潘集区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

潘集区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知四个函数f（x）=sin（sinx），g（x）=sin（cosx），h（x）=cos（sinx），φ（x）=cos（cosx）在x∈[﹣π，π]上的图象如图，则函数与序号匹配正确的是（ ）

A．f（x）﹣①，g（x）﹣②，h（x）﹣③，φ（x）﹣④ h（x）﹣④

B．f（x）﹣①，φ（x）﹣②，g（x）﹣③，

C．g（x）﹣①，h（x）﹣②，f（x）﹣③，φ（x）﹣④ D．f（x）﹣①，h（x）﹣②，g（x）﹣③，φ（x）﹣④

2． 已知椭圆

，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（ ）

A．4 B．5 C．7 D．8

3． 已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示：

降水量X 工期延误天数Y 概率P X＜100 0 0.4 100≤X＜200 5 0.2 200≤X＜300 15 0.1 X≥300 30 0.3 在降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（ ） A．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.5

4． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）

A．该几何体体积为 B．该几何体体积可能为 C．该几何体表面积应为+

D．该几何体唯一

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5． 已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ） A． =﹣0.2x+3.3 A．x﹣2y+7=0 A．为直角三角形 C．为钝角三角形

B． =0.4x+1.5 C． =2x﹣3.2 B．2x+y﹣1=0 B．为锐角三角形

D． =﹣2x+8.6

D．2x+y﹣5=0

6． 过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（ ）

C．x﹣2y﹣5=0

7． 已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（ ）

D．前三种形状都有可能 ax－1，x≤1

a



8． 已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），若f（1）＝1，f（b）＝－3，则f（5－b）＝（ ） 1

log，x＞1x＋1

1A．－

43C．－

4

1B．－

25D．－

4

9． 已知抛物线x2=﹣2y的一条弦AB的中点坐标为（﹣1，﹣5），则这条弦AB所在的直线方程是（ ） A．y=x﹣4 B．y=2x﹣3 C．y=﹣x﹣6 D．y=3x﹣2 10．已知函数f（x）=2x，则f′（x）=（ ） A．2x

B．2xln2

C．2x+ln2

D．

11．已知在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）•f′（x）＜0的解集为（ ）

A．（﹣2，0） +∞）

B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．∪（﹣2，﹣1）（0，

12．数列{an}满足an+2=2an+1﹣an，且a2014，a2016是函数f（x）=（a2000+a2012+a2018+a2030）的值是（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

+6x﹣1的极值点，则log2

二、填空题

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13．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为 ．

14．函数yfx的定义域是0,2，则函数yfx1的定义域是__________.111] 15．从等边三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+的最小值为 ．

，则这两个正方形的面积之和

16．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____． 17．在（x2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．

18．已知函数f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为 ．

三、解答题

19．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：

[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；

（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．

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20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)3sinxcosxcosx（1）求函数yf(x)在[0,21. 22（2）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足c2，a3，f(B)0，求sinA的值.1111]

21．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．

]上的最大值和最小值；

（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

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（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．

22．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Snn2an(nN*)． （1）证明：数列{an1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

n2n（2）数列{bn}满足bnanlog2(an1)(nN*)，其前n项和为Tn，试求满足Tn2015的

2最小正整数n．

【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前n项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高.

23．[50，60][60，70][70，某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：80][80，90][90，100]． （1）求图中a的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．

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24．已知函数f（x）=sin2x•sinφ+cos2x•cosφ+sin（π﹣φ）（0＜φ＜π），其图象过点（（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若x0∈（

，π），sinx0=，求f（x0）的值．

，．）

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潘集区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参） 一、选择题

1． 【答案】 D

【解析】解：图象①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有f（x）；

图象②④恒在x轴上方，即在[﹣π，π]上函数值恒大于0，符合的函数有h（x）和Φ（x）， 又图象②过定点（0，1），其对应函数只能是h（x）， 那图象④对应Φ（x），图象③对应函数g（x）． 故选：D．

【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力，从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键，属于基础题．

2． 【答案】D

【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，

，解得m=8

故选D

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．

3． 【答案】D

【解析】解：降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率P， 设：降水量X至少是100为事件A，工期延误不超过15天的事件B， P（A）=0.6，P（AB）=0.3， P=P（B丨A）=故答案选：D．

4． 【答案】C

【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到 且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1

该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+故选：C．

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，

=0.5，

的正三角形组成

•（2）=

．

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【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．

5． 【答案】A

【解析】解：变量x与y负相关，排除选项B，C； 回归直线方程经过样本中心，

把=3， =2.7，代入A成立，代入D不成立． 故选：A．

6． 【答案】A ∵过点（﹣1，3） ∴x﹣2y+7=0 故选A． 2y+c=0．

7． 【答案】A

【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7

【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣

22

【解析】解：设A（x1，x1），B（x2，x2），

将直线与抛物线方程联立得

2

消去y得：x﹣mx﹣1=0，

，

根据韦达定理得：x1x2=﹣1， 由得到则

⊥

=（x1，x12），

，

=（x2，x22），

=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，

∴△AOB为直角三角形． 故选A

【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．

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8． 【答案】

【解析】解析：选C.由题意得a－1＝1，∴a＝2. 若b≤1，则2b－1＝－3，即2b＝－2，无解．

111

∴b＞1，即有log2＝－3，∴＝，∴b＝7.

b＋1b＋18

3

∴f（5－b）＝f（－2）＝2－2－1＝－，故选C.

49． 【答案】A

22

【解析】解：设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=﹣2，x1=﹣2y1，x2=﹣2y2．

两式相减可得，（x1+x2）（x1﹣x2）=﹣2（y1﹣y2） ∴直线AB的斜率k=1，

∴弦AB所在的直线方程是y+5=x+1，即y=x﹣4． 故选A，

10．【答案】B

xx

【解析】解：f（x）=2，则f'（x）=2ln2， 故选：B．

【点评】本题考查了导数运算法则，属于基础题．

11．【答案】B

【解析】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0， 在（﹣1，0）上小于0，

∴f（x）f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）． 故选B．

12．【答案】C

【解析】解：函数f（x）=∵a2014，a2016是函数f（x）=数列{an}中，满足an+2=2an+1﹣an， 可知{an}为等差数列，

∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16，

+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6， +6x﹣1的极值点，

2

∴a2014，a2016是方程x﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．

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从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4． 故选：C．

【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．

二、填空题

13．【答案】

．

3

【解析】解：因为y=（a﹣3）x+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即y'=

在x＞0时有解，

3

所以3（a﹣3）x+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．

32

函数f（x）=x﹣ax﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立， 2

即f'（x）=3x﹣2ax﹣3≤0恒成立，即

， 的最大值为

，

因为函数所以综上故答案为：

，所以．

在[1，2]上单调递增，所以函数

．

．

【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．

14．【答案】1,1 【解析】

考

点：函数的定义域. 15．【答案】

．

【解析】解：设大小正方形的边长分别为x，y，（x，y＞0）． 则

+x+y+

=3+

，

化为：x+y=3．

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22则x+y

=，当且仅当x=y=时取等号．

∴这两个正方形的面积之和的最小值为． 故答案为：．

16．【答案】27

【解析】由程序框图可知：

S 0 1 1 2 6 3 27 4 n

43符合，跳出循环．

17．【答案】 84 ．

29

【解析】解：（x﹣）的二项展开式的通项公式为 Tr+1=

•（﹣1）r•x18﹣3r，

令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T7=故答案为：84．

==84，

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．

18．【答案】 3 ．

x

【解析】解：∵f（x）=（2x+1）e，

xx

∴f′（x）=2e+（2x+1）e， 00

∴f′（0）=2e+（2×0+1）e=2+1=3．

故答案为：3．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018，

前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．

（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人，

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∴这2人成绩均不低于90分的概率P==．

【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．

20．【答案】（1）最大值为，最小值为【解析】

试题分析：（1）将函数利用两角和的正余弦公式,倍角公式,辅助角公式将函数化简f(x)sin(2x再利用f(x)Asin(x)b(0,||3321；（2）. 2146)1

)的性质可求在[0,]上的最值；（2）利用f(B)0,可得B,22再由余弦定理可得AC,再据正弦定理可得sinA.1

试题解析：

（2）因为f(B)0，即sin(2B)1 611)，∴2B，∴B ∵B(0,)，∴2B(,666623又在ABC中，由余弦定理得，

1b2c2a22cacos492237，所以AC7.

32ba73321由正弦定理得：，即，所以sinA.

sinAsinBsinA14sin3考点：1.辅助角公式；2.f(x)Asin(x)b(0,||

2)性质；3.正余弦定理.

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【思路点睛】本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人， 所以该考场有10÷0.25=40人，

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为： 40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；

（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：

×=2.9；

（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A， 所以还有2人只有一个科目得分为A，

设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，

则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：

Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．

设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个， 则P（B）=

．

【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．

22．【答案】

【解析】（1）当n1时,a112a1，解得a11. 当n2时，Snn2an，

①

②

（3分） （1分）

Sn1(n1)2an1，

①-②得，an12an2an1即an2an11， 即an12(an11)(n2)，又a112. 即an12n故an2n1（nN）.

*所以an1是以2为首项，2为公比的等比数列.

（5分）

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23．【答案】

【解析】解：（1）依题意，

根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得， 10（2a+0.02+0.03+0.04）=1， 解得a=0.005． ∴图中a的值0.005．

（2）这100名学生语文成绩的平均分为： 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05 =73（分），

【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解

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24．【答案】

【解析】（本小题满分12分）φ 解：（Ⅰ）f（x）===

+）

）知：

所以：φ=

（k∈Z）

+

﹣

由f（x）图象过点（

所以f（x）=令即：

所以：函数f（x）在[0，π]上的单调区间为：（Ⅱ）因为x0∈（π，2π），则：

2x0∈（π，2π） 则：sin所以

= =

）=

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调区间的确定，三角函数的求值问题，属于基础题型．

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