例谈中考数学复习中习题的演变策略及其应用

新课程下的数学教学，强调的是教师的“教研付出”，以实现花最经济的教学代价获取最大化的教学效益。处于紧要关头的中考数学复习教学，则更应强调教师的教研付出和教研实效，以便在短短的两三个月的时间内达成中考复习的各项目标，包括数学知识的全面掌握、解题技能和能力的强化提高、数学思想方法的灵活应用等。其中，教师的核心工作则是要在钻研《数学课程标准》、教材、中考说明及各地的中考数学试题的基础上，精选并研究教学例、习题，强调对所选例、习题作必要的演变与拓展，以“题链”的形式实施复习教学。

本文拟以一道极其常见而又简单的习题为例，谈谈中考数学复习教学中几何问题所常用的演变策略，并配以各地的中考数学试题具体说明对问题的演变及应用，以期抛砖引玉，给中考数学复习以启示。

题目 已知：如图1，在RtCAB和RtECD中，AC=CE，点D在边BC的延长线上，且ACEBD90。求证：CABECD。

一、思考拓展

从学生熟悉而又简单的问题出发，通过不断演变，逐渐深入研究，不仅有利于学生学习的畏难情绪，让学生积极、主动地投入到中考数学复习教学中去，而且有利于帮助学生全面而系统地复习已掌握的数学知识、思想和方法，有利于提高学生综合应用知识解决问题的能力。

一般地说，几何问题的演变策略通常有以下六种： （1） 条件的弱化或强化； （2） 结论的延伸与拓展； （3） 基本图形的变化拓展；

（4） 条件、结论的互逆变换（即建立并讨论原命题的逆命题）； （5） 基本图形的构造与应用； （6） 综合演变。 二、演变应用

针对这道习题的条件“AC=CE（线段相等）”、“ACEBD90（三个角都为直角）”和特殊结论“CABECD（三角形全等）”，以及所具有的简单而特殊的图形，可对本习题作以上各种常用的演变。下面分别举例说明此问题的前五种演变及其应用，第六种综合演变策略将穿插在前五种演变所举例子中。

（一）弱化条件

当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减少其中一两个条件，或将其中的一两条件“一般化”，并确定相应的命题结论，从而加工概括成新命题以求拓展应用。针对上述习题中的关键条件“AC=CE”和“ACEBD90”，可分别弱化或同时弱化。

1、弱化条件“AC=CE（线段相等）”，则结论由三角形全等弱化为三角形相似

演变命题1：如图2，在RtCAB和RtECD中，点D在边BC的延长线上，且ACEBD90。求证：CABECD。



例1 如图3，正方形ABCD的连长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQAP交DC于点Q，设BP的长为xcm, CQ的长为ycm。

（1） 求点P在BC上运动的过程中y的最大值；

1（2）当ycm时，求x的值。

4例2 如图4,边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动（不与点B，C重合），连接OD，过点D作DEOD，交边AB于点E，连接OE。记CD的长为

t.

1（1）当 t  时,求直线DE的函数表达式。

3（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么S是否存在最大值？若存在，试

求出这个最大值及此时t的值；若不存在，试说明理由。

（3）当OD2DE2的算术平方根取最小值时，求点E的坐标。

[说明]以上两例，一道是中等难度的运动变化问题，一道是中考压轴题，都巧妙地运用了正方形的特殊性，弱化了条件，发现问题中所蕴含的演变命题1及其图形，并能正确运用其具有的相似结论，成了解决此类问题的突破口。因而，在平时的复习课中，教师应通过简单问题的演变，给学生创造解答综合性问题的机会，让学生自己发现问题的演变技巧和解答技巧，切忌平时不渗透综合性问题教学，而等到临近中考的最后阶段再来集中复习综合题。

2、弱化条件“直角”，则“全等”结论仍然成立

演变命题2：如图5，在ABC和CDE中，点D在边BC的延长线上，AC=CE，且ACEBD。则：ABCCDE。

图5

例3 如图6，ABC为等边三角形，点D，E，F分别在边BC，CA，AB

上，且DEF也为等边三角形。

图6

（1）除已知等边三角形的边相等以外，请你猜想还有哪些线段相等，并证明你的结论；

（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变换相互得到？写出变换过程。 [说明]此题将原题中的“3个直角”弱化为“3个60角”，运用相同的方法和相同的结论（三角形等）便可解决问题。

3、同时弱化条件“线段相等”和“直角”，则结论由全等弱化为相似。 演变命题3：如图7，在ABC和CDE中，点D在边BC的延长线上，

ACEBD。则：ABC

CDE。

图7

这里的条件为三个角相等，至于等于多少度，并无要求，可以是下面例题中的60、45或30等特殊的度数，也可以是一个一般的度数。因而，演变命题3在中考命题中的拓展与应用更为广泛。

例4 如图8，在等边ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且

2APD60，BP=1，CD= ，则ABC的边长为（ ）。

3A、3 B、4 C、5 D、6

图8

例5 如图9，在RtCAB中，CAB90，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作ADE45，DE交AC于点E。

图9

（1） 求证：ABCCDE；

（2） 设BDx,AEy，求y关于x的函数关系式。

例6 在等腰ABC中，AB=AC=8，BAC120，P为BC的中点。小惠拿着含30角的透明三角板，使30角的顶点落在点P，三角板绕点P旋转。

（1）如图10(1)，当三角板的两边分别交AB，AC于点E，F时，求证：

BPECFP

（2）操作：将三角板绕点P旋转到图10(2)情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F。

图10

1) 探究1、BPE与CFP还相似吗？

2) 探究2、连接EF，BPE与 EFP是否相似？试说明理由。 3) 设EF=m，EPF的面积为S，试用含m的代数式表示S。

[说明]以上三例分别结合学生熟悉的等边三角形、等腰直角三角形和三角板，创设了“3个角相等”的条件，因而三例都要运用三角形相似解决问题。通过这一系列问题的解决，让学生经历了问题的变化、解决的过程，帮助学生认识蕴含在这些变化中的共同点和规律，有助于提高学生对此类问题及其解决策略的认识、理解与掌握。

例7 如图11，已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=10，BC=3。 （1）如图11(1)，如果M为AB上一点，且满足DMCA，求AM的长。 （2）如图11(2)，如果点M在AB边上移动（点M与A，B不重合），且满足DMNA，MN交BC的延长线于点N，设AM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式。

图11

[说明]此题借助等腰梯形的特性,创设了满足演变命题3的条件“DMCAB”，因而，仍可用三角形相似解决问题。

（二）强化条件

针对基本问题及演变问题中的线段、角等几何元素，通过给定其已知数据（长度、角度等），或设计成实际应用问题等手段强化问题的条件，考查学生综合应用知识解决问题的能力。

例8 如图12，在笔直的公路的同侧有A，B两个村庄，已知A，B两村分别到公路的距离AC=3km，BD=4km。

图12

（1）现要在公路上建一个汽车站P，使该车站到A，B两村的距离相等，试用直尺和圆规在图中作出点P（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若连接AP，BP，测得APB90，求A村到车站P的距离。 [说明]此题是一道几何实际应用问题，题中给出了AC，BD的长度，强化了基本问题的条件，学生若能发现这一点，则能很快运用三角形全等和勾股定理解

决问题。

（三）结论的延伸拓展

考虑到习惯中的结论是两个三角形全等，根据全等性质，可对问题的结论做进一步的延伸与拓展。

例9 在ABC中，ACB90，AC=BC，直线MN经过点C，ADMN，垂足为D，BEMN，垂足为E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图13(1)的位置时，求证：1) ACDCBE；2)DE=AD+BE

（2）当直线MN绕点C旋转到图13(2)的位置时，试问：DE，AD，BE具有怎样的等量关系？试写出这个等量关系，并加以证明。

图13 （四）图形的变式延伸

结合基本图形所具有的特殊性，可作一系列的变化，如将习题中的ABC和

CDE相向移动交叉重叠，如图14所示。

图14

例10 问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：

1）如图15(1)，在正ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若BON60，则BM=CN；

2）如图15(2)，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若BON90，则BM=CN；

然后运用类比的思想提出了如下命题；

3）如图15(3)，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若BON108，则BM=CN。

任务要求

（1）请你从1）、2）、3）三个命题中选择一个进行证明； （2）请你继续完成下面的探索；

1）、试在图16(3)中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是108，这样的线段有几条？

2）、如图16(4)，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，DA上的点，BM与CN相交于点O，若BON108，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，试给予证明；若不成立，试说明理由。

图15

（五）条件与结论的互换（建立原命题的逆命题）

建立并讨论研究几何命题的逆命题，是几何命题数学中最为常见的一种演变方法。

例11 如图16(1)、图16(2)、图16(3)中，点E，D分别是正ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于点P。

（1）求图16(1)中，APD的度数；

（2）图16(2)中，APD的度数为 ，图16(3)中，APD的度数为 ；

（3）根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况。若能，写出推广问题和结论；若不能，试说明理由。

图16

[说明]很显然，本例与例11是一种互逆关系，要求学生能通过运用正多边形性质与三角形全等等知识“正”、“逆”解决问题。

（六）基本图形的构造应用

几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，因而，学生不仅要具备必需的图形分解能力，同时，还应具备必需的添加辅助线构造基本图形的技能。

例12 如图17，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABC90，AD=9，BC=12，AB=a，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PEDP，PE与直线AB交于点E。

（1）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式。 （2）若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的聚会范围。

图17

B90，[说明]观察图形，针对条件“PEDP，试作DFBC，则有PEB与DPF相似，如图18、图19，从而运用相似的性质，建立函数关系：当点P

11(x215x36)。 (x215x36)；当点P在CF上时，y在BF上时，y aa

图18 图19

例13 如图20，MON90，在MON的内部有一正方形AOCD，点A，C分别在射线OM，ON上，点B1是ON上的任意一点，在MON的内部作正方形AB1C1D1。

（1）连接D1D，求证：ADD190

（2）连接CC1，猜一猜，C1CN的度数是多少？并证明你的结论。 （3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在MON的内部作出正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再作出一个合理的判断。

图20 图21

[说明]观察图形，针对条件“MONAB1C190”和所求“C1CN的度数”，试作C1HON，C1LDC，运用B1AO与C1B1H全等和B1AO与

C1D1L全等求得C1CN45。

[点评]根据条件特点及图形特征，发现并构造基本图形，运用基本结论解决问题的技能是几何教学的重点之一，也是难点之一，教师可以以简单的问题为切入点，从中抽象概括出一些常见的命题及基本图形，让学生掌握一些除几何定理、定义之外的基本命题及其基本图形，并配以必要的练习，提高学生添加辅助线构造基本图形解决问题的能力。

总之，在中考数学复习中，教师应加强对课本例、习题和中考数学试题的研究，立足基础，力求变化，形成问题链，以达到“做一题，通一类，会一片”的教学效果，真正提高45分钟的课堂复习效益，切实减轻学生的学习负担。