【数学】四川省成都七中2012-2013学年高一下学期期中

四川省成都七中2012-2013学年高一下学期期中

一、选择题（每题5分，共50分）请将选项填涂在答题卡上 1.数列2，5，22，11,的一个通项公式是（ B ）

（A）an3n3 ( B) an3n1 （C） an3n1 (D) an3n3 2.若等差数列中，a14,a33，则此数列的第一个负数项是（ B ） （A）a9

( B) a10

( C)a11

(D) a12

3.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，已知a＝52,c＝10,A＝30o,则B等于 ( D )

（A）105o ( B) 60o ( C)15o (D) 105o 或 15o 4.在200m高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30o和60o,则塔高为 ( A )（A）

40032003400200m ( B) m m ( C)m (D) 33335.某工厂年产量第一年增长率为a，第二年增长率为b，则这两年平均增长率x满足（ B ）

abababab ( B) x ( C)x (D) x 2222cd6.已知a、b、c、d均为实数，有下列命题①若ab0，bcad0，则－＞0；②若

ab（A）xa＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd ；③若bcad0，bd＞0则abcd.其中真命题的个

bd数是（D ）

（A） 0 ( B) 1 ( C)2 (D) 3

1、c成等比数列，则7.若3个不同的实数a、1、c成等差数列，且a、2211的值为（ A ） ac（A）－2 ( B) 0 ( C) 2 (D) 2或－2 8.等比数列an中,a37,前三项和S321,则公比q的值为 （ C ）

111 ( B) 1 ( C)1或 (D) 1或 2229.ABC中三个角的对边分别记为a、b、c，其面积记为S，有以下命题：

12sinBsinC①Sa；

2sinA②若2cosBsinAsinC,则ABC是等腰直角三角形；

（A）③sinCsinAsinB2sinAsinBcosC；

④(a+b)sin(AB)(ab)sin(AB)则ABC是等腰或直角三角形. 其中正确的命题是（ D ）

（A）①②③ ( B)①②④ ( C)②③④ (D)①③④

2222222 1

xynxn10. 在平面直角坐标系中，定义n1(nN)为点Pn(xn，yn)到点Pn1(xn1，yn1)的一

yyxnnn1，1)，P2(x2，y2)，，Pn(xn，yn)，Pn1(xn1，yn1)是经过“七个变换——“七中变换”．已知P1(0中变换”得到的一列点，设an|PnPn1|，数列{an}的前n项和为Sn，那么S10的值为（ A ）

（A）31(21) ( B) 31(22) ( C)31(22) (D) 31(21) 二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上

11.已知等差数列an，an2n19，那么这个数列的前n项和Sn 的最小值为 －81 ； 12. 不等式 |x＋2|－|x－1| ≤ a解集不空, 则a的取值范围是 [3, ) ； 13. 在ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A60,则

bc 1 acab14.将正偶数排列如下表其中第i行第j个数表示aij(iN*,jN*)，例如a3210，若aij2012，则ij 61 ；

15.给出下列命题： ①y=23x4的最大值为2－43； x②对函数yx2c1xc2，当0c1时，ｙ的最小值为2；当c1时，ｙ

的最小值为22c1c； c22③若ab1,cd4，则acbd的最大值为

5； 2④若x＞0，则x11x123；

xxab(12)2⑤若a＞ｏ，b＞0，a＋b＝1，10,20,则(1a2b). 41212其中所有正确命题的序号是 ②④⑤ .

三、解答题（16—19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）请在答题卡对应位

置规范答题. 16．（12分）解下列关于ｘ的不等式（组）：

2

214x0a(aR). （I）2；（II）解关于x的不等式

x22x7x150解：(I)4x20x2或x2 2分32x27x150x5 4分2综上，不等式解集为{x|2x5} 6分

11a(x2)（II）a0x2x2(x2)(ax2a1)0 2分 ①a0时，x211 ②a0时，（x-2)(x2）02x2 aa11③a0时（x2)(x2）0x2或x2 5分 aa1综上：a0时，解集为{xx2};a0时解集为{x2x2}；a1a0时解集为{xx2或x2} 6分 a17.（12分）已知：等差数列{an}中，a4=14，前10项和S10185.

（Ⅰ）求an；

（Ⅱ）将{an}中的第2项，第4项，…，第2项按原来的顺序排成一个新数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Gn.

na414解：（Ⅰ）由 ∴

S18510na13d14,a15 ……3分 1d310a1109d185,2由an5(n1)3an3n2 ……………………………6分

（Ⅱ）由已知，bn322 ………………… 9分

Gn3(2122232n)2n6(2n1)2n.

Gn32n12n6,(nN*) ……………………………………12分

18.（12分）在ABC中，已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c且满足2asin(B（I）求角A的大小；

（II）当ABC为锐角三角形时，求sinＢsinＣ的取值范围.

4)c

3

解：（）由12asin(B)c2sinAsin(B)sinC44在ABC中，C(AB)2sinAsin(B)sin(AB) 3分4 sinAsinBsinAcosBsinAcosBcosAsinBsinB(sinAcosA)0sinAcosAA4 6分3222B)sinBcosBsinB422222sin2Bcos2B44412sin(2B) 9分244因为ABC为锐角三角形 (2)sinBsinCsinBsin(0B32所以B即：2B4244403B42sinBsinC的取值范围是（22+2，] 12分2419.（12分）某商场经过市场调查分析后得知：预计2013年从开始的前n个月内对某种商品需求的累计数 f(n)1nn218n,n1,2,3.....,12（单位：万件）. 90（I）问在这一年内，哪几个月需求量将超过1.3万件？

（II）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销（即供大于求），每月初至少要投放多少件商品（精确到件）

解：（）设第1n个月的月需求量为an 则：an{因为f(n)f(1)(n1)f(n)f(n1)(2n12)1n(n2)(18n),9017所以a1f(1)1.3 3分30 4

当n2时，an（fn）-f(n-1)=令an1.3,1(3n235n19),9014即3n235n19117,解得：n7,3因为 nN,所以n5,6 6分即这一年的5、6两个月的需求量超过1.3万件（2）设每月初等量投放商品a万件，要使商品不脱销，对于第n个月来说，不仅有本月投放市场的a万件商品，还有前几个月未销售完的商品.所以，需且只需：naf(n)0对n1,212恒成立,f(n)(n2)(18n), 9分n90(n2)(18n)1(n2)(18n)2又因为[]9090210所以 a， 11分

9即每月初至少要投放11112件商品，才能保证全年不脱销.12分则 a20.（13分）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sna(Snan1)（a为常数，a0,a1 （Ⅰ）求an的通项公式；

2（Ⅱ）设bnanSnan，若数列{bn}为等比数列，求a的值；

（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，令cn3n2bn，求数列{cn}的前n项和为Tn.

解：（Ⅰ）S1a(S1a11)∴a1a, ……….1分 当n2时， Sna(Snan1)两式相减得：anaan1，

n1n∴anaaa；…4分

Sn1a(Sn1an11)

ana(a≠0，n≥2)即{an}是等比数列． an1a(an1)n(2a1)a2naan（Ⅱ）由（Ⅰ）知a≠1 bn(a)， a,bna1a1n22若{bn}为等比数列，则有b2b1b3, 而b12a ，b2a(2a1)

23 5

b3a4(2a2a1) ……6分

32242故[a(2a1)]2aa(2aa1)，解得a1， ……………………7分 2111n代入得bn()成立，所以a． …………8分 2221n（III）由（Ⅱ）知bn()，

2再将a所以cn(3n2)2

nTn528221123(3n2)2n

2Tn 522823(3n1)2n(3n2)2n1 Tn(3n1)2n12……13分 21.（14分）古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（nN*）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题： （I）求a1，a2，a3，并写出an的一个递推关系；

（II）记bnan1，求和Snbb； ij（i，jN*）

1ijn1（提示：Snbibj[(b1b2bn)2(b12b22bn2)]）

21ijn（III）证明：

SSS2n141S1S1S313(nN*)． 7S2S2S4S2S4S2n21解：(1) a11，a23，a37 ………2分

事实上，要将n个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面n1个圆盘转移到B柱上，需要an1次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将B柱上的n1个圆盘转移到C柱上，需要an1次转移，所以有an2an11 ………4分

6

（II）由（1）得：an12(an11)an12n，

所以an2n1 bnan12n …………6分 Sn1bibj[(b1b2bn)2(b12b22bn2)]21ijn

1[(22221n142[(22)23n22)n24(2262n22)](451)]3n221n4 …………9分

2324（III）（II）得：Sn(2n1)(2n11)

3SSS2n1 令cn13，则当n2时

S2S4S2nS1S3S2n1(211)(221)(231)(241)(22n11)(22n1) cn22nS2S4S2n(21)(231)(241)(251)(21)(22n11)121112n12n142121122n11411112n1cn1()n1c1 42441又c1114，所以对一切nN*有： 321721SSS2n1S1S1S313S2S2S4S2S4S2nc1c2c3cn111c1c1()2c1()n1c1444

11()n441n4 …………12分 4c1()()1212142114111n()

22n1122n1114，从第四项开始放缩求和）

另方面cn0恒成立，所以对一切nN*有 c（方法二：nSSS2n1S1S1S313S2S2S4S2S4S2nc1c2c3cnc1171

综上所述有：

SSS2n141S1S1S313(nN*)…………14分 7S2S2S4S2S4S2n217

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