初一数学有理数知识总结及练习

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初一数学有理数知识总结及练习

一、 知识点回顾

1．相反意义的量

在日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）： 例1：汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。（向东——向西） 例2：温度是零上10℃和零下5℃。（零上——零下） 例3：收入500元和支出237元。（收入——支出） 例4：水位升高1.2米和下降0.7米。（升高——下降） 例5：买进100辆自行车和卖出20辆自行车。（买进——卖出） 例6：你看过电视或听过广播中的天气预报吗？记录温度计所示的气温25ºC，10ºC，零下10ºC，

零下30ºC。为书写方便，将测量气温写成25，10，―10，―30。 2．正数和负数

定义：一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数来表示；把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数（零除外）前面放一个“－”（读作“负”）号来表示。

注意：零既不是正数，也不是负数。 巩固练习：

①―10表示支出10元，那么+50表示 ；如果零上5度记作5°C，那么零下2度记作 ；如果上升10m记作10m，那么―3m表示 ；太平洋中的马里亚纳海沟深达11034米，可记作海拔 米（即低于海平面11034米）。比海平面高50m的地方，它的高度记作海拨 ；比海平面低30m的地方，它的高度记作海拨 ；

②下面说法正确的是（ ）

A．正数都带有“+”号 B．不带“+”号的数都是负数 C．小学数学中学过的数都可以看作是正数 D．0既不是正数也不是负数 3．有理数

定义：1，2，3，4，…叫做正整数；―1，―2，―3，―4，…叫做负整数；正整数、负整数和零统称为整数；数2，1，84，+5.6，…叫做正分数；―7，―6，―3.5，…叫做负

34597分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。

分类：从两个角度按照不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类 ①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分，即得如下分类表：

正整数整数0负整数有理数分数正分数负分数

②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表：

1

正有理数正整数正分数有理数0负有理数负整数负分数2

注：①“0”也是自然数。②“0”的特殊性。

4．数轴

例：判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？

分析：原点、正方向、单位长度这数轴的三要素缺一不可。 解答：都不正确，（1）缺少单位长度；（2）缺少正方向；（3）缺少原点；（4）单位长度不一致。

5．相反数

定义：只有符号不同的两个数称互为相反数 (opposite number)。

例：6与―6，―31与31，―1.5与1.5

22理解：

①代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。

②几何定义：在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。0的相反数是0。

练习：分别写出5、―7、―31、+11.2的相反数；

26．绝对值

定义：我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值( absolute value )。记作|a|。

例：在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6。同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。

性质：

（1）一个正数的绝对值是它本身 （2）0的绝对值是0；

（3） 一个负数的绝对值是它的相反数。

即：①若a＞0，则|a|=a； ②若a＜0，则|a|=–a；

③若a=0，则|a|=0；

a(a0)a0(a0)或写成：。 a(a0)练习：求下列各数的绝对值：71，

21，―4.75，10.5。 10 2

3

7．有理数的加法

（1）有理数的加法法则

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

例 (+20)+(+12)：解原式=+(20+12)=+32=32；

121231121234：解原式=1112

6232366②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减

去较小的绝对值；

例(+2)+(―11)：解原式=―(11―2)=―9 ③互为相反数的两个数相加得0；

例(―3.4)+4.3：解原式= +(4.3―3.4)=0.9 ④一个数同0相加，仍得这个数.

例(―3.4)+0：解原式= ―3.4

（2）多个有理数相加

例：10筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：2，―4，2.5，3，―0.5，1.5，3，―1，0，―2.5。求这10 筐苹果的总重量。

解：由题意得：2+(―4)+2.5+3+(―0.5)+1.5+3+(―1)+0+(―2.5)

= (2+3+3)+(―4)+[2.5+(―2.5)]+[(―0.5)+(―1)+1.5] =8+(―4)= 4 。 30×10 + 4 = 304 。

答：10筐苹果总重量是304千克。 8．有理数的减法

（1）有理数减法法则

①减去一个数，等于加上这个数的相反数。

②如果用字母 a、b表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：a – b = a +（―b）。

练习：计算

(1)(―32)―(+5)； (2)7.3―(―6.8)； (3)(―2)―(―25)； (4)12―21 . 解：

减号变加号 减号变加号

(1)(―32) ―(+5)=(―32)+(―5)=―37。 (2)7.3―(―6.8)=7.3 + 6.8 =14.1。

减数变相反数 减数变相反数

(注意：两处必须同时改变符号.)

(3)(―2)―(―25)=(―2)+25=23。 (4)12―21 = 12+(―21)= ―9。

9．有理数的加减法混合

在有理数加法运算中，通常适当应用加法运算律，可使计算简化。有理数的加减混合运算统一成加法后，一般也应注意运算的合理性。 （1）有理数加减法统一成加法的意义

① 有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减 法转化为加法，统一成只有加法运算的和式：

3

4

如：(12)(8)(6)(5)(12)(8)(6)(5)

② 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省l略不写，写成省略加号的和的形式：

如：(12)(8)(6)(5)12865

③ 和式的读法，一是按这个式子表示的意义，读作＂12，8，6，5的和〃；

二是按运算的意义，读作“负12，减8，减6，加5”。 （2）有理数加减混合运算的方法和步骤：

①将有理数加减法统一成加法，然后省略括号和加号 ②运用加法法则，加法运算律进行简便运算

（3）化简

+(+3)；+(―3)；―(+3)；―(―3)。

（4）口算

2―7；(―2)―7；(―2)―(―7)；2+(―7)；(―2)+(―7)；7―2； (―2)+7；2―(―7)。

（5）练习

①(―12)―(+8)+(―6)―(―5)； ②(+3.7)―(―2.1)―1.8+(―2.6)；

1111③(―16)+(+20)―(+10)―(―11)； ④。

2346

10．有理数的乘法预习

 小学的乘法口诀

 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。 例如：

（1） （2）

(－5)×(－3)···········同号两数相乘 (－6)×4··············异号两数相乘 (－5)×(－3)＝＋( )············得正 (－6)×4＝－( )················得负 5×3＝15·············把绝对值相乘 6×4＝24··············把绝对值相乘 所以 (－5)×(－3)＝15。 所以 (－6)×4＝－24。

二、 典型例题（复习消化上课内容，下次来检查；课后习题；自己主动练习）

1、 数学测验班平均分80分，小华85分，高出平均分5分记作+5，小松78分，记作 。 2、某物体向右运动为正，那么―2m表示 ，0表示 。

3、一口水井，水面比水井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了

4

5

0.5米又往下滑了0.1米；第二次往上爬了0.42米又往下滑了0.15米；第三次往上爬了0.7米又往下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米又往下滑了0.1米；第五次往上爬了0.55米，没有下滑；第六次往上爬了0.48米。问蜗牛有没有爬出井口？

4、把下列各数填入表示它所在的数集的圈里

―18，22，3.1416，0，2001，3，―0.142857，95℅.

75 正数集 负数集 整数集 有理数集

5、把下面各小题的数分别表示在三条数轴上 （1）2，-1，0，32，+3.5

3

（2）―5，0，+5，15，20；

（3）―1500，―500，0，500，1000。

6、把下列各组数用“＜”号连接起来

（1）―10， 2，―14； （2）―100，0，0.01；

7、求绝对值 （1）|+2|= ，

15 （3）34，―4.75，3.75。

5= ，|+8.2|= ；

（2）|0|= ；

（3）|―3|= ，|―0.2|= ，|―8.2|= 。 8、比较下列各对数的大小

11（1）1与－0.01； （2）2与0； （3）－0.3与1； （4） 9与10。

3 5

9、有理数加减混合计算

6

11121（1） (+26)+(―18)+5+(―16)； （2）11728。

43232

10、计算

（1）1―1―3+2； （2）(+9)―(+10)+(―2)―(―8)+3。

3243

232（3）24＋3.2―16―3.5+0.3； （4）02130.25

343

11、全班学生分成6个组进行游戏，每组的基分为100分答对一题加50分，错一题扣50分。游戏结束时，各组的分数如下： 第一组 200 第二组 50 第三组 350 第四组 200 第五组 100 第六组 150 （1）第一名超过第二名多少分? （2）第一名超过第六名多少分?

三、课后作业（复习消化上课内容；下次来检查课后习题；自己主动练习） 1、一种零件的内径尺寸在图纸上是10±0.05（单位mm），表示这种零件的标准尺寸是10mm，加工要求最大不超过标准尺寸 ，最小不超过标准尺寸 。 2、下列说法正确的是（ ）

①零是整数；②零是有理数；③零是自然数；④零是正数；⑤零是负数；⑥零是非负数。 A：①②③⑥ B：①②⑥ C：①②③ D：②③⑥ 3、用“＜”或“＞”填空：（简单复习小学有关比较正整数、正分数、正小数的大小的知识）

25 17； 0.9 0.85； 3.7 2.9； 1 1； 3 4。

23554、求下列各数的绝对值：71，

21，―4.75，10.5。 10

6

7

5、运用加法运算律计算下列各题：

（1）(+66)+(―12)+(+11.3)+(―7.4)+(+8.1)+(―2.5)

（2）(+32)+(―27)+(―35)+(―11)+(+53)+(+55)

58128512

（3）(+61)+(+1)+(―6.25)+(+1)+(―7)+(―5)

42396 1、

两个加数的和一定大于其中一个加数吗?

7、某日长春等5个城市的最高气温与最低气温记录如下:

城市 最高气温 最低气温 哈尔滨 2 12 长春 3 10 沈阳 3 8 北京 12 2 大连 6 2 问：哪个城市的温差最大? 哪个城市的温差最小?

8、（思考题）分别列出一个含有三个加数的满足下列条件的算式

（1）所有的加数都是负数，和为13； （2）一个加数为0，和为13；

（3）至少有一个加数是正整数，和为13。

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