考点三：对数函数例1、求函数的定义域和值域，并确定函数的单调区间．
例2、已知函数f(x)=lg(ax2＋2x＋1)（a∈R）.
（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
例3、已知
例4、已知f(x)=loga(ax－1)（a＞0，a≠１）. （1）求f(x)的定义域；（2）讨论f(x)的单调性；（3）求函数y=f(2x)与y=f
2
－1
的最大值和最小值以及相应的x值.
(x)的图象交点的横坐标.
2
例1解：由－x＋2x＋3＞0 ，得 x－2x－3＜0，∴－1＜x＜3，
2
2
定义域为 (－1，3)；
又令 g(x)=－x＋2x＋3=－(x－1)＋4，∴当 x∈(－1，3) 时， 0＜g(x)≤4.
∴ f(x)≥=－2 ，即函数 f(x)
2
的值域为[－2，＋∞）；
∵ g(x)=－(x－1)＋4 的对称轴为 x=1.
∴当－1＜x≤1 时， g(x) 为增函数，∴
为增函数．
为减函数.
当 1≤x＜3 时， g(x)为减函数，∴ f(x)即f(x) 在（－1，1] 上为减函数；在
[1，3 ）上为增函数．
;.
'.
例2、分析：令g(x)=ax＋2x＋1，由f(x)的定义域为R，故g(x)＞0对任意x∈R均成立，问题转化为
g(x)＞0恒成立，求a的取值范围问题；若
（0，＋∞），通过对
2
2
f(x)的值域为R，则g(x)
的值域为B必满足Ba的讨论即可．
解答：（1）令g(x)=ax＋2x＋1，因f(x)的定义域为R，∴ g(x)＞0恒成立．
∴∴函数f(x)的定义域为R时，有a＞1.
2
（2）因f(x)的值域为R，设g(x)=ax＋2x＋1的值域为B，则B（0，＋∞）.
若a＜0，则B=（－∞，1－]（0，＋∞）；
若a=0，则B=R，满足B（0，＋∞）.
若a＞0，则△=4－4a≥0，∴ a≤1.
综上所述，当f(x)的值域为R时，有0≤a≤1.
例3、分析：题中条件给出了后面函数的自变量的取值范围，而根据
对数的运算性质，可将函数数在闭区间上的最值问题来求解
.
化成关于log2x的二次函数，再根据二次函
解答：
;.
'.
当t=3时，y有最大值2，此时，由log2x=3，得x=8.
∴当x=2时，y有最小值－.
当x=8时，y有最大值2.例4、
分析：题设中既含有指数型的函数，也含有对数型的函数，在讨论定义域，
a进行讨论，而（3）中等价于求方程
x
讨论单调性时应注意对底数
x
f(2x)=f
－1
(x)的解．
解答：（1）a－1＞0得a＞1.
∴当a＞1时，函数f(x)的定义域为（0，＋∞），当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为（－∞，
x
x
0）.
.
（2）令g(x)=a－1，则当a＞1时，g(x)=a－1在（0，＋∞）上是增函数即对0＜x1＜x2，有0＜g(x1)＜g(x2)，而y=logax在（0，＋∞）上是增函数，∴ logag(x1) ＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴ f(x)= log
(a－1)在（0，＋∞）上是增函数；
x
x
a
当0＜a＜1时，g(x)=a－1在(－∞,0)上是减函数. 即对x1＜x2＜0，有g(x1)＞g(x2)＞0．而y=logax在（0，＋∞）上是减函数，∴ logag(x1) ＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴ f(x)=log
(a－1)在（－∞，0）上是增函数.
x
a
综上所述，f(x)在定义域上是增函数．（3）∵ f(2x)= log
x
y
x
a
(a－1)，令y=f(x)= log
y
2x
a
(a－1)，
x
则a－1=a，∴ a=a＋1，∴ x= log
y
a
(a＋1)(y∈R)．
;.
'.
∴ f
－1
(x)= log
－1
a
(a＋1)（x∈R）．
2x
x
x
由f(2x)=f
2x
(x)，得loga(a－1)= loga(a＋1)．
x
x
2
x
∴ a－1= a＋1，即(a)－a－2=0. ∴ a=2或a=－1（舍）．∴ x=loga2.
即y=f(2x)与y= f(x)的图象交点的横坐标为
－1
x
x
x=loga2．
变式训练：
一、选择题
1、当a>1时，在同一坐标系中，函数
y=ax与y=logax的图象是（
－
）
A．B．C．D．
2、将y=2的图象（象．
A．先向左平行移动C．先向上平行移动
x
），再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log2(x＋1)和图
1个单位1个单位
B．先向右平行移动D．先向下平行移动
1个单位1个单位
3、函数的定义域是（）
A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）
－1
C．（－∞，2））C．10
x＋3
D．（1，2]
4、函数y=lg(x－1)＋3的反函数f(x)=（A．10
x＋3
＋1B．10
x－3
－1 －1D．10
x－3
＋1
;.
'.
5、函数的递增区间是（）
A．（－∞，1）B．（2，＋∞）C．（－∞，）D．（，＋∞）
6、已知f(x)=|logax|，其中0A．B．C．D．
7、是（）
A．奇函数而非偶函数C．既是奇函数又是偶函数
B．偶函数而非奇函数D．既非奇函数也非偶函数
）
8、已知01，且ab>1，则下列不等式中正确的是（A．B．
C．D．
9、函数f(x)的图象如图所示，则y=log0.2f(x)的图象示意图为（）
;.
'.
A．B．C．D．
10、关于x的方程（a＞0，a≠１），则（）
A．仅当a＞1时有唯一解C．必有唯一解二、填空题
B．仅当0＜a＜1时有唯一解D．必无解
11、函数的单调递增区间是___________.
12、函数___________.
在2≤x≤４范围内的最大值和最小值分别是
13、若关于x的方程至少有一个实数根，则a的取值范围是___________.
14、已知围.
（a＞0，b＞0），求使f(x)＜0的x的取值范
15、设函数f(x)=x2－x＋b，已知log2f(a)=2，且f(log2a)=b(a>0且a≠1)，(1)求a，b的值；
(2)试在f(log2x)>f(1)且log2f(x)x的取值范围．16、已知函数f(x)=loga(x－3a)（a＞0且a≠１），当点P（x，y）是函数y=f(x)图象上的点时，点Q（x－2a，－y）是y=g(x)图象上的点.
;.
'.
（1）写出y=g(x)的解析式；
（2）若当x∈[a＋2，a＋3]时，恒有|f(x)－g(x)|≤１，试求a的取值范围. 答案及提示：1-10 DDDDA BBBCC
1、当a>1时，y=logx是单调递增函数，
a是单调递减函数，对照图象可知
D正确. ∴应选D.
y=x对称的曲线是反函数
y=2－1的图
x
2、解法1：与函数y=log(x＋1)的图象关于直线
2
象，为了得到它，只需将y=2的图象向下平移
x
x
1个单位.
D.
解法2：在同一坐标系内分别作出y=2与y=log(x＋1)的图象，直接观察，即可得
2
3、由≥0，得 01）∪（2，＋∞），答案选A.
5、应注意定义域为（－∞，
6、不妨取，可得选项B正确．
7、由f(－x)=f(x)知f(x)为偶函数，答案为B.
8、由ab>1，知，故且，故答案选B.
10、当a＞1时，0＜＜1，当0＜a＜1时，＞1，
作出y=ax与y=11、答案：（－∞，－
2
的图象知，两图象必有一个交点6）
.
提示： x＋4x－12＞0 ，则 x＞2 或 x＜－6. 当 x＜－6 时， g(x)=x
2
＋4x－12 是减函数，
;.
'.
∴在（－∞，－6）上是增函数 .
12、答案：11，7 ：∵ 2≤x≤4，∴.
则函数，
∴当时，y最大为11；当时，y最小为7.
13、答案：（－∞，] 提示：原方程等价于
由③得. ∴当x＞0时，9a≤，即a≤.
又∵ x≠3，∴ a≠2，但a=2时，有x=6或x=3（舍）.∴ a≤.
14、解：要使f(x)＜0，即.
当a＞b＞0时，有x＞；
当a=b＞0时，有x∈R；
;.
'.
当0＜a＜b时，有x＜.
15、解：(1)∵f(log
2
2
a)=b,f(x)=x
2
－x＋b,
∴(loga)－loga＋b=b，解得a=1(舍去)，a=2，
2
2
又logf(a)=2，
2
∴log(a－a＋b)=2，将a=2代入，
2
2
有log(2＋b)=2, ∴b=2；
2
(2)由logf(x)22
得log(x－x＋2)<2,
2
2
∴x－x－2<0，解得－1x)>f(1)得(logx)－logx＋2>0，
2
2
2
2
解得02，∴x∈(0，1)．16、解：（1）设Q（x′，y′），则，
∵点P（x，y）在y=f(x)的图象上，
∴．
（2）当x∈[a＋2，a＋3]时，有x－3a＞0且＞0成立.
而x－3a≥a＋2－3a=2－2a＞0，
∴ 0＜a＜1，且恒成立.
;.
'.
∴ 0＜a＜1. 由 |f(x)
－g(x)|≤1，即
∴ r(x)=x
2
－4ax＋3a在[a＋2，a＋3]上是增函数. (x－4ax＋3a)在[a＋2，a＋3]上是减函数.
2
2
2
∴ h(x)=log
a
∴当x=a＋2时，h(x)当x=a＋3时，h(x)
max
=h(a＋2)=log(4－4a)，
a
min
=h(a＋3)=log(9－6a).
a
;.
