(完整版)高二文科数学《立体几何》经典练习题(含解析)

1．(本小题满分14分)

如图的几何体中，AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，

ADDE2AB2，F为CD的中点．

（1）求证：AF//平面BCE； （2）求证：平面BCE平面CDE。

B A

E

2．(本小题满分14分)

C F

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD D

C 所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB2，ADEF1.

(1)求证：AF平面CBF；

(2)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；

D B O M E (3)求三棱锥F－CBE的体积.

3.（本小题满分14分）

如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，

A F (第2题图)

E ADE90，AF//DE，DEDA2AF2.

(Ⅰ)求证：AC//平面BEF； （Ⅱ）求四面体BDEF的体积.

4．如图,长方体ABCDA1B1C1D1中，

A A1

B1 A

B D1

F D

C

ABAA11,AD2,E是BC的中点.

(Ⅰ)求证：直线BB1//平面D1DE； (Ⅱ)求证：平面A1AE平面D1DE； (Ⅲ)求三棱锥AA1DE的体积. 5．（本题满分14分）

C1

D

B E C

如图，己知BCD中，BCD90，BCCD1,AB平面BCD，

0ADB600,E,F分别是AC,AD上的动点，且

1

AEAF==,(0<<1) ACAD （1）求证：不论为何值，总有EF平面ABC; （2）若=

6.(本小题满分13分)

如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点， D为PB的中点，且△PMB为正三角形． (1)求证：DM∥平面APC； (2)求证： BC⊥平面APC；

(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D—BCM的体积．

7、（本小题满分14分）

如图1,在直角梯形ABCD中,ADC90,CD//AB,AB2,ADCD1.将

1,求三棱锥A-BEF的体积． 2ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示.

(1) 求证:BC平面ACD；(2) 求几何体DABC的体积.

D

C

D

C

A

B

A B 图1

8、（本小题满分14分） 图2

已知四棱锥PABCD (图5) 的三视图如图6所示，PBC为正三角形，PA垂直底面

（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥PABCD的体积； ABCD，俯视图是直角梯形．

（3）求证：AC平面PAB；

2

参

1．(本小题满分14分)

（1）证明：取CE的中点G，连结FG、BG．

∵F为CD的中点，∴GF//DE且GF∵AB平面ACD，DE平面ACD， ∴AB//DE，∴GF//AB． 又ABC F

D

B E

A

1DE． 2G 1DE，∴GFAB． …………3分 2∴四边形GFAB为平行四边形，则AF//BG．……………5分

∵AF平面BCE，BG平面BCE， ∴AF//平面BCE．…………7分

（2）证明：∵ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AFCD…………9分

∵DE平面ACD，AF平面ACD，∴DEAF．……………10分 又CDDED，∴AF平面CDE．……………………………12分 ∵BG//AF，∴BG平面CDE．…………………………………13分 ∵BG平面BCE， ∴平面BCE平面CDE．………………14分

2．解：（1）平面ABCD平面ABEF，CBAB,

平面ABCD平面ABEFAB，

CB平面ABEF，

∵AF平面ABEF，∴AFCB，……… 2分 又AB为圆O的直径，∴AFBF， ∴AF平面CBF. ……… 4分

（2）设DF的中点为N，则MN则MN//1//1CD，又AOCD， 22C //AO，四边形MNAO为平行四边形，

∴OM//AN，又AN平面DAF，OM平面DAF， ∴OM//平面DAF. …… 8分

D B O M E

3

A

F （3）∵BC面BEF，∴VFCBEVCBEF1SBEFBC， 3B到EF的距离等于O到EF的距离，

过点O作OGEF于G，连结OE、OF， ∴OEF为正三角形，∴OG为正OEF的高，

∴OG33OA，……… 11分 22∴VFCBEVCBEF1SBEFBC …… 12分 3111133EFOGBC11 。……… 14分 32322123、(Ⅰ)证明：设AC//BDO，取BE中点G，连结FG,OG，

1DE//OGAF//DEOG， 2DE2AFAF所以， …2分 因为，，所以

从而四边形AFGO是平行四边形，FG//AO. ………4分 因为FG平面BEF,AO平面BEF,

E 所以AO//平面BEF，即AC//平面BEF ………7分 （Ⅱ）解：因为平面ABCD平面ADEF，ABAD, 所以AB平面ADEF. ………10分 因为AF//DE,ADE90,DEDA2AF2，

F D

C

A B 1EDAD2所以DEF的面积为2， ……12分 14SDEFAB3. ……14分 所以四面体BDEF的体积3

4、(Ⅰ)证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中, BB1//DD1，

又 ∵ BB1平面D1DE，DD1平面D1DE∴ 直线BB1//平面D1DE ……4分

4

(Ⅱ)证明：在长方形ABCD中,∵ABAA11,AD2, ∴AEDE2,∴AE2DE24AD2,故AEDE,………6分

∵在长方形ABCD中有DD1平面ABCD,AE平面ABCD, ∴ DD1AE, ……7分 又∵DD1DED, ∴直线AE平面D1DE,……8分

而AE平面A1AE,所以平面A1AE平面D1DE. …………10分 (Ⅲ)VAA1DE VA1ADE1111AA1SADE112.…………14分 3323

5．(1）证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，

又在△BCD中，∠BCD = 900，所以，BC⊥CD，又AB∩BC＝B， 所以，CD⊥平面ABC， …………3分 又在△ACD，E、F分别是AC、AD上的动点， 且

所以，不论为何值，EF//CD,总有EF⊥平面ABC： ………7分 （2）解：在△BCD中，∠BCD = 900，BC＝CD＝1，所以，BD＝2, 又AB⊥平面BCD，所以，AB⊥BD，

又在Rt△ABD中，ADB60,∴AB=BDtan600由（1）知EF⊥平面ABE，

0AEAF (01)ACAD

6。 ………………10分

所以，三棱锥A－BCD的体积是

6、解： (1)由已知得，MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.(2分) 因为MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，所以MD∥平面APC.(4分) (2)因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB，(5分)

所以AP⊥PB.(6分) 又因为AP⊥PC，且PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.(7分)

5

6………………14分

24

因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.

又因为BC⊥AC，且AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.(10分)

(3)因为MD⊥平面PBC，所以MD是三棱锥M—DBC的高，且MD＝5， 又在直角三角形PCB中，由PB＝10，BC＝4，可得PC＝2.(11分) 11

于是S△BCD＝2S△BCP＝2，(12分)所以VD－BCM＝VM－DBC＝3Sh＝10.(13分)

2,从而AC2BC2AB2,故ACBC

取AC中点O连结DO,则DOAC,又面ADC面ABC,

面ADC面ABCAC,DO面ACD,从而OD平面ABC, ……4分 ∴ODBC又ACBC,ACODO,

∴BC平面ACD ……8分 另解:在图1中,可得ACBC2,从而AC2BC2AB2,故ACBC

∵面ACD面ABC,面ACD面ABCAC,BC面ABC,从而BC平面ACD

1(Ⅱ) 由（Ⅰ）可知BC为三棱锥BACD的高. BC2，SACD ……11分

21112所以VBACDSh2 ……13分

33267． 解:（Ⅰ）在图1中,可得ACBC由等积性可知几何体DABC的体积为2 ……14分 68解：（1）过A作AE//CD，根据三视图可知，E是BC的中点， (1 分)

且BECE1，AECD1 (2 分) 又∵PBC为正三角形，∴BCPBPC2，且PEBC ∴PEPCCE3 (3 分)

∵PA平面ABCD，AE平面ABCD，∴PAAE (4 分) ∴PAPEAE2，即PA正视图的面积为S2222222 (5 分)

1222 (6 分) 22， (7 分)

（2）由（1）可知，四棱锥PABCD的高PA底面积为SADBC123CD1 (8分) 222 6

∴四棱锥PABCD的体积为VPABCD1132SPA2 (10 分) 3322（3）证明：∵PA平面ABCD，AC平面ABCD，∴PAAC (11 分) ∵在直角三角形ABE中，AB2AE2BE22 在直角三角形ADC中，ACADCD2 (12 分) 222 ∴BC2AA2AC24,∴BAC是直角三角形 ∴ACAB 又∵ABPAA，∴AC平面PAB

7

(13 分) (14 分)