上海市松江区2021年高考数学二模卷(解析版2021.04)

松江区2020学年度第二学期模拟考质量监控试卷

高三数学

（满分150分，完卷时间120分钟） 2021.4

考生注意：

1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。

3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．

‖x∣11},1. 已知集合A{xB{1,2,3}, 则AB ．

B{1}.

∣1}0,2,B{1,2,3}，所以A【解析】A{xx12. 若复数z满足z(1i)2（i为虚数单位), 则z ．

21i. 1i3. 已知向量a(4,2),b(k,2)，若ab，则实数k ．

【解析】因为z(1i)2，所以z【解析】因为ab，所以ab4k40，所以k1.

4. 在(x2)的二项展开式中， x项的系数为 ．（结果用数值表示）

333【解析】x的系数为C62160.

63

5. 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，

AC11B1D1F，若AFxAByADzAA1，

则xyz ． 【解析】

AFAA1A1FAA1 所以xy11A1C1AA1(ABAD)， 221,z1，所以xyz2. 26. 若函数f(x)xa的反函数的图像经过点(2,1)，则a ．

【解析】由题意得f(x)xa的图像经过点(1,2)，所以21a，所以a3.

7. 已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为 ．

【解析】由题意，设正方体的棱长和圆柱的母线均为a，圆柱的底面半径为r，

2 因为正方体的和圆柱的侧面积相等，所以4a2ra，所以r2a，

则正方体和圆柱的体积之比为a:raa:3224a24.

8. 因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前 往 隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有 1 名女医生的概率为 ．

12213C4C5C4C5C47437【解析】直接法：所求概率为P； 3C984423C51037 间接法：所求概率为P131.

C984429. 已知函数ytanx ．

6的图像关于点,0对称，且||1, 则实数的值为 3

【解析】因为ytanx的对称中心为k,0,kZ，又ytanx的图像关于点

62k31,0对称，所以，所以k,kZ， 336222因为||1，所以,1.

10. 如图，已知AB是边长为 1 的正六边形的一条边，点P在正六边形内 (含边界), 则

12APBP的取值范围是 ．

【解析】取AB中点C，由极化恒等式得APBPPC211 AB2PC2，

4413 因为点P在正六边形内（含边界），易得PC0,，

2 所以APBP的取值范围是,3.

4

11. 已知曲线C: xy21(1x2), 若对于曲线C上的任意一点P(x,y), 都有

xyc1xyc20, 则

c1c2的最小值为 ．

【解析】曲线C:xy2(1x2)是第一象限的双曲线的一部分，

因为对于曲线C上的任意一点P(x,y)，都有xyc1xyc20， 所以曲线C在两条直线xyc10和xyc20之间，

数形结合，当直线xyc10和xyc20一条经过点(1,2),(2,1)，另一条与

双曲线相切时，c1c2最小，

不妨设直线xyc10经过点(1,2),(2,1)，此时c13， 设直线xyc20与双曲线相切，此时c222，

故c1c2的最小值为322. 12. 在数列an中，a13,an11a1a2a3和，则limTn ．

n1an, 记Tn为数列的前n项

an【解析】因为an11a1a2a3 所以

an，所以an21a1a2an11an11an1，

1an21111，

a1aa1an1n1n1n1 所以

111， an1an11an21111a1a2a31 an11 an1an11 所以Tn 111113a21a31a31a41 

212，又an1，所以limTn.

n3an113二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸

的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13. 经过点1,1，且方向向量为1,2的直线方程是（ ）

A. 2xy10 B. 2xy30 C. x2y10 D. x2y30 【解析】方向向量为(1,2)，则法向量为(2,1)，又经过点(1,1)， 故所求直线方程为2xy10，选A.

14. 设,表示两个不同的平面，l表示一条直线，且l, 则l//是//的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

【解析】l//不一定能推出//，要两条相交直线都和平行， 反之，//一定能推出l//，故为必要非充分条件，选B.

15. 已知实数a、b满足(a2)(b1)8,有结论: ①存在a0,b0，使得ab取到最小值；

②存在a0,b0，使得ab取到最小值. 正确的判断是（ A. ①成立，②成立 B. ①不成立，②不成立 C. ①成立，②不成立 D. ①不成立，②成立

【解析】因为(a2)(b1)8，所以aba2b6，所以a2b6ab22ab， 即

)

ab2ab320，所以ab2，当且仅当a2,b1时取等号，

 故①正确；

因为(a2)(b1)8，所以a82， b1882b13，又a0,b0， 所以abbb1b1显然ab无最小值，有最大值，故②错误； 故选C.

16.已知函数f(x)1|2xa|.若存在相异的实数x1,x2(,0), 使得fx1fx2 x )

成立，则实数a的取值范围为（

2A. , B. (,2) C. 22(2,) 2, D.

12xa单调递减，不合题意，所以a0， x【解析】若a0，当x(,0)时，f(x)

12xa,xx 所以f(x)12xa,xxaa2， a2 当x,时，f(x)2xa单调递减，f(x)min；

2xa 当x,0时，若 f(x)f()12a21a2，由对勾函数的单调性得f(x)2xa单调递减， 22xa22，不合题意； a 若

1a2，由基本不等式得f(x)2xa22a， 22x22a2，即a22，恒成立，故，

22aa 由题意得22a即a(,2)，故选B.

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 如图,S是圆雉的顶点, O是底面圆的圆心,AB,CD是底面圆的两条直径, 且ABCD,

SO4,OB2,P为SB的中点.

（1）求异面直线SA与PD所成角的大小 (结果用反三角函数值表示); （2）求点S到平面PCD的距离. 【解析】（1）arcsin

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数f(x)2a2xx452（2）

53(a为常数，aR).

（1）讨论函数f(x)的奇偶性;

（2）当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)kf(x)3在x[0,1]上有实根，求实数k的取 值范围。

【解析】（1）由已知得，f(x)2a2

xx所以f(x)2xa2(x)2xa2x

当a1时，f(x)f(x)，fx为偶函数；

当a1时，f(x)f(x)，fx为奇函数；

当a1时，f(x)f(x)且f(x)f(x)，所以fx为非奇非偶函数.

xx（2）由（1）知，a1时fx为偶函数，所以f(x)22

方程f(2x)kf(x)3即22x22xk2x2x3 在x[0,1]上有实数根，令2xt ，则t[1,2] 即t211112kt3t3kt 22tttt1(t)2515tk ，即kt即

1ttttt151yt2 当且仅当时等号成立，所以t2,

t2t令tm,m2,，即kmt2m只需yk与ym1555m2,

25有交点即可 m555当m2,时，ym在m2,上递增ym m22m5m

51111, k, m2222

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花. 已知扇形的半径为100米，圆心角为, 点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQ//OA. （1）当Q是OB的中点时，求PQ的长; (精确到米)

（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方 米. 要使郁金香种植区OPQ的面积尽可能的大，求OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本. (精确到元)

【解析】（1）115米（2）Smax25003，总成本391703元

20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题

满分6分．

已知抛物线y4x的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A,B两点. （1）若直线l的方程为yx1，求线段AB的长；

（2）经过点P(1,0)，点A关于x轴的对称点为A，求证:A,F,B三点共线;

223（3）若直线l经过点M(8,4)，拋物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N?若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由已知得，若直线l的方程为yx1，过焦点F1,0 联立yx12y4x化简得，x26x10

所以线段AB的长ABxAxB28

（2）略

y02（3）假设存在点N,y0 使以弦AB为直径的圆恒过点N，设过点M(8,4)直线的直

4线l的方程为xm(y4)8, 联立方程xm(y4)82y4my16m320， 得2y4x2y12y2设A,y1,B,y2, 则y1y24m,y1y216m32；

44因为点N总是在以弦AB为直径的圆上； 所以ANB90, 所以NANB0；

222y12y0y2y0由NA,y1y0,NB,y2y0

4444222y12y0y2y0所以y1y0y2y00

4444即y1y0y2y0y1y0y2y01610 当y1y0或y2y0，等式显然成立

当y1y0或y2y0时，则有y1y0y2y016

22即y1y2y0y1y2y0160, 则y04my016m160,

即4my04y04y040 所以当y04时, 无论m取何值等式都成立，

2将y04代入y4x得x04，

所以存在点N(4,4)使以弦AB为直径的圆但过点N.

21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

对于至少有三项的实数列an，若对任意的nnN*,n3，都存在s,t（其中

st,s,tN*,sn,tn，使得anasat成立，则称数列an具有性质P.

（1）分别判断数列1,2,3,4和数列1,0,1,2是否具有性质P，请说明理由； （2）已知数列an是公差为d(d0)的等差数列，若bnsinan, 且数列an和

bn都具有性质P，求公差d的最小值；

（3）已知数列cn|na|b（其中ab,a,bN*，试探求数列cn具有性质

P的充要条件.

【解析】（1）不具有，具有；（2）dmin3；（3）ab2,a4,aN

