2021上海宁区高三数学一模答案

参与评分标准

一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．1,2 2． 3．0 4．3.0

1 7．1 8．1,1 219．1 10．3 11． 12．45

95．15 6．

二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13. B 14. D 15. C 16 . A

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）OP底面OAB

由题意高h23，底面半径r2，

所以母线l4 ………………2分 圆锥的侧面积S11lr2248 ………………6分 22（2）取OA的中点为N，因为M为AB的中点

所以MN//OB，PMN就是直线PM与直线OB所成的角 ………………2分 因为OBOA，OBOP，

所以OB平面POA，MN平面POA，MNPN ………………4分

在Rt△PNM中，PNr1h2()213，MNOB1 …………6分

22 所以PMN的正切值为13 即直线PM与直线OB所成的角正切值为13 ………………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 解：设Ax1,y1，Bx2,y2，

1

（1）F1,0，得n1 …………2分

2直线l的方程xmy1代入y4x得，y4myx40

2所以y1y24m，y1y24 …………4分

ABx1x2y1y222 m21y1y24y1y2 24m218

所以m1 …………7分 （2）抛物线y4x的准线方程为x1 …………1分

设C1,y3，由OA的方程为y2y1x， x1得y3y14 …………4分 x1y14 …………6分 y1由（1）知y1y24，即y2所以y3y2，BC平行于x轴 …………7分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）连接BD，由题意ABD是等边三角形，所以BD20

又因为ADC105，所以DBC45 …………2分 在BCD中，

BCBD， …………4分 sinBDCsinC得BC=

206≈16（米） …………6分 3（2）设ADC， 则BDC在BCD中，所以BC3，CBD2， 3CDBCBD，

sinCBDsinBDCsinC404023sin…………4分 3sin，DC3333  2

所需板材的长度=40+

404023sin+3sin3333

403sin， …………6分 340 答：当ADC时，所需板材最长为403≈73（米）. …………8分

32=40

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 解：（1） 当a0时，fxx2x，fxx2x

33所以fxfx，yfx为奇函数. …………2分 当a0时，f1a1，f1a1,

因为f1f1，所以fx既不是奇函数也不是偶函数. …………4分

（2）原问题可化为a121x在区间,1有解，…………1分 2x2函数y121x在区间,1单调递减, …………3分 2x25, …………4分 25所以a的取值范围是(,)…………6分

2

所以ymin（3）假设存在对称中心m,n，则

x3ax22x2mxa2mx22mx2n恒成立

得6m2ax212m24ax8m34am24m2n恒成立…………2分

326m2a02所以12m4am0 …………4分

8m34am24m2n2a32aa得m，n 2733a2a32a) …………6分 所以函数yfx有对称中心(,3273

3

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 解（1）数列an的通项为ann，a22，a33， …………2分

2a39因为不是正整数，所以不是数列an的项，

a22所以数列an不是“X数列”. …………4分

n1（2）数列an的前n项和Sn2n1nN*,所以an2. …………2分

当n3时，取km1，lm2， …………4分

2ak则22kl12n1an，所以数列an是“Y数列”. …………6分 ala（3）证明：记q2，因为数列an是各项均为正数的递增数列，

a1a所以q1,且当kl时, k1. …………1分

al2aka若kl ,ankakakal，则nkl.① ………2分

alalai2因为数列an是“X数列”，所以存在ij,且a3，

aj由①知,3ij1，所以i2,j1

2a2即a3a1q2，即a1，a2，a3成等比数列. …………4分

a12ak因为数列an是“X数列”，存在正整数k、lkl，使得a4，

al由①得，4kl,所以3kl，

2ak进而a4a1q2kl1，记n42kl1N*.

al2a3因为数列an是“Y数列”存在正整数m，使得amqa3a1q3，

a2由q1，得ama3. …………6分

若a4a1qn4a1q3，再由a3a1q2a4，

*得2n43，与n4N矛盾；

3若a4a1qam，则a3ama4，与数列an递增矛盾，

3所以a4a1q,即a1，a2，a3，a4成等比数列. …………8分

4