2021上海高三数学闵行二模

2021.4

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合A{x|x23x40}，B{x|2x2}，则A2. 复数zB

12i（i为虚数单位）的共轭复数为 i13. 在无穷等比数列{an}中，a21，a5，则lim(a1a2an)

n27sinx14. 已知函数f(x)1，若f(a)2021，则f(a)

x31345. 已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P(,)，

55则cos2

x1t6. 若直线l的参数方程为（tR），则直线l的倾斜角为

y13t27. 在(1)6的二项展开式中，中间一项的系数为 （用数字作答）

x8. 如图，在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线 是互相垂直的异面直线的概率为

x2y29. 已知双曲线221（a0，b0）的两焦点分别为

abF1、F2，P为双曲线上一点，PF2x轴，且|PF2|是|PF1|

与|F1F2|的等差中项，则双曲线的渐近线方程为

10. 若四边形ABCD是边长为4的菱形，P为其所在平面上的任意点， 则|PAPCPBPD|的取值范围是

tanx11. 已知函数f(x)63x3323x(,](,)2332，若f(x)在区间D上的

2x(,]33最大值存在，记该最大值为K(D)，则满足等式K{[0,a)}3K{[a,2a]}的实数a的取值 集合是

12. 已知数列{an}（nN*）满足an1|a2a1||a3a2||anan1|（n2），且a11，a2a（a1），则a1a2a3a24 （结果用含a的式子表示）

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 设p：log2x0，q：x1，则p是q成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分亦非必要条件 14. 如图是函数f(x)sin(x6该图像分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的

)在一个周期内的图像，

直线相交于另外两点C、D，i为x轴上的基本单位向量， 则(BCBD)i（ ）

555 C. D. 663a15. 已知函数f(x)x（a0），0x1x2，且f(x1)f(x2)，给出以下结论：

xxx2① 1a恒成立；② f(2ax1)f(x2)恒成立；则（ ）

2A. 1 B. A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误

16. 在直角坐标平面上，到两条直线y0与yx的距离和为3的点的轨迹所围成的图形 的面积是 （ ）

A. 18 B. 182 C. 36 D. 362

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知函数f(x)log2(2x1).

（1）证明：f(x)在区间(,)上是增函数；

（2）若函数F(x)mf(x)在区间[0,2]上存在零点，求实数m的取值范围.

18. 如图，在四棱锥MABCD中，已知AM平面ABCD，ABAD，AB∥CD，

AB2AC，且ABAMAD2.

（1）求四棱锥MABCD的体积； （2）求直线MC与平面ADM所成的角.

19. 某植物园中有一块等腰三角形ABC的花圃，腰长为20米，顶角为30°，现在花圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合，步行道用曲线DE表示（D、E两点分别在腰AB、AC上，以下结果精确到0.01）. （1）如果曲线DE是以A为圆心的一段圆弧（如图1），求AD的长；

（2）如果曲线DE是直道（如图2），求ADAE的最小值，并求此时直道DE的长度.

x220. 如图，已知椭圆:y21的左右顶点分别为A、B，P是椭圆上异于A、B

4的一点，直线l:x4，直线AP、BP分别交直线l于两点C、D，线段CD的中点为E.

（1）设直线AP、BP的斜率分别为kAP、kBP，求kAPkBP的值；

（2）设△ABP、△ABC的面积分别为S1、S2，如果S22S1，求直线AP的方程； （3）在x轴上是否存在定点N(n,0)，使得当直线NP、NE的斜率kNP、kNE存在时，

kNPkNE为定值？若存在，求出kNPkNE的值，若不存在，请说明理由.

21. 对于有限集S{a1,a2,a3,,am1,am}（mN*，m3），如果存在函数f(x) （f(x)x除外），其图像在区间D上是一段连续曲线，且满足f(S)S，其中

f(S){f(x)|xS,SD}，那么称这个函数f(x)是P变换，集合S是P集合，

数列a1，a2，a3，，am1，am是P数列.

例如，S{1,2,3}是P集合，此时函数f(x)4x是P变换，数列1、2、3或 3、2、1等都是P数列.

（1）判断数列1、2、5、8、9是否是P数列？说明理由；

（2）若各项均为正数的递增数列{an}（1n2021，nN*）是P数列，若P变换

f(x)9，求a1a2a2021的值； x（3）元素都是正数的有限集S{a1,a2,a3,,am1,am}（mN*，m3），若aiaj， 总有

ajaiS，其中1i,jm，试判断集合S是否是P集合？请说明理由.

参

一. 填空题

1. (1,2) 2. 2i 3. 5. 9 4. 2021 2716 6. 7. 160 8.

5125347,} 12. 23a210 9129. y22x 10. [0,16) 11. {

二. 选择题

13. A 14. D 15. A 16. B

三. 解答题

17.（1）略；（2）[log25,1]. 18.（1）2；（2）arcsin.

19.（1）13.82米；（2）最小值202，此时DE7.32米. 20.（1）13311(x2)；（3）N(1,0)，定值为. ；（2）y63421.（1）是，存在f(x)10x；（2）32021；（3）是.