF⊥平面PCE， 所以•=0，即2++2a﹣8=0，

13 / 17

4，2）．

所以a=所以

＜4，点．

． …

18．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（Ⅰ）函数f（x）（a＞0）的定义域为（﹣1，+∞），令f′（3）=0，解 得a，经过验证即可．

（ⅠI）先求出函数的导数，再分别讨论①当0＜a＜1时，②当a=1时③当a＞1时的情况，从而求出函数的递减区间；

（ⅡI）讨论①当0＜a＜1时，②当a≥1时的函数的单调性，从而求出a的范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）（a＞0）的定义域为（﹣1，+∞）， f′（x）=﹣ax+1﹣

，

14 / 17

令f′（3）=0，解 得a=．经过验证满足条件．

（II）令f′（x）=①当0＜a＜1时，x1＜x2， f（x）与f′（x）的变化情况如表

x f′（x） f（x） （﹣1，0） ﹣ 减 0 0 极小值 =0，解得x1=0，或x2=．

（0，﹣1） + 增 ﹣1 0 极大值 （﹣1，+∞） ﹣ 减 ．

所以f（x）的单调递减区间是（﹣1，0），（﹣1，+∞）；单调递增区间为：②当a=1时，x1=x2=0，f′（x）=﹣

≤0，

故f（x）的单调递减区间是（﹣1，+∞）． ③当a＞1时，﹣1＜x2＜0， f（x）与f′（x）的变化情况如下表

x f′（x） f（x） （﹣1，﹣1） ﹣ 减 ﹣1 0 极小值 （﹣1，0） + 增 0 0 极大值 （0，+∞） ﹣ 减 ．

．

．

所以f（x）的单调递增减区间是（﹣1，﹣1），（0，+∞），单调递增区间为：

综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调递增减区间是（﹣1，0），（﹣1，+∞）；单调递增区间为：当a＞1时，f（x）的单调递增减区间是（﹣1，﹣1），（0，+∞）；单调递增区间为：当a=1时，f（x）的单调递减区间是（﹣1，+∞）． （ⅡI）由（ⅠI）可知：

①当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（﹣1），但f（﹣1）＞f（0）=0，所以0＜a＜1不合题意； ②当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，

f（x）≤f（0），可得f（x）在[0，+∞）上的最大值为f（0）=0，符合题意． ∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，a的取值范围是{a|a≥1}． 19．

【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；

15 / 17

（Ⅱ）设经过左焦点F1（﹣，0）的直线方程为x=my﹣，代入椭圆方程，运用韦达定理，和三角形的面积公

式，结合基本不等式，即可得到最大值和对应的直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）离心率为由b=

，a﹣b=c，解得a=

+

=1；

，0）的直线方程为x=my﹣

my﹣3=0， ，

，

2

2

2

，即为=，

，

即有椭圆的方程为

（Ⅱ）设经过左焦点F1（﹣

代入椭圆方程可得，（2+m2）y2﹣2即有y1+y2=

，y1y2=﹣

则△ABD的面积为+=|AF1|•|y1﹣y2|

=（+）•

=（6+3）•，

令t=1+m（t≥1），即有

2

=

=≤=，

当且仅当t=1即m=0时，取得最大值， 则有△ABD的面积的最大值为3+此时直线l的方程为x=﹣ 20．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数的 切线方程进行求解即可求x0的值； （Ⅱ）构造函数g（x）=

，求函数的导数，利用导数证明不等式f（x）＞x； ．

，

（Ⅲ）根据函数和方程之间的关系直接求解即可． 【解答】（Ⅰ）解：

因为切线ax﹣y=0过原点（0，0），

16 / 17

，

所以，

解得x0=2 （Ⅱ）证明：设

，则

．

令，解得x=2，

当x在（0，+∞）上变化时，g（x），g′（x）的变化情况如下表

x g′（x） g（x） （0，2） ﹣ ↘ 2 0 ，

（2，+∞） + ↗ 所以当x=2时，g（x）取得最小值所以当时x＞0时

，即f（x）＞x．

（Ⅲ）解：当b≤0时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为0； 当当当

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时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为1； 时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为2； 时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为3．

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