双折射现象的电磁理论分析

目 录

摘 要 ...................................................................................................................................................... 1 Abstract .................................................................................................................................................. 1 1引 言 ..................................................................................................................................................... 1 2光的双折射 ........................................................................................................................................... 2

2.1 双折射现象 ......................................................................................................................................................................... 2 2.2 双折射的基本规律 ............................................................................................................................................................. 2 2.3 晶体的各向异性 ................................................................................................................................................................. 4 3理论基础 ............................................................................................................................................... 4 3.1 麦克斯韦方程组 ................................................................................................................................................................. 4 3.2 晶体中的介电张量和物质方程 ......................................................................................................................................... 5 3.3 电磁场的能量密度和能流密度 ......................................................................................................................................... 7 4晶体中的单色平面电磁波 ................................................................................................................... 8 4.1 波动表达式 ......................................................................................................................................................................... 8 4.2 磁场能量密度和电场能量密度 ......................................................................................................................................... 8 4.2

E、D、S之间的关系 ................................................................................................................................................ 10

5各向异性晶体中光线速度方程 ......................................................................................................... 11 6各向异性晶体中的波面 ..................................................................................................................... 13 7双折射和线偏振 ................................................................................................................................. 14 8结论 ..................................................................................................................................................... 15 参考文献 ................................................................................................................................................ 15

双折射现象的电磁理论分析

摘 要：晶体的双折射现象，是晶体在光学上的各向异性。晶体对不同方向上的光振动表现出不同性质。本文从双折射的基本规律，基本理论说起，接着介绍晶体中的单色平面电磁波的性质，最后从双折射和线偏振的比较，说明各向异性晶体为什么会产生双折射，双折射的光为什么都是线偏振光。

关键词：电磁理论；各向异性晶体；双折射；线偏振

The Analysis of Double Refraction Phenomena by Electromagnetic Theory

Abstract：Crystal birefringence phenomenon, is the lens on the optical anisotropy. Crystal light vibration exhibit different properties of different direction. This article from the basic laws of double refraction, basic theory, then describes the nature of the monochromatic plane waves in crystals, from the comparison of birefringence and linear polarization, explains why produces birefringence of anisotropic crystals, why the double refraction of light is the linear polarized light.

Key words：electromagnetic theory；anisotropic crystal；double refraction；linear polarization.

1引 言

各向异性晶体(如冰洲石、云母等)的基本光学现象是双折射和线偏振，即一束入射光线一般会在各向异性晶体内产生两束折射光线，而且这两束折射光线都是线偏振光。光是电磁波，

1

用电磁理论能够说明为什么会出现上述现象[1-3]，本文就试图用电磁理论分析上述两种现象。

图1.双折射现象

2光的双折射

2.1 双折射现象

取一块冰洲石（方解石的一种，化学成分是碳酸钙 ），放在一张有字的纸上，我们将会看到有双重的像。平常我们把一块玻璃放在一张带字的纸上只能看到一个像。从冰洲石上看但得像要比实际的物体浮起了一点，这是因为光的折射引起的，折射率越大浮起的高度越大。我们可以看到，在冰洲石内的两个像浮起的高度是不同的，这表明，光在这种晶体内成了两束，他们的折射率不同。这种现象叫做双折射[4]。

2.2 双折射的基本规律

2.2.1 o光和e光

如图2所示，让平行的自然光束正入射在冰洲石晶体的一个表面上，我们就会发现光束分解为两束。按照光的折射定律，正入射时光线不应该偏折。而上述的两束光的一束在晶体内沿

2

原方向传播，另一束却偏离了原来的方向，后者显然是违反了普通的折射定律。进一步对各种入射方向进行研究，结果表明，晶体内的两条折射线中的一条总是符合普通的折射定律，另一条却总是违反它。所以晶体内的前一条叫寻常光（简称o光），后一条折射线叫非常光（简称e光）

[5]。应当注意，这里所谓的o光和e光，只在双折射晶体的内部才有意义，射出晶体以后，就无

所谓了o光和e光。

图2. o光和e光及其偏振状态的演示

2.2.2 晶体的光轴

在冰洲石中存在着一特殊的方向，光线沿这个方向传播时o光和e光不分开，这个特殊的方向称为晶体的光轴为了说明光轴的方向我们稍详细的研究一下冰洲石的晶体。冰洲石是天然的晶体，如图3所示，它呈平行六面体状，每个表面都是平行四边形，它的一对锐角约为78，一对钝角约为102。大家可以看出每三个表面汇合成一个顶点，在八个顶点中有彼此对着的两个顶点是由三个钝角面汇合而成的。通过这样的顶点并与三个界面成等角的直线方向，就是冰洲石晶体的光轴方向[6]。晶体中任何与上述直线平行的直线，都是光轴。光轴代表晶体中的一个特定方向。

003

图3.冰洲石的光轴

2.2.3 主截面

光线沿某晶体的界面入射，此界面的法线与晶体的光轴组成平面，成为主截面。当入射线在主截面内，即入射面与主截面重合时，两折射线皆在入射面内。否则，非常光可能不在入射面内[7]。

2.3 晶体的各向异性

晶体的双折射现象，是晶体在光学上的各向异性，晶体对不同方向上的光振动表现出不同性质。从光的电磁理论观点来看，晶体的这种性质是光波电磁场与晶体相互作用的结果。晶体在光学上的各向异性，实质上是晶体与入射光电磁场相互作用的各向异性[8-9]。物质在外界电磁场作用下将发生极化，如物质结构本身呈现各向异性，则物质的极化也是各向异性的，总之，对于不同的外场方向，晶体中产生的附加电偶极矩是不同的，即极化与外场方向有关。

3理论基础

3.1 麦克斯韦方程组

4

光波是电磁波的一种．光波在物质中的传播过程可用麦克斯韦方程组和物质方程来描述。与自由电荷密度，自由电流密度j都无关，所以描述光的麦克斯韦方程组为[10]：

Bt (1)

ED0 (2)

HDt (3)

B0 (4)

光波能量的传播方向是沿着引起视觉效应或其他光化学效应的方向，对人的眼睛或感光仪器起作用的是电场强度矢量E[10]，所以光线方向实际上就是电场强度矢量E的传播方向。波矢

k的方向代表波动的形式或者说振动相位的传播方向，它始终垂直于波阵面(即等相面)。由麦

克斯韦方程式

HDt，可看出介质中的电磁波不仅包含电磁场的运动，还应包含束缚电子

的运动，可以说这种电磁波的状态(相位)，应由D的状态来表示，所以波矢量k的方向实际上就是电位移矢量D的传播方向。

3.2 晶体中的介电张量和物质方程

在各向同性的线性介质中，电位移矢量D与电场强度矢量E之间是一简单的比例关系

DE，此式表明在各向同性介质中，D与E的方向总是一致的，D与E的关系被一线性方

程组所反映这可用矩阵表示出

5

D111 12 13E1D   E22122232D3E3 (5) 31 32 33其中11,12,13……9个矩阵元构成了介质的介电张量，它反映了各向异性介质的电学性能。晶体中总存在3个互相正交的特殊方向(x，y，z)，使得介电张量“对角化”，即

D11 0 0E1D0  0 E222D30 0 2 E3 (6)

这3个方向称为晶体的主轴方向，主轴方向由晶格的结构确定[11]。因此，用主轴坐标系，ε可以表示为

ε1e1e12e2e23e3e3 (7)

式(7)中1，2，3称为主电容率。e1e2e3则是主轴坐标系的基矢．即ε是二阶对称张量，因此，对于各向异性晶体来说，在线性光学范围内，物质方程为：

DεE (8)

B0H (9)

式(8)中ε是电容率张量，0是真空磁导率。

(7) (8)式表明，除3个主轴方向外，各向异性晶体内D与E不同向，这就是电的各向异性。 (8)式中，各向异性晶体的磁导率在可见光范围内等于真空磁导率0[11]。由(8)(9)式可见，各

6

向异性晶体的基本光学现象来源于电的各向异性，而不是磁的各向异性。

对于某些特殊的介质，介电张量中可以有两个元素相等，如12，3则(6)式可表为

D33E3 (10)

DE (11)

式中D和E表示垂直于z轴的分量。这种介质有一个特殊的坐标方向（z轴)，单轴晶体就是这种介质，这个特殊的方向就是光轴。由(3)(4)式看出：在单轴晶体中若D只有D3分量或D分量，则D与E平行，这种情况与各向同性介质质相似。若D同时有两种分量，则D与E不平行，呈现出各向异性介质的特点[12]。

3.3 电磁场的能量密度和能流密度

根据电磁场的能量守恒定律和麦克斯韦方程组，电磁场的能量密度w和能流密度S分别为

1w(EDHB)2 (12)

SEHwu (13)

式(13)中u是电磁场能量流动的速度。电磁场的能量密度w是它的电场能量密度we与磁场能量密度wm之和，we和wm分别为[10]

7

we1DE2 (14)

wm1HB2 (15)

4晶体中的单色平面电磁波

4.1 波动表达式

考虑在各向异性晶体中传播的最简单的光，单色平行光，它就是单色平面电磁波，其表达式为[13]：

EE0ei(krt) (16)

DD0ei(krt) (17)

HH0ei(krt) (18)

式(16) (17) (18)中E0D0H0是与地点和时间都无关的常矢量，k是波矢量，是圆频率，B由(9) (18)式给出。

4.2 磁场能量密度和电场能量密度

由式(1)(9)(16)(18)式得

E[E0ei(krt)][ei(krt)]E08

(0)Hei(krt)ikE0H0i0Htt (19)

由此得

由(3)(17)式得

由此得

由(14)(22)式得

由(15)(20)式得

由矢量运算等式

H1kE0 H[Hi(krt)t)D0e][ei(kr]H0ikHtiD D1kH 2w1eEDE(kH) 2w1mHBH(kE) 9

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

H(kE)(Hk)EE(kH) (25)

可得

1wwwme2 (26)

这表明各向异性晶体中单色平行光的磁场能量密度和电场能量密度相等。

4.2 E、D、S之间的关系

由(13)式得

DSD(EH)(DH)E(DE)H(DE)HwH 其中DH0用到了(22)式。再以S从左边叉乘上式得

S(DS)wSHw(EH)Hw(EH)HwH2EwH2E 其中EH0用到了(20)式。由矢量分析公式有

S(DS)S2D(SD)S 由(28)(29)式得

wH2ES2D(SD)S 10

(27)

(28)

(29)

(30)

wH2ED(sD)sS2 (31)

(31)式中

Ss1e1s2e2s3e3S (32)

s(32)式中s是S方向上的单位矢量。因

wH2S2wHBwu)210(20u 所以

1u2D(sD)s0 这就是所求的E、D、S之间的关系，即晶体光学的第二基本方程[14]。

各向异性晶体中光线速度方程

用主轴坐标系，(34)式的分量式为

12EiiEi(sD)si0 i1,2,3 单色光沿主轴方向传播的速度称为主速度，其值为：

11

(33)

(34)

(35)

5

vi1i0 i1,2,3 (36)

,注意：v1、v2、v3，不是一个矢量的3个分量。

将(36)式代入(35)式，便得

112)Ei0(sD)si,2viui1,2,3 (37)

(Ei0vi2u2uv22i(sD)si, i1,2,3 (38)

由(16)(32)式有

sEsiEs1E1s2E2s3E30 (39)

于是得

2222v3s3v12s12v2s20222222uv1uv2uv3 (40)

这便是光线在各向异性晶体中传播速度u的值u与传播方向S的关系式，有的书上称它为光线速度方程或菲涅耳光线速度方程。这个关系式表示，u由各向异性晶体的特性(v1,v2,v3)和传播方向S确定。(30)式是u的四次代数方程，可以证明，对于每一个给定的S，u有4个实根。设这4个实根分别为u',u\"和u',u\"，其中u'和u\" 代表沿S方向传播，而u'和u\"则代表沿-S方向传播。

12

6各向异性晶体中的波面

设各向异性晶体内某一点O有一个点光源，在t0时刻开始向各个方向发射出光线，以O为原点，取主轴坐标系，则在t时刻，S方向上光线前端的坐标便为

xiuit, i1,2,3 (41)

式(41)中ui是光线沿S方向传播的速度的第i个分量，同一时刻，各个方向上光线前端的轨迹就是该时刻的波面．因S的方向就是u的方向，故

uixiur (42)

sir2322rx12x2x3式(42)中，以t乘(40)式，并利用(41)(42)式，便得t时刻的波面方程为：

2222v3x3v12x12v2x202222r2v12t2r2v2tr2v3t (43)

或者写成

222222222222v12x12(r2v2t)(r2v3t)v2x2(r2v12t2)(r2v3t)v3x3(r2v12t2)(r2v2t)0 (44)

在一般情况下，1，2和 3彼此都不相等，因而v1，v2，v3也就彼此都不相等。这时波面方程所表示的是一个双层曲面。两对接触点的联线都通过中心，它们便是双轴晶体的两个光线轴．所以1，2和 3彼此都不相等的晶体便是双轴晶体。如果1，2和 3和 ，有两个相等而第三个不等；如123则由 (32)式有v1v2v3，这时两条光线轴便合二为一，这种晶体便

13

是单轴晶体。这时由(43)式或(44)式可得出：双层曲面的一层是球面，另一层是以光线轴为旋转轴的旋转椭球面[15-16]。

7双折射和线偏振

由于各向异性晶体中的波面都是双层曲面，根据惠更斯原理，每一层曲面都有它自己的包络面，所以便会有两个相应的新波面。因此，一束入射光线便会在各向异性晶体内产生两束折射光线，这就是双折射现象。由此可见，电磁理论从根本上说明了各向异性晶体的双折射现象。

(40)式表明，在各向异性晶体中，光线传播速度u的值u是v1，v2，v3和s的函数，这就是说，

u由晶体的特性1，2，3和光线传播方向s决定。另一方面，在各向异性晶体中，当光线沿S方向传播时，它的电场强度E的方向由它的3个分量E1、E2、E3之比确定。由(34)式得

22v3sv12s1v2s2E1:E2:E322:22:232uv1uv2uv3 (45)

这个结果表明: E的3个分量之比由传播方向s和传播速度的值u决定。上面已得出u由晶体的特性(1，2，3)和传播方向s决定。因此，对于给定的各向异性晶体来说，光线在其中传播的方向S确定后它的电场强度E的方向就确定了。这就说明了，在各向异性晶体内传播的光必定是线偏振光。前面已指出，各向异性晶体内沿s方向传播的光线可以有两种，其速度的值分别为u'和u\"。由(45)式可知，速度u不同的光线，其电场强度E的分量之比也不同，因而E的方向也不同。设以u'传播的光线其电场强度为E'，以u\"传播的光线其电场强度为E''，则E'与

E''的方向不相同。现在来证明：E'与E''互相垂直。由式(42)得

2222v12s1v12s1v2s2v2s2v3s3v3sE'E''0C[2222222222232]u'v1u''v1u'v2u''v2u'v3u''v3 (46)

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式(46)中C是比例常数。因为

1vi2si2vi2si2222(u'22u'')2222222u'viu''viu'u''u'viu''vi，i1,2,3 (47)

v2js1v2js1故(46)式可化为

2222v3s3v12s12v2s1u'2E'E''0C[2()2'222222u'u''uv1u'v2u'v3

2222v3s3v12s12v2s2u''2()]2u'2u''2u''2v12u''2v12u''2v3 (48)

由于u'和u\"都满足(36)式，故得 E'E''0。

8结论

通过以上的分析，我们得出结论：在各向异性晶体中传播的光都是线偏振光。在各向异性晶体中，沿任一方向一般都可以传播速度不同的两种线偏振光，并且这两种线偏振光的电场强度互相垂直。

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