2022年四川省高考数学试卷(文科)(甲卷)

1.A.2.

设集合，，则()B.C.D.

某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则()A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.若，则()A.B.C.D.

4.

如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为()A.8B.12C.16D.205.

将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是(第1页，共17页)A.6.A.7.

函数B.C.D.

从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()B.

在区间C.D.

的图像大致为()A.B.

C.D.

8.A.9.A.C.10.

则当时，函数取得最大值，则()B.

在长方体C.

中，已知D.1与平面ABCD和平面所成的角为所成的角为，侧面积分别为和，体积分别为和若所成的角均为，则()B.AB与平面D.

与平面甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为()，A.

11.已知椭圆C：则C的方程为()B.C.

的离心率为，D.

，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，A.12.A.13.14.

已知向量设点M在直线已知B.

，，C.

，则()D.

B.

，C.

若上，点和，则均在D.

______.上，则的方程为______.第2页，共17页15.16.17.

记双曲线C：已知中，点D在边BC上，的离心率为e，写出满足条件“直线，，当与C无公共点”的e的一个值______.取得最小值时，______.甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数AB240210未准点班次数2030根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；能否有附：的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？k18.

记证明：若，为数列的前n项和．已知是等差数列；，成等比数列，求的最小值．19.

小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．第3页，共17页单位：的正方形，证明：平面ABCD；求该包装盒的容积不计包装盒材料的厚度20.

若已知函数，求a；，，曲线在点处的切线也是曲线的切线．求a的取值范围．21.

设抛物线C：求C的方程；的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为AB的方程．，当取得最大值时，求直线第4页，共17页22.

在直角坐标系xOy中，曲线写出的普通方程；的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线坐标，及与交点的直角坐标．的极坐标方程为，求与交点的直角23.

已知a，b，c均为正数，且；若，则，证明：第5页，共17页答案和解析

1.【答案】A【解析】解：集合则故选：利用交集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．，，2.【答案】B【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断【解答】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：，，，，，，，，，，讲座前问卷答题的正确率的中位数为：对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：，故A错误；，故B正确；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：讲座前正确率的极差为：，，讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．3.【答案】D【解析】解：，，则故选：第6页，共17页先求出，由此能求出本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如图，，，，，平面ABCD，该多面体的体积为：故选：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱平面ABCD，由此能求出该多面体的体积．本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，，，，5.【答案】C【解析】解：将函数则C对应函数为的图象关于y轴对称，即则令故选：由题意，利用函数本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得的最小值．，，可得，的最小值是，，，，的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，有，，，，，，共15种取法，，，，，，，共6种情况，，，，，，，，，，其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有第7页，共17页则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率故选：；根据题意，用列举法分析“从6张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：可知函数是奇函数，排除BD；当故选：判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．时，，排除，，8.【答案】B【解析】解：由题意则当，时函数取得最值，可得，即，易得函数在故则故选：由已知求得b，再由题意可得求得a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得上单调递增，在上单调递减，也是函数的一个极值点，，则，处，函数取得极大值，也是最大值，本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】D第8页，共17页【解析】解：如图所示，连接，BD，不妨令，在长方体所以即所以在在所以中，，中，，和中，分别为，面，面ABCD，所成的角，与平面ABCD和平面，，，，，故选项A，C错误，由图易知，AB在平面所以在为AB与平面中，上的射影在所成的角，，上，故选项B错误，如图，连接，则所以在在平面为中，上的射影为与平面，所成的角，，所以，所以选项D正确，故选：不妨令，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．本题考查了直线与平面所成角，属于中档题．10.【答案】C第9页，共17页【解析】解：如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径即圆锥母线为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为别为则，，，，解得，，，，，高分由勾股定理可得故选：设圆的半径即圆锥母线为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为，进而求得体积之比．本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题．，，高分别为，，则可求得，，11.【答案】B【解析】解：由椭圆的离心率可设椭圆方程为则由平面向量数量积的运算法则可得：，则椭圆方程为故选：首先设出椭圆方程，然后结合平面向量的数量积运算法则可得椭圆方程．本题主要考查椭圆方程的求解，平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中等题．，，，12.【答案】A【解析】解：，，，构造函数，第10页，共17页，令由上述有故故故故选：首先由单调性比较得到与，可大致计算m的范围，观察a，b的形式从而构造函数大小关系即可．，利用的，在，解得：，可得单调递增，，又因为，，本题主要考查构造函数比较大小，属于较难题目．13.【答案】【解析】解：向量，则，，，故答案为：由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得m的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由点M在直线由于点求得故和均在上，，圆心，上，可设圆的半径为，，，，可得半径为的方程为故答案为：设出圆心坐标，根据半径相等，求得a的值，可得圆心和半径，从而得到圆的标准方程．本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．15.【答案】【解析】解：双曲线C：双曲线的渐近线方程为内的任意一个值都满足题意的离心率为e，，，第11页，共17页直线可得与C无公共点，可得，，即，即，满足条件“直线故答案为：与C无公共点”的e的一个值可以为：内的任意一个值都满足题意与C无公共点，推出a，b的不等式，即可得到离心率的范围．求出双曲线渐近线方程，利用直线本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．首先设出BD，CD，在两个三角形中分别表示AC，BC，继而取等号的条件即可．【解答】解：设，，，可得：，可得：最小，，，，从而利用均值不等式在三角形ACD中，在三角形ABD中，要使得最小，即，其中当且仅当故答案为：，此时时，即，时取等号，17.【答案】解：公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故A公司准点的概率为；；B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故B公司准点的概率为由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，A公司共260辆，B公司共240辆，，有【解析】的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．根据题设数据直接计算即可；由题设数据代入公式直接计算即可得出结论．第12页，共17页本题考查概率计算以及性检验，考查运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解：把n换成②-①可得：整理得：由等差数列定义有由已知有故所以故可得：故故在或者，证明：由已知有：①，②，，，为等差数列；，设等差数列，解得，，时取最小值，，，，的首项为x，由，故有其公差为1，，的最小值为由已知令，做差可得递推关系从而证明，正负分界点计算即可．【解析】由，成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前n项和的最小值，属于中档题．19.【答案】做证明：如图所示，将几何体补形为长方体，于点，做，于点，均为等边三角形，，，均与底面垂直，为平行四边形，则在平面ABCD内，平面，由于底面为正方形，故等边三角形的高相等，即由面面垂直的性质可知则，四边形由于EF不在平面ABCD内，由线面平行的判断定理可得第13页，共17页解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，其中长方体的高长方体的体积一个三棱锥的体积则包装盒的容积为【解析】将几何体补形之后结合线面平行的判断定理即可证得题中的结论；，，，首先确定几何体的空间特征，然后结合相关的棱长计算其体积即可．本题主要考查线面平行的判定，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题．20.【答案】解：则切线的斜率且由由于切点在直线由题意可得当当当时，时，由题意可得，，即，，故切线方程为可得，，，解得，则切点坐标为上，故，，单调递增，，，，单调递减，时，单调递增，，，且函数的零点为绘制函数和函数的图象如图所示，第14页，共17页观察可得，当当当时，函数时，函数时，函数和函数和函数和函数在点处有公共点，函数存在公切线，不存在公切线，存在公切线，则实数a的取值范围是【解析】由题意结合函数的切线方程即可确定实数a的值；由题意结合函数图象即可确定实数a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的图象，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．21.【答案】解：则在则C的方程为设由可知，，中，由题意可知，当时，，得，得，可知，解得，；，，则，，，又N、D、B三点共线，则，即，，第15页，共17页得，即；同理由M、D、A三点共线，得则由题意可知，直线MN的斜率不为0，设由，得，：，，，则，，则，当时，；当时，无最大值，当且仅当，即时，等号成立，，即，取最大值，，，此时AB的直线方程为又的方程为【解析】由已知求得，即，与，则在，再由三点共线可得中，利用勾股定理得，，则C的方程可求；设M，N，A，B的坐标，写出设求得：与；由题意可知，直线MN的斜率不为0，，，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得AB的方程．，本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．22.【答案】解：可得由为参数，消去参数t，；的普通方程为由为参数，消去参数s，可得由则曲线的普通方程为，得的直角坐标方程为第16页，共17页，联立，解得或，与交点的直角坐标为与；联立，解得或，与交点的直角坐标为与【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．消去参数t，可得消去参数s，可得直角坐标．的普通方程；的普通方程，化的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解与、与交点的23.【答案】证明：由柯西不等式知，即当且仅当由故知，，则，，即，b，c均为正数，且，，；，且，，即，时取等号；由权方和不等式可知，【解析】由已知结合柯西不等式证明；由已知结合中的结论，再由权方和不等式证明．本题考查不等式的证明，考查柯西不等式与权方和不等式的应用，是中档题．第17页，共17页