一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=x}，则M∩N=（ ） A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0}
2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q 3．已知复数z=
，复数z对应的点为Z，O为坐标原点，则向量
的坐标为（ ）
2
A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1）
4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
5．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为4，则图中判断框内①处应填（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点， =， =，则
=（ ）
A．﹣ B． ﹣ C． + D． +
7．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相
关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：
x y
15 102
16 98
18 115
19 115
22 120
由表中样本数据求得回归方程为y=bx+a，则点（a，b）与直线x+18y=100的位置关系是（ ）
A．a+18b＜100 B．a+18b＞100
C．a+18b=100 D．a+18b与100的大小无法确定 8．已知数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣1，则满足A．2
B．3
C．4
D．5
的最大正整数n的值为（ ）
9．如图所示是正三棱锥V﹣ABC的正视图，侧视图和俯视图，则其正视图的面积为
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线
C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=（ ）
2
A．2 B．4 C．3
3
D．
2
12．若关于x的方程2x﹣3x+a=0在区间[﹣2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣4，0]∪[1，28） 28）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若α的终边过点P（﹣2cos30°，2sin30°），则sinα的值为 ． 14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=9﹣a6，则S8= ．
B．[﹣4，28]
C．[﹣4，0）∪（1，28]
D．（﹣4，
15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）= 则f（）的值为 ．
16．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意 x∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（ x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数f（x）=x是“似周期函数”；
③函数f（x）=2是“似周期函数”；
x
④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=，
）．
x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（﹣
（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ； （Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．
18．（12分）如图，在底面为梯形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，AD=DC=
，SA=SC=SD=2．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）求三棱锥B﹣SAD的体积．
19．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
20．（12分）设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点
为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，
F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G
在点M，H之间）． （I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻
边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．
21．（12分）设函数f（x）=+lnx，g（x）=x﹣x﹣3．
32
（1）函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若存在x1，x2∈[﹣，3]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足条件的最大整数M；
（3）如果对任意的s，t∈[，2]都有sf（s）≥g（t）成立，求实数a的范围．
四、选修题
22．（10分）已知曲线C1的参数方程是
（θ为参数），以坐标原点为
极点，x轴的正半轴为极轴，建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ． （Ⅰ）求曲线C1与C2交点的坐标；
（Ⅱ）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标
原点）．
五、选修题
23．（10分）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|． （1）求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≥t﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．
2
参与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=x}，则M∩N=（ ） A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0} 【考点】1E：交集及其运算．
【分析】集合M与集合N的公共元素，构成集合M∩N，由此利用集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=x}={0，1}，能求出M∩N．
【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=x}={0，1}， ∴M∩N={0，1}， 故选B．
【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2
2
2
2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q 【考点】25：四种命题间的逆否关系．
【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．
【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”， q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”， 命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括 “甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围” 或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”
或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．
所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）． 故选A．
【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．
3．已知复数z=
，复数z对应的点为Z，O为坐标原点，则向量
的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1）
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【解答】解：复数z=则向量
=
=i+1，
的坐标为（1，1）．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【考点】BC：极差、方差与标准差；B6：分布的意义和作用；BB：众数、中位数、
平均数．
【分析】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数，然后利用方差公式求出甲与乙的方差，从而可得到结论． 【解答】解：
=×（4+5+6+7+8）=6，
=×（5+5+5+6+9）=6，
甲的成绩的方差为×（2×2+1×2）=2，
2
2
22
以的成绩的方差为×（1×3+3×1）=2.4． 故选：C．
【点评】本题主要考查了平均数及其方差公式，同时考查了计算能力，属于基础题．
5．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为4，则图中判断框内①处应填（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】EF：程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当a=1时，b=1不满足输出条件，故应执行循环体，执行完循环体后，b=2，a=2；
当a=2时，b=2不满足输出条件，故应执行循环体，执行完循环体后，b=4，a=3； 当a=3时，b=4满足输出条件，故应退出循环， 故判断框内①处应填a≤2， 故选：A
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
6．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点， =， =，则
=（ ）
A．﹣ B． ﹣ C． + D． +
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义． 【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可．
【解答】解：如图：连结CD，OD，∵已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的
两个三等分点，
∴AODC是平行四边形， ∴
=
．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题．
7．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相
关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：
x y
15 102
16 98
18 115
19 115
22 120
由表中样本数据求得回归方程为y=bx+a，则点（a，b）与直线x+18y=100的位置关系是（ ）
A．a+18b＜100 B．a+18b＞100
C．a+18b=100 D．a+18b与100的大小无法确定 【考点】BK：线性回归方程．
【分析】由样本数据可得，，，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．
【解答】解：由题意， =（15+16+18+19+22）=18， =（102+98+115+115+120）=110，
xiyi=9993，5
=9900，
xi2=1650，n（）2=5•324=1620，
∴b==3.1，
∴a=110﹣3.1×18=54.2， ∵点（a，b）代入x+18y， ∴54.2+18×3.1=110＞100． 即a+18b＞100 故选：B．
【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．
8．已知数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣1，则满足A．2
B．3
C．4
D．5
的最大正整数n的值为（ ）
【考点】8H：数列递推式．
【分析】Sn=2an﹣1，n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为：an=2an，利用等比数列的通项公式可得：an=2
n
n﹣1
﹣1
.
n
化为：2
n﹣1
≤2n，即2≤4n．验证
n
n
n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2=（1+1），利用二项式定理展开即可得出．2＞4n．
【解答】解：Sn=2an﹣1，n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1． n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），化为：an=2an﹣1， ∴数列{an}是等比数列，公比为2． an=2．
化为：2
n﹣1
n﹣1
≤2n，即2≤4n．
n
n=1，2，3，4时都成立． n≥5时，2=（1+1）=下面证明：n+n+2＞4n，
作差：n+n+2﹣4n=n﹣3n+2=（n﹣1）（n﹣2）＞0， ∴n+n+2＞4n， 则满足
的最大正整数n的值为4．
2
2
2
2n
n
++…+++≥2（+）=n+n+2，
2
故答案为：C．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．如图所示是正三棱锥V﹣ABC的正视图，侧视图和俯视图，则其正视图的面积为
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图求出正三棱锥的棱长、底面正三角形的边长，根据正三棱锥的结构特征求出三棱锥的高，即可求出正视图的面积． 【解答】解：由题意知几何体是一个正三棱锥， 由三视图得棱长为4，底面正三角形的边长为2∴底面正三角形的高是
=3，
，
∵正三棱锥顶点在底面的射影是底面的中心， ∴正三棱锥的高h=2∴正视图的面积S=故选：D．
【点评】本题考查正三棱锥的三视图，由三视图正确求出几何元素的长度是解题的关键，考查了空间想象能力．
，
=3
，
10．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H3：正弦函数的奇偶性．
【分析】通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出φ，即可求解f（16）的值．
【解答】解：因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1， 所以A=，T=2，因为T=
，所以ω=π，
函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=，
∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），
所以故选D．
=sin（+）=．
【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力．
11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线
C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=（ ）
2
A．2 B．4 C．3 D．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．
【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切， ∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 ∵圆面积为9π，∴圆的半径为3
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，
∴+=3 ∴p=4 故选：B．
【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．
12．若关于x的方程2x﹣3x+a=0在区间[﹣2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣4，0]∪[1，28） 28）
【考点】55：二分法的定义．
【分析】利用导数求得函数的增区间为[﹣2 0）、（1，2]，减区间为（0，1），根
B．[﹣4，28]
C．[﹣4，0）∪（1，28]
D．（﹣4，
3
2
据f（x）在区间[﹣2，2]上仅有一个零点可得f（0）≠0，故①，或
②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．
【解答】解：设f（x）=2x﹣3x+a，则f′（x）=6x﹣6x=6x（x﹣1），x∈[﹣2，2]，
3
2
2
令f′（x）≥0，求得﹣2≤x≤0，1≤x≤2 令f′（x）＜0，求得 0＜x＜1， 故函数的增区间为[﹣2 0）、（1，2]，减区间为（0，1）， ∵若f（1）=0，则a=1，
则f（x）=2x﹣3x+1=（2x+1）（x﹣1），与提意不符合． ∴f（1）≠0
根据f（x）在区间[﹣2，2]上仅有一个零点，f（﹣2）=a﹣28，f（0）=a，f（1）=a﹣1，f（2）=a+4，
3
2
2
若f（0）=a=0，则f（x）=x （2x﹣3），显然不满足条件，故f（0）≠0．
2
∴①，或②．
解①求得1＜a≤28，解②求得﹣4≤a＜0， 故选：C．
【点评】本题主要考查方程的根与函数的零点间的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若α的终边过点P（﹣2cos30°，2sin30°），则sinα的值为 【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】通过α的终边过点P（﹣2cos30°，2sin30°），利用三角函数的定义，求解即可．
【解答】解：因为α的终边过点P（﹣2cos30°，2sin30°），则sinα=
=．
．
故答案为．
【点评】本题考查三角函数的定义，基本知识的考查．
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=9﹣a6，则S8= 72 ． 【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】可得a1+a8=18，代入求和公式计算可得． 【解答】解：由题意可得a3+a6=18， 由等差数列的性质可得a1+a8=18 故S8=（a1+a8）=4×18=72 故答案为：72
【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．
15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=
则f（）的值为 ﹣
1 ．
【考点】3T：函数的值．
【分析】根据已知分析出当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，可得答案．
【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，
∴f（﹣1）=1，f（0）=0， f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=﹣1， f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣1， f（3）=f（2）﹣f（1）=0， f（4）=f（3）﹣f（2）=1，
f（5）=f（4）﹣f（3）=1， f（6）=f（5）﹣f（4）=0， f（7）=f（6）﹣f（5）=﹣1，
故当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化， 故f（）=f（1）=﹣1， 故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，根据已知分析出当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，是解答的关键．
16．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意 x∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（ x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数f（x）=x是“似周期函数”； ③函数f（x）=2是“似周期函数”；
x
④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”． 其中是真命题的序号是 ①④ ．（写出所有满足条件的命题序号） 【考点】3P：抽象函数及其应用．
【分析】①由题意知f（x﹣1）=﹣f（x），从而可得f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x）；
②由f（x+T）=T•f （x）得x+T=Tx恒成立；从而可判断； ③由f（x+T）=T•f （x）得2=T2恒成立；从而可判断；
x+T
x
④由f（x+T）=T•f （x）得cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，从而可得
，从而解得．
【解答】解：①∵似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1， ∴f（x﹣1）=﹣f（x），
∴f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x）， 故它是周期为2的周期函数， 故正确；
②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x）， 即x+T=Tx恒成立； 故（T﹣1）x=T恒成立， 上式不可能恒成立； 故错误；
③若函数f（x）=2是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），
x
即2=T2恒成立； 故2=T成立，无解； 故错误；
④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），
T
x+Tx
即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立； 故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒成立；
即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立， 故
，
故ω=kπ，k∈Z； 故正确；
故答案为：①④．
【点评】本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了恒成立问题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17．（12分）（•乐山三模）如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=且α∈（﹣
，
）．
x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，
（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ； （Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．
【考点】GI：三角函数的化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】﹙Ⅰ﹚同角三角的基本关系求得cosα的值，再利用两角差的余弦公式求得cos∠POQ的值．
（Ⅱ）利用用割补法求三角形POQ的面积，再利用正弦函数的值域，求得它的最值．
【解答】解：﹙Ⅰ﹚因为，且，所以．
所以
（Ⅱ）由三角函数定义，得P（cosα，sinα），从而所
=
．
，
以=
．
因为，所以当时，等号成立，
所以△OPQ面积的最大值为．
【点评】本题主要考查任意角三角函数的定义，正弦函数的值域，用割补法求三角形的面积，属于中档题．
18．（12分）（•乐山三模）如图，在底面为梯形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AD∥
BC，∠ASC=60°，AD=DC=（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
，SA=SC=SD=2．
（Ⅱ）求三棱锥B﹣SAD的体积．
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（1）取AC中点O，连结OD，SO，由等腰三角形的性质可知AC⊥SO，AC⊥OD，故AC⊥平面SOD，于是AC⊥SD；
（2）由△ASC是等边三角形可求得SO，AC，利用勾股定理的逆定理可证明AD⊥CD，SO⊥OD，故而SO⊥平面ABCD，代入体积公式计算即可． 【解答】证明：（1）取AC中点O，连结OD，SO， ∵SA=SC，∴SO⊥AC， ∵AD=CD，∴OD⊥AC，
又∵OS⊂平面SOD，OD⊂平面SOD，OS∩OD=O， ∴AC⊥平面SOD，∵SD⊂平面SOD， ∴AC⊥SD．
（2）∵SA=SC=2，∠ASC=60°，∴△ASC是等边三角形，∴AC=2，OS=
，
∵AD=CD=，∴AD+CD=AC，∴∠ADC=90°，OD=
2
2
2
2
2
2
=1．
∵SD=2，∴SO+OD=SD，∴SO⊥OD，
又∵SO⊥AC，AC⊂平面ABCD，OD⊂平面ABCD，AC∩OD=O， ∴SO⊥平面ABCD，
∴V棱锥B﹣SAD=V棱锥S﹣ABD=S△ABD•SO=
=
．
【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．
19．（12分）（•乐山三模）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B8：频率分布直方图；BA：茎叶图． 【分析】（Ⅰ）先由频率分布直方图求出[50，60）的频率，结合茎叶图中得分在[50，60）的人数即可求得本次考试的总人数；
（Ⅱ）根据茎叶图的数据，利用（Ⅰ）中的总人数减去[50，80）外的人数，即可得到[50，80）内的人数，从而可计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高； （Ⅲ）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08， 由茎叶图知：
分数在[50，60）之间的频数为2， ∴全班人数为
．
（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3； 频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为
．
（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，
在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，
其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是
．
【点评】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题．
20．（12分）（•乐山三模）设椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为
F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，
过A，Q，F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）． （I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻
边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．
【分析】（I）因为，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆与
直线l相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程； （II）设l的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范围． 【解答】解：（I）因为设Q的坐标为（﹣3c，0），
因为AQ⊥AF2，所以b=3c×c=3c，a=4c×c=4c，
且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（﹣c，0），半径为2c 因为该圆与直线l相切，所以
，解得c=1，
2
2
2
2
，所以F1为F2Q中点．
所以a=2，b=，所以所求椭圆方程为；
2
2
（Ⅱ）设l的方程为y=kx+2（k＞0），与椭圆方程联立，消去y可得（3+4k）x+16kx+4=0．
设G（x1，y1），H（x2，y2），则x1+x2=﹣∴
=（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2）．
=（x1+x2﹣2m，k（x1+x2）+4） 又
=（x2﹣x1，y2﹣y1）=（x2﹣x1，k（x2﹣x1））．
）•
=0，
由于菱形对角线互相垂直，则（
所以（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m]+k（x2﹣x1）[k（x1+x2）+4]=0． 故（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m+k（x1+x2）+4k]=0．
2
因为k＞0，所以x2﹣x1≠0．
所以（x1+x2）﹣2m+k（x1+x2）+4k=0，即（1+k）（x1+x2）+4k﹣2m=0． 所以（1+k）（﹣
2
2
2
）+4k﹣2m=0．
解得m=﹣，即
因为k＞，可以使，所以
故存在满足题意的点P且m的取值范围是[）．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题．
21．（12分）（•乐山三模）设函数f（x）=
+lnx，g（x）=x﹣x﹣3．
3
2
（1）函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若存在x1，x2∈[﹣，3]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足条件的最大整数M；
（3）如果对任意的s，t∈[，2]都有sf（s）≥g（t）成立，求实数a的范围． 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）先求函数f（x）的定义域，再求出函数的导数，从而讨论确定函数的
单调性；
（2）存在x1，x2∈[﹣，3]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立可化为[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，从而化为求g（x）的最值，从而求解．
（3）化简可知g（x）的最大值是1，从而可得只需当x∈[，2]时，xf（x）=+xlnx≥1恒成立，可化为a≥x﹣xlnx恒成立，从而转化为最值问题 【解答】解：（1）函数f（x）=
+lnx的定义域（0，+∞），
2
f′（x）=﹣+=，
①当a≤0时，f′（x）≥0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； ②当a＞0时，由f′（x）≥0得x≥函数f（x）的单调递增区间为（由f′（x）≤0得0＜x≤
，
）． ， ，+∞）；
函数f（x）的单调递减区间为（0，
（2）存在x1，x2∈[﹣，3]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立， 可化为[g（x1）﹣g（x2）]max≥M；
考察g（x）=x﹣x﹣3，g′（x）=3x﹣2x=3x（x﹣）；
3
2
2
x
﹣ （﹣，0）
0
（0，） （，3）
3
g'（x） g（x）
﹣
+
0 ﹣3
﹣ 递减
0 ﹣
+ 递增
递增 15
由上表可知g（x）min=g（﹣）=g（）=﹣，g（x）max=g（3）=15；
故[g（x1）﹣g（x2）]max=g（x）max﹣g（x）min=所以满足条件的最大整数M=18．
，
（3）当x∈[，2]时，由（Ⅱ）可知，g（x）在[，]上是减函数，
在[，2]上增函数，而g（）=﹣∴g（x）的最大值是1． 要满足条件，
＜g（2）=1，
则只需当x∈[，2]时，xf（x）=+xlnx≥1恒成立， 可化为a≥x﹣xlnx恒成立，
记h（x）=x﹣xlnx，h′（x）=1﹣x﹣2xlnx，h′（1）=0．
22
当x∈[，1）时，1﹣x＞0，xlnx＜0，h′（x）＞0，
2
即函数h（x）=x﹣xlnx在区间[，1）上递增， 当x∈（1，2]时，1﹣x＜0，xlnx＞0，h′（x）＜0， 即函数h（x）=x﹣xlnx在区间（1，2]上递减， ∴x=1，h（x）取到极大值也是最大值h（1）=1．
2
所以a≥1．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，考查了构造函数的应用，属于难题．
四、选修题
22．（10分）（•乐山三模）已知曲线C1的参数方程是
（θ为参数），
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的坐标；
（Ⅱ）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）求出曲线C1与C2的普通方程，即可求曲线C1与C2交点的坐标； （Ⅱ）由平面几何知识可知，当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时|AB|=2
+4，O到AB的距离为
，即可求△OAB的面积．
（θ为参数），得曲线C1的普通方程为（x+2）
【解答】解：（Ⅰ）由
2
+y=4；
2
2
2
由曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ，得曲线C2的直角方程是x+y=4y， 把两式作差得y=﹣x，
代入x+y=4y，得到交点坐标为（0，0），（﹣2，2）；
（Ⅱ）由平面几何知识可知，当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大， 此时|AB|=2
+4，O到AB的距离为
， =2+2
．
22
∴△OAB的面积S=
【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，比较基础．
五、选修题
23．（10分）（•乐山三模）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|． （1）求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≥t﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（1）通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号，可得f（x）
2
=，再解不等式f（x）≥3即可求得其解集；
（2）当x∈[0，1]时，易求f（x）max=﹣1，从而解不等式t﹣3t＞﹣1即可求得实数t的取值范围．
2
【解答】解：（1）∵f（x）=，
∴原不等式转化为或或，
解得：x≥6或﹣2≤x≤﹣或x＜﹣2，
∴原不等式的解集为：（﹣∞，﹣]∪[6，+∞）； （2）只要f（x）max＜t﹣3t，
由（1）知，当x∈[0，1]时，f（x）max=﹣1， ∴t﹣3t＞﹣1， 解得：t＞
或t＜
．
2
2
∴实数t的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
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