(三)函数的值域(学生)

（一） 知识归纳

1． 函数yf(x),xA，其中集合A是函数的定义域。与x的值对应的y的值称函数值，函数值的集合{f(x)|xA}称函数的值域. 2．最大值定义：

设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有（2）存在x0I，使得f(x0)M。称M是函数yf(x)的最大值。 f(x)M；

你能说出最小值定义吗？

3．一般地，如果在区间[a,b]上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。且值域为[fmin(x),fmax(x)]。

4.请你说出常见函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、正、余弦函数、正、余切函数的值域。 （二） 学习要点

求函数的值域没有通性解法，只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法，下面给出常见方法。

1. 分析观察法

有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。 2. 反函数法、分离常数法 对于形如ycxdaxb(a0)的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函

数（仅求x的表达式）的定义域从而得到原函数的值域。 3. 换元法

（1）代数换元对形如yaxbcxd(a0)的函数常设t2cxd来求值域；

（2）三角换元法对形如yaxbxccos来求值域。

，如令cx(a0)的函数常用“三角换元”

注意:(1)新元的取值范围，(2)三角换元法中，角的取值范围要尽量小。

4. 配方法

二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。 5.判别式法

对形如ya1xb1xc1a2xb2xc222(a1a20)的函数常转化成关于x的二次方程，由于方程有实

22根，即0从而求得y的范围，即值域。注意：①定义域为R，②要对方程的二次项系数进行讨论。

6. 利用函数的有界性 对形如yasinxcbcosxd，由于正余弦函数都是有界函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可求

得其值域。

7. 基本不等式法

对形如（或可转化为）f(x)ax正、二定、三等”

8．利用函数单调性求值域 对形如（或可转化为）f(x)ax可求得值域。 9．数形结合法

若函数的解析式的几何意义比较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法。 10．导数法 （三） 练习题

1．求下列函数的值域 （1）y

2．已知x,y0,2xy6，求Z4x3xyy6x3y的最值。

3．求下列函数的值域

22bx，可利用

ab2注意“一ab,ab2ab求得最值。

22bx，考虑函数在某个区间上的单调性，结合函数的定义域，

22x2（2）y3x1x2(x1)（3）y2x41x（4） yx429x

（1）y1

242xx25（2）yxxxx122（3）ysinx2cosx

4.如何求函数y

x3x12(x1)的最值？yx1x32(x1)呢？

5．求下列函数的值域 （1）f(x)

log2x(x0)16. 已知函数f(x)=x，则f［f（）］的值是 ( )

43(x0)x1x2(x2)（2）y2x41x（3）y|x1||x4|（4）y1sinx2cosx

A.9 B.

19 C. -9 D. -

19

x17. 若集合Sy|y1,xR,Ty|ylog2(x1),x1，则ST等于

2A．{0} B．{y|y0} C．S D．T

8. 下列函数中值域是（0，+∞）的函数是 ( )

1A.y52x B.y()1x C.y12x D. y2112x1

9. 定义在R上的函数yf(x)的值域为［a，b］,则f(x1)的值域为 ( )

A.［a,b］ B.［a+1,b+1］ C.［a－1,b－1］ D.无法确定 10. 函数y =

2x1的定义域是(-，1)[2,5]，则其值域是 ( )

12 A.(-,0)[,2] B.(-,2) C.(-,

12)[2,+] D.(0,+)

11. 函数ylg[x2(k3)x4]的值域为R，则实数k的取值范围是 ( )

A．7k1 B．k7或k1 C．1k7 D．k7或k1

1112. 已知函数f(x)满足2f(x)f(),则f(x)的最小值是 ( )

x|x|23A．2 B．22 C． D．

223

13. 函数y|x3||x1| ( )

A.最小值为0，最大值为4 B.最小值为-4，最大值为0

C.最小值为-4，最大值为4 D.没有最大值，也没有最小值

14. 已知f(2x1)的最大值为2，f(4x1)的最大值为a，则a的取值范围是 ( )

A．a2 B．a2 C．a2 D．以上三种均有可能 15.已知a0,b0,a、b的等差中项是,且a211a,b1b,则的最小值( )

A．3 B．4

1xx22C．5 (x0),则f(

12D．6

)= ( )

16. 已知g(x)12x,f[g(x)]A．15

B．1 C．3 D．30

1(x0)(ab)(ab)f(ab)(ab)的值为 ( ) 17. 设函数f(x)，则

21(x0)A.a 18．函数f(x)B. b C.a、b中较小的数 D.a、b中较大的数

19n1xn的最小值为 ( )

A．190 B．171 C．90 D．45 19. 定义在R上的函数f(x)满足关系式:f(7f()的值等于________

812x)f(11x)2,则f()282f() 820. 已知函数f(x)对一切实数a，b,均满足f(ab)f(a)f(b，)且f(1)2．则

f(2)f(1)f(3)f(4)ff(2)f(3)faxbx12(2007) (2006)21. 设f(x)（a>0）的值域为[-1，4]，则a,b的值为_________

x02x30x1 的最大值是 22.函数yx3x5x123．已知a,b为常数，若f(x)x24x3,f(axb)x210x24,则5ab 24. 求下列函数的值域 （1）y4x4x52；

（2）yx12x；

（3）y

2x1x

25. 已知函数f(x)

2xbxcx122(b0)的值域为［1，3］，求实数b、c的值。

26．设函数f(x)x2x14，

（1）若定义域为[0，3]，求f(x)的值域； （2）若定义域为[a,a1]时，f(x)的值域为[

1,1]，求a的值.

216（四）函数的值域与最值参考答案

（三）例题讲评

1．(0,1];[4,3);(,4];[1,432] 2．y62x0,及x0,0x3

Z2x6x182(x13232)2272(0x3)，最大值18；最小值

272

3．[1,1)；[,1)；[33,33]；

4．yx3x14x12(x1)2(x1)4x12(x1)4x122，当且仅当

x1(x1)时取等号；即x1时，y的最小值是2。没有最大值。

另外yx1x321x3x12方法同上，即x1时，y的最大值是

12。没有最小值。

说明：本题不能用判别式法。因为xR。若用判别式法得求得x3，不合。

5．[,);(,2]；[5,);[0,]

235416y12，当y16时，

（以上各小题考虑了各种方法的顺序，有的方法给出2个小题，有的题目可以多种方法导数法暂不考虑。） 题号 答案 6 B 7 C 8 B 9 A 10 A 11 B 12 D 13 C 14 C 15 C 16 A 17 C 18 C 提示：令g(x)f(2x1)g(2x)f(4x1)，实际是将原函数图象的点的横坐标缩短变为原来的二分之一，纵坐标不变。故最值不变。 提示：由ab11ab2abab(ab)1a1b11ab145

141ab4，

19.7； 20.4012； 21. a=4, b=3； 22. 4； 23.2。 23.提示：

f(ab)f(b)f(a)用赋值法或令f(x)2

x三、解答题

24． [解析]先确定函数的定义域，正确选择方法，并作出相应的数式变换. （1）函数的定义域为x1,且x5，

令ux4x5(x2)9,u9且u0，

22即u0或9u0494u0或4u49，

∴函数的值域为(,](0,)；

（注）这里运用了不等式性质：abab01a1b；

[解法二]原函数等价于y(x24x5)4,即yx24yx(5y4)0，

当y0时，得－4=0，矛盾，y0， xR(x1,且x5)，

16y4y(5y4)0y(9y4)0，

2解得函数的值域为(,49](0,).

（2）函数的定义域为(,].作换元，令12xtx211t22(t0)，

yt122t1212(t1)1,f(t)在[0,)上为增函数，

122yf(0)，∴函数的值域为[,)；

[解法二]令f1(x)x,f2(x)12x，∴原函数yf1(x)f2(x)，

∵f1(x)与f2(x)在定义域内都是减函数，

∴原函数yf(x)在定义域(,]是减函数，yf()221112，

而当x时，y，∴函数的值域为[（3）函数的定义域为x2x1x212,).

12， 2x1x1xy1x2(1)1(022)，

由二次函数性质知函数的值域为[0，1]； [解法二]令t2x1， x2tt12t122(t0)，

yf(t)2t2t1,0y1，

即函数的值域为[0，1] 25．由y=

2xbxcx122 得 (2－y)x2+bx+c－y=0,(*)

2

当y－2≠0,由x∈R,有Δ=b－4(2－y)·(c－y)≥0 即4y－4(2+c)y+8c－b≤0，由已知得2+c=1+3且

2

2

8cb42=1×3

∴b=±2,c=2又b<0,∴b=－2,c=2, 而y－2=0,b=－2,c=2代入（*）式得x=0 ∴b=－2,c=2为所求 26．解：f(x)(x12)1212212，∴对称轴为x12，

147,]； 44 （1）3x0 （2）[f(x)]min，∴f(x)的值域为[f(0),f(3)]，即[,对称轴x12[a,a1]，

1a312a，

22a112∵区间[a,a1]的中点为x0a①当a1212,即1a1161212，

时，

2[f(x)]maxf(a1)2,(a1)(a1)34(a9414116，

16a48a270a不合）；

1②当a2121412,即132a1时，[f(x)]maxf(a)2aa16,16a16a50a54(a1614，

不合）；

综上，a

34或a54.