2022四川高考真题—数学(文)解析版

数 学（供文科考生使用）

参考公式：

假如事件互斥，那么 球的表面积公式 P(AB)P(A)P(B) S4R2

假如事件相互，那么 其中R表示球的半径 P(AB)P(A)P(B) 球的体积公式

假如事件A在一次试验中发生的概率是p，那么

43 VR3在n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

P(k)Ckpk(1p)nk(k0,1,2,…,n)

nn第一部分 （选择题 共60分）

注意事项：

1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、设集合A{a,b}，B{b,c,d}，则AB（ ）

A、{b} B、{b,c,d} C、{a,c,d} D、{a,b,c,d}

[答案]D

[解析]集合A中包含a,b两个元素，集合B中包含b,c,d三个元素，共有a,b,c,d四个元素，因此AB{a、b、c、d}

[点评]本题旨在考查集合的并集运算，集合问题属于高中数学入门知识，考试时出题难度不大，重点是把握好课本的基础知识. 2、(1x)7的展开式中x2的系数是（ ）

A、21 B、28 C、35 D、42 [答案]A

[解析]二项式(1x)7展开式的通项公式为T2x2的系数为C721

k1=

2、2 C7kxk，令k=2，则T3C7x[点评]高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，第一需要熟练把握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的运算能力.

3、交通治理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情形，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（ ）

A、101 B、808 C、1212 D、2020 [答案]B [解析]N=

96969696212543808121212[点评]解决分层抽样问题，关键是求出抽样比，此类问题难点要注意是否需要剔除个体. 4、函数yaxa(a0,a1)的图象可能是（ ）

[答案]C

[解析]采纳专门值验证法. 函数yaxa(a0,a1)恒过（1,0），只有C选项符合. [点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中专门值验证、排除法比较常用，且简单易用. 5、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连接EC、ED则

sinCED（ ）

A、DC310 B、10 C、5 D、5 10101015EAB

[答案]B

[解析]AE1，正方形的边长也为1ED2EC（EAAB）CB52AEAD222CD1cosCEDEDEC-CD2ED•EC22231010sinCED1cos2CED1010[点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用，需要用α的的范畴决定其正余弦值的正负情形. 6、下列命题正确的是（ ）

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 [答案]C

[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，因此A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面能够平行，也能够垂直；故D错；故选项C正确.

[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练把握课本基础知识的定义、定理及公式.

7、设a、b差不多上非零向量，下列四个条件中，使

ab|a||b| 成立的充分条件是（ ）

A、

|a||b|且a//b B、ab C、a//b D、a2b

成立，则

选项中只有D能保证，故选D.

a与b方向相同，[答案]D [解析]若使

ab|a||b|[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意. 8、若变量x,y满足约束条件

xy3,x2y12,2xy12x0y0，则z3x4y的最大值是（ ）

A、12 B、26 C、28 D、33

[答案]C

[解析]目标函数z3x4y能够变形为

3z，做函数3的平行线， yxyx444当其通过点B（4,4）时截距最大时，

即z有最大值为z3x4y=344428. [点评]解决线性规划题目的常规步骤： 一列（列出约束条件）、 二画（画出可行域）、

三作（作目标函数变形式的平行线）、 四求（求出最优解）.

9、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，

同时通过点M(2,y)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|（ ）

0A、22 B、23 C、4 D、25 [答案]B

[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（p2,0），准线方程为x=

p,

2M在抛物线上，p2p22（2-）y0（2）322解得：p1,y022

M到焦点的距离等于到准线的距离，即点M（2,22），根据两点距离公式有：|OM|22(22)223[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d

为点M到准线的距离).

10、如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为

PαCOABDB，该交线上的一点P满足BOP60，则A、P两点间的球

面距离为（ ） A、

2 B、R C、3 D、R

RarccosRarccos4343[答案]A

[解析]以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，则

AO•PO2

COSAOP2R4

A

2213(R,0,R),P(R,R,0)2222

2AOParccos42APRarccos4

[点评]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设专门自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学差不多功.

11、方程ayb2x2c中的a,b,c{2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

A、2 B、32条 C、36条 D、4 [答案]B

[解析]方程ayb2x2c变形得因此，分b=-2,1,2,3四种情形： （1）若b=-2，

ac，若表示抛物线，则a0,b0 x2y2bb2a1,c0,或2,或3a2,c0,或1,或3a3，c0,或1,或2 ; （2）若b=2,

a2,c0,或1,或3a1,c2,或0,或3a3，c2,或0,或1

以上两种情形下有4条重复，故共有9+5=14条； 同理 若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条.

综上，共有14+9+9=32种

[点评]此题难度专门大，若采纳排列组合公式运算，专门容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等专门有效的方法.要能熟练运用.

12、设函数f(x)(x3)3x1，{a}是公差不为0的等差数列，

nf(a1)f(a2)f(a7)14，则a1a2a7（ ）

A、0 B、7 C、14 D、21 [答案]D

[解析]∵{a}是公差不为0的等差数列，且f(a)f(a)f(a)14

127n∴[(a3)3a1][(a3)3a1][(a3)3a1]14

112277∴(aaa)714 127∴aaa21 127[点评]本小题考查的知识点较为综合，既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用，解决此类问题必须要敢于尝试，并需要认真观看其特点.

第二部分 （非选择题 共90分）

注意事项：

（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清晰。答在试题卷上无效。 （2）本部分共10个小题，共90分。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）13、函数

（用区间表示） 1的定义域是____________。

f(x)12x[答案]（

1） -，21）. -，2[解析]由分母部分的1-2x>0，得到x∈(

[点评]定义域问题属于低档题，只要保证式子有意义即可，相对容易得分.常见考点有：分母不为0；偶次根下的式子大于等于0；对数函数的真数大于0；0的0次方没有意义. 14、如图，在正方体ABCDABCD中，M、N分别是CD、CC的

11111中点，则异面直线AM与DN所成的角的大小是____________。

1[答案]90º

[解析]方法一：连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M, 因此，DN⊥平面A1MD1，

又A1M平面A1MD1，因此，DN⊥A1D1，故夹角为90º 体边长为2，则D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A1（2,0,2） 故，

ADMBCA1D1B1NC1方法二：以D为原点，分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴，建立空间直角坐标系D—xyz.设正方

DN（0,2,1），MA（2，1,2）1DN•MA1DN，MA1|DN||MA1| = 0,故DN⊥D1M，因此夹角为90º

因此，cos<

[点评]异面直线夹角问题通常能够采纳两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决. 15、椭圆x2为定值，且y2a5)的的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点

1(aa25A、B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

[答案] 2

3[解析]依照椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又a2c25

c2

c2,ea3[点评]本题考查对椭圆概念的把握程度.突出展现高考前的复习要回来课本的新课标理念. 16、设a,b为正实数，现有下列命题：

①若a2b21，则ab1； ②若1③若④若

，则ab1； 11ba|ab|1，则|ab|1；

|a3b3|1，则|ab|1。

若a,b中至少有一个大于等于1， 则a+b>1, 由a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ，因此，a-b<1 故①正确.

其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号） [答案] ①④

[解析]若a,b都小于1，则a-b<1

关于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1，

若a,b中至少又一个大于等于1，则a2+ab+b2>1,则|a-b|<1 若a,b都小于1，则|a-b|<1，因此④正确. 综上，真命题有 ① ④ .

[点评]此类问题考查难度较大，要求对四个备选项都要有正确的认识，需要考生具备扎实的数学基础，平常应多加强这类题的限时性练习.

三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解承诺写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）

17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为1和p。

10（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49，求p的值；

50（Ⅱ）求系统A在3次相互的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。 [解析]（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么 1-P（C）=1-1P=49 ，解得P=1………………………………6 分

10505（2）设“系统A在3次相互的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为 事件D, 那么P(D)=

C3211213972243 (1)(1)1010101000250答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243. ………………12分.

250[点评]本小题要紧考查相互事件，重复试验、互斥事件等概念及相关运算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 18、(本小题满分12分) 已知函数

xxx1。

f(x)cossincos22222（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和值域； （Ⅱ）若

32，求sin2的值。

f()10[解析]（1）由已知，f（x）=

xxx1 cossincos22222111

（1cosx）sinx2222 cos（x）24

因此f（x）的最小正周期为2，值域为

2,2，22。…………………6分

（2）由（1）知，f（）=

232

cos（），2410 因此cos（

。 3）

45 因此

sin2cos（2）cos（2）24187，…………………12分

12cos（）1425252

[点评]本小题要紧考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考

查运算能力，考查化归与转化等数学思想.

19、(本小题满分12分) 如图，在三棱锥PABC中，PAPB90，PAB60，ABBCCA，点P在平

面ABC内的射影O在AB上。

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角BAPC的大小。

[解析]（1）连接OC. 由已知，OCP为直线PC与平面ABC所成的角

设AB的中点为D，连接PD、CD. 因为AB=BC=CA,因此CDAB.

因为APB90，PAB60，所以PAD为等边三角形， 不妨设PA=2，则OD=1，OP=3, AB=4.

CAB. 因此CD=23，OC=

OD2CD211213tan在RtOCP中，OP339OPCOC1313

.…………………………6分

（2）过D作DEAP于E，连接CE.

由已知可得，CD平面PAB. 据三垂线定理可知，CE⊥PA，

因此，CED为二面角B—AP—C的平面角. 由（1）知，DE=3 在Rt△CDE中，tan

CD23CED2DE3

故二面角B—AP—C的大小为arctan2 …………………………………12分

[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤：一找（查找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值）.

20、(本小题满分12分) 已知数列{a}的前n项和为S，常数0，且aaSS对

1n1nnn一切正整数n都成立。

（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；

n（Ⅱ）设a0，100，当n为何值时，数列

1[解析]取n=1,得a2s2a,a(a2)0

11111 若a1=0,则s1=0, 当n2时，ass0,所以a0

nnn1n 若a1

1的前n项和最大？

{lg}an0，则a1综上，若a1 = 0, 若a1

2,

当n



2时，2an2sn,2an12sn1,

上述两个式子相减得：an=2an-1,因此数列{an}是等比数列

则an00，则an（2）当a1>0,且

2n …………………………………………7分



1100时，令bnlg,所以，bn2nlg2an 100100lg6lglg102因此，{bn}单调递减的等差数列（公差为-lg2） 则 b1>b2>b3>…>b6=

当n≥7时，bn≤b7=

100100lg7lglg101282故数列{lg

1}的前6项的和最大. …………………………12分

an[点评]本小题要紧从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 21、(本小题满分12分) 如图，动点M与两定点A(1,0)、B(1,0)构成MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C。

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线yxm(m0)与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ||PR|，求|PR|的取值范畴。

yMAOBx|PQ|[解析]（1）设M的坐标为（x,y），当x=-1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在。

因此x≠1且x≠-1.现在，MA的斜率为

y，MB的斜率为y. X1x1由题意，有

y·y=4

X1x1化简可得，4x2-y2-4=0

故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0（x≠1且x≠-1）…………………………4分 （2）由

yxm224xy40消去y，可得3x2-2mx-m2-4=0. (﹡)

关于方程(﹡)，其判别式



=（-2m)2－4×3（-m2-4）=16m2+48>0

而当1或-1为方程（*）的根时，m的值为-1或1. 结合题设（m>0）可知，m>0，且m≠1

设Q、R的坐标分别为（XQ,YQ）,(XR,YR),则为方程（*）的两根. 因为

PQPR,因此

XQX2，

RXQm2m323,XPm2m323

因此

PRPQXX21PR3。

21m112123321mm21现在

1因此

3m21,且13

2

m2

1121因此

233,且1222132mRP1PRPQm1531PRPQXX3,且XXRP53

综上所述，

55的取值范围是（1，）（，3）PQ33PR …………………………12分

[点评]本小题要紧考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能

力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。

22、(本小题满分14分) 已知a为正实数，n为自然数，抛物线an与x轴正半

yx22轴相交于点A，设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。 （Ⅰ）用a和n表示f(n)； （Ⅱ）求对所有n都有f(n)1（Ⅲ）当0a1时，比较

n成立的a的最小值；

f(n)1n1与 111f(1)f(2)f(2)f(4)f(n)f(2n)f(1)f(n1)的大小，并说明理由。

6f(0)f(1)[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为

a,02



n

，对

yx2 '1na求导得y2x2则抛物线在点A处的切线方程为：

y2a(xnan2),即y2axa.则f(n)annn ………………4分

（2）由（1）知f(n)=

an,则f(n)1n成立的充要条件是f(n)1n1an2n1

即知，

an2n1关于所有的n成立，

专门地，当n=1时，得到a≥3

当a=3，n≥1时，

an3(12)1Cn.22n1n1n

当n=0时，

an=2n+1.故a=3时

f(n)1n对所有自然数n均成立.

f(n)1n1因此满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分 （3）由（1）知f(k)=ak

下面证明：

111f(1)f(n1)

6.f(1)f(2)f(2)f(4)f(n)f(2n)f(0)f(1)第一证明01xx2

6x2.

g'(x)18x(x)3设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0当

2时,g'(x)<0; 当20xx1时，g'(x)033 21g(x)ming(3)90故g（x）在区间（0，1）上的最小值

因此，当00,即得

1xx2

6x1

由00a1(kN),因此k*aak2k6ak,从而111

f(1)f(2)f(2)f(4)f(n)f(2n)111aa2a2a4ana2n

6(aaa)62naan11n6f(1)f(n1)14分f(0)f(1)[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.要紧考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、专门与一样等数学思维方法。