4、解析中考经典题目 温习数学思想方法

一、常用的数学思想

1. 类比思想

类比是一种在不同对象之间，或者在事物与事物之间，根据它们某些方面的相似之处进行比较，通过联想，推出相似之处，从而去建立猜想和发现真理的方法，通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有知识来认识新认识.

例1（2009年山东烟台）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和3，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（A）.

A. 23 B. 13 C. 23 D. 13 2. 数形结合思想

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面.

例2（2009年四川内江）如图2，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小画龙点睛方形（a＞b），把余下的部分拼成一个矩形，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（C）. A、aba22abb2 B、

2ab2a22abb2

C、a2b2abab D、a2baba2ab2b2

3. 数学建模思想

通过适当的方法建构数学模型，解决数学实际问题就是数学

建模思想.像我们常见的方程、不等式、函数、解直角三角形等等，都是有效的数学模型，是解决实际问题的重要工具与方法.

例3（2009年甘肃庆阳）如图3-（1），一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定. （1）这里所运用的几何原理是（A）.

A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短

C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短

。。

（2）图3-（2）是图3-（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB=45， ∠OAB=30，OA=60cm，求点B到OA边的距离.（31.7，结果精确到整数） 解：（2）如图4，过点B作BC⊥OA于点C，

。。

∵∠AOB=45，∴∠CBO=45，BC=OC.

设BC=OC=x， ∠OAB=30， ∴AC=BC·tan60=3x.

。

。

∵OC+CA=OA， ∴x+3x=60， ∴x6022cm. 即点B到OA边的距离大约是22cm.

1320. （本题满分8分）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量旗杆的高度（旗杆底部可以到达，顶部不易到达）.小明和小亮发现旗杆的影子落在底面BC和土坡的坡面CD上，土坡的坡角为30°.他们只带了一种测量工具：皮尺.请你设计一种测量方案. （1）请在下面图中画出测量示意图；

（2）设旗杆高AB的长度表示为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x. 解：（1）测量示意图如图所示.

（2）测得小明的身高MN=m，影长NG=n；旗杆在地面上的影长BC=a，坡面上影长CE=b，过点E作EF⊥BC，EH⊥AB，则四边形EHBF为矩形. 在Rt△EFC中，

cos30EF1CF3EFb CFb sin30CE2CE213b HEBFBCCFab 22∴HBEF∵△MNG∽△AHE ∴

MNAHm即NGHEnAH ∴AH3ab2ma3mb2 nma ∴x=AB=AH+HB=

3mb12b

n24. 转化思想

转化思想就是将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决的一种思想方法.如，在研究有关梯形的问题时，常常需要清加适当的辅助线，将已知梯形转化为三角形、平行四边形以及其

他特殊的平行四边形求解.其实许多数学思想都蕴含着转化的数学思想方法. 例4（2009年山东济南）估计20的算术平方根的大小在（C） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 5. 分类讨论思想

当被研究对象包含多种可能情况时，我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分成若干类（全而不重，广而不漏），然后逐类分别进行讨论，再把结果汇总，得出问题的答案，这种解决问题的思想方法称之为分类讨论的思想.

例5（2009年黑龙江牡丹江）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m.现在要将结地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.

。

解：在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=8，BC=6，由勾股定理有：AB=10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况：

①如图5，当AB=AD=10时，可求CD=CB=6，得△ABD的周长为32m.

②如图6，当AB=BD=10时，可求CD=4，由勾股定理得：AD=45，得△ABD的周长为（20+45）m.

③如图7，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理得：x周长为

25，得△ABD 的380m. 3二、常用的数学方法

1. 定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解题.数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来.简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象.用定义法解题是最直接最有效的方法.

例1（2009年山东威海）若关于x的一无二次方程xk3xk0的一个根是-2，则另一个

2根是 1 . 2. 换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复寻问题简单化，变得容易处理.换元法又称辅助元素法、变量代换法.不管怎样，我们使用换元法时，要遵循有利于运算、

有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大.

例7（2009年上海）用换元法解分式方程

x13xx110时，如果设y，将原方程化xx1x为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（A）. A. y2y30 B. y23y10 C. 3y2y10 D. 3y2y10

3. 配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式

ab2a22abb2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

a2b2ab2abab2ab；22b32222aabbababab3abab；22

1222a2b2c2abbccaabbcca；222a2b2c2abc2abbccaabc2abbcca,22结合其他数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

111x22x2x2等等.

xxx例8（2009年广东佛山）阅读材料：把形如axbxc的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即

222a22abb2ab.

2请根据阅读材料解决下列问题：

（1）比照上面的例子，写出x4x2三种不同形式的配方； （2）将aabb配方（至少两种形式）；

（3）已知abcab3b2c40，求abc的值. 解：（1）x22;x222222222224x;2x2x2.

213（2）aabbabababb2.

2422221322（3）a2b2c2ab3b2c4abb2c10.

24从而a21b0,b20,c10.即a=1,b=2,c=1.所以a+b+c=4. 2

4. 待定系数法

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法.待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的议程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.

例9（2009年辽宁朝阳）如图8-(1)，点A,B的坐标分别为(2，0)和（0，-4），将ABO绕点O按逆时针方向旋转90后得ABO，点A的对应的点是点A，点B的对应点是点B. （1）写出A，B两点的坐标，并求出直线AB的解析式；

（2）将ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合）CDE，如图8-（2），使点B落在x轴上，点B的对应点为点E，设点C的坐标为（x,0），

。

与ABO重叠部分的面积为S.

i)试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量的取值范围）； ii)当x为何值时，S的面积最大？最大值是多少？

iii)是否存在这样的点C，使得ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1）A(2，0)，B（4，0）， 设直线的解析式ykxb,

1k,b2,21则有解得 直线的解析式为yx2

2b2.4kb0,（2）i）①点E在原点和x轴正半轴上时,重叠部分是CDE

11111CECDBCCD(4x)(x2)x22x4. 222241当E与O重合时，CE=BO2, ∴ 2≤x＜4.

2则SCDE②当E在x轴的负半轴上时，设DE与y轴交于点F，则重叠部分为梯形CDFO.

OFOA11. ∴OFOE. OEOB221又∵OE42x. ∴OF42x2x.

2∵OFE∽OAB， ∴∴S四边形CDFOx312xx2x22x. 242当点C与点O重合时，点C的坐标为（0，0）.

∴0＜x＜2.

12x2x42x4,4综合①②得S

3x22x0x2.4ii）①当2x4时,S1212x2x4x4, 44∴对称轴是x=4. ∵抛物线开口向上， ∴在2x4中，S随x的增大而减小. ∴当x=2时，S的最大值

12241. 423344②当0＜x＜2时，Sx22xx,

44334， ∵抛物线开口向下， 34444∴当x=时，S有最大值为.综合①②，当x=时，S有最大值为x=.

333335iii）存在，点C的坐标为（,0）和（,0）.

2235综合①②知满足条件的坐标有（,0）和（,0）.

22∴对称轴是x=

其实，数学思想方法还有许多，这就需要我们在平时的学习与复习

中多加体会与总结.

数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位与层次.数学知识可以运用文字语言和符号语言来记录和描述，但随着时间的推移，记忆力的减退，许多数学知识都会忘记.而数学思想方法则是一种数学意识，属于思维的范畴，我们可以运用它去处理数学的或非数学的问题，掌握了数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子.