浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考数学试题(解析版)

浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考数学试题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 若集合A=（-∞，5），B=[3，+∞），则（∁RA）∪（∁RB）=（ ）

A. R B. C. D. ∪ ，

=（4， ）， 与 2. 已知向量 =（1，5 ），则 的夹角为（ ）

A. B. C. D. 3. 等比数列{an}的前n项和为Sn，己知S2=3，S4=15，则S3=（ ）

A. 7 B. C. 7或

D. D.

22

4. 双曲线9y-4x=1的渐近线方程为（ ）

A.

B.

C.

5. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.

B.

C.

D.

52

6. 己知复数z满足zi=（π+3i），则 在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

7. 设函数f（x）的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f（x）=-f（y）

成立，则称函数f（x）为“H函数”，下列为“H函数”的是（ ） A. B. C. D.

AB⊂α，CD⊂β，8. 如图，二面角α-BC-β的大小为 ，且 ，

， ， ，则AD与β所成角的大小为（ ）

A. B. 第1页，共18页

C. D. 9. 五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择．若选择同一条路的人数超

过2人，则他们每人得1分；若选择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分，记小强游戏得分为ξ，则Eξ=（ ）

A.

B.

C.

D.

10. 在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC=2，M为BC中点，

N为AC中点，D为BC边上一个动点，△ABD沿AD向纸面上方或者下方翻折使BD⊥DC，点A在面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的

是（ ）

A. 线段NO划过的曲面面积为

B. D. 取值范围为

C.

二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）

n*2

11. 已知n∈N，（x- ）的展开式中存在常数项，则n的最小值为______，此时常

数项为______．

1]时，f（x）=x，12. 偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且当x∈[0，则f（ ）=______，

则若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围

是______．

13. 若实数x、y满足x＞y＞0，且log2x+log2y=1，则 + 的最小值是______， 的最大值为______．

14. 在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有

______个；构成等比数列的有______个． + ， = 15. 若等边△ABC的边长为 ，平面内一点M满足 则 =______． 16. 己知函数y=sinx+ cosx是由y=sinx- cosx向左平移φ（φ∈（0，2π）个单位得到

的，则φ=______． 17. 已知P是椭圈 + =1（a＞0，b＞0）上的动点，过P作椭圆的切线l与x轴、y轴

分别交于点A、B，当△AOB（O为坐标原点）的面积最小时，cos∠F1PF2= （F1、F2是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率为______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）

AD=3DB，18. 如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，

cosA= ，cos∠ACB=，BC=13．

（1）求cosB的值； （2）求CD的长．

第2页，共18页

19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，

∠ABC=∠BAD= ，PA=AD=2，AB=BC=1，点M，E分别是BA，PD的中点． （1）求证：CE∥平面BMD；

（2）点Q为线段BP中点，求直线PA与平面CEQ所成角的余弦值．

20. 已知数列{an}，a1=2，a2=6，且满足

（1）求证：{an+1-an}为等差数列； （2）令bn=

- ，•设数列{bn}的前

=2（n≥2且n∈N+）．

n项和为Sn，求{S2n-Sn}的最大值．

第3页，共18页

2

21. 已知椭圆C：+y=1左顶点为A，O为原点，M，N是直线x=t上的两个动点，且

MO⊥ON，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点． （1）若t=-1，求△MON的面积的最小值； （2）若E，O，D三点共线，求实数t的值．

32

22. 已知函数f（x）=-x+9x-26x+27．

（1）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）为定值，并求出该定值；

（2）已知对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点，求实数a

的取值范围．

第4页，共18页

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

解：（∁RA）∪（∁RB）=[5，+∞）∪（-∞，3）， 故选：D．

根据补集和并集的定义进行求解即可．

本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键． 2.【答案】C

【解析】

解：由条件可知，所以故选：C．

利用夹角公式进行计算．

==，故

与

， 的夹角为60°．

本题考查了运用平面向量数量积运算求解向量夹角问题，属于基础题． 3.【答案】C

【解析】

解：由S2=3，S4=15，

可得，

则1+q2=5，即q2=4，即q=±2， 则∴S3=故选：C．

根据等比数列的求和公式即可求出．

本题考查了等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题． 4.【答案】C

【解析】

=-1，

3

2）3]，即S3为7或-9， （1-q）=-[1-（±

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22

解：根据题意，双曲线9y-4x=1的标准方程为

-=1，

其焦点在y轴上，且a=，b=， 则其渐近线方程为y=±x； 故选：C．

根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析焦点位置以及a、b的值，由双曲线的渐近线方程分析可得答案．

本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的计算，注意分析双曲线的焦点位置． 5.【答案】C

【解析】

解：根据几何体的三视图知，

该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体， 画出直观图如图所示； 则几何体的体积为 V几何体=V三棱柱+V三棱锥 =×=． 故选：C．

根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体， 结合图中数据即可求出它的体积．

本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目． 6.【答案】A

【解析】

52

解：由zi=（π+3i），得

×2+×××2

，

∴，

则在复平面内对应的点的坐标位于第一象限．

第6页，共18页

故选：A．

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 7.【答案】B

【解析】

2

解：由y=sinxcosx+cosx=sin2x+

=+sin（2x+），

sin（2x+）+

）=-1-sin（2y+

）=0，

由f（x）+f（y）=1+

取x=，可得sin（2y+＜-1，y不存在，故A不为“H函数”；

xxy

由y=lnx+e，且f（x）+f（y）=lnx+e+lny+e=0， x

由于y=lnx+e递增，且x→0，y→-∞；x→+∞，y→+∞，

即有任一个x（x＞0），可得唯一的y，使得f（x）=-f（y），故B为“H函数”；

xxxy

由y=2可得2＞0，2+2=0不成立，故C不为“H函数”； 22222

由y=x-2x，若f（x）+f（y）=x-2x+y-2y=（x-1）+（y-1）-2=0，

可取x=3，可得y无解，故D不为“H函数”． 故选：B．

运用二倍角公式和辅助角公式化简函数y，取x=，可判断A；由函数的单调性和值域，可判断B；

由指数函数的值域即可判断C；运用配方法，可取x=3可判断D．

本题主要考查函数与方程之间的关系，将条件转化为f（x）+f（y）=0是解决本题的关键． 8.【答案】C

【解析】

解：过A作AM⊥BC，M为垂足， ∵AB=

，∠ABC=

，

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∴AM=BM=1， ∴M为BC的中点，

连结BD，∵BC=CD=2，∠BCD=

，

∴△BCD是边长为2的等边三角形， ∴DM⊥BC，DM=

，

∴∠AMD为二面角α-BC-β的平面角，即∠AMD=， ∴∠ADM为AD与β所成的角， 在△AMD中，由余弦定理可得AD=∴AD=AM，故∠ADM=∠AMD=故选：C．

过A作AM⊥BC，M为垂足，可证M为BC的中点，则∠AMD为二面角的平面角，在△AMD中求出∠ADM即可．

本题考查空间中线面位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，是中档题． 9.【答案】B

【解析】

=1，

．

解：五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择． 若选择同一条路的人数超过2人，则他们每人得1分； 若选择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分， ∴P（ξ=1）=P（ξ=0）=1-∴Eξ=1×故选：B． 推导出P（ξ=1）=由此能求出Eξ．

本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

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+

=

， =

．

+=，

++=，P（ξ=0）=1-=，

10.【答案】D

【解析】

解：如图所示，

对于A，△AOC为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，ON=AC为定长，线段NO划过的曲面为圆锥侧面的一部分， 面积为即A正确；

对于B，D在M时，BC取得最小值对于C．∠AMO+∠MAO=90°，正确；

对于D，D在M时，M与O点重合，可得AM⊥底面BCM，此时OM=0．D不在M时，可得OM＜OC+CM=1+

，CO=1，∴|CO|∈[1，

），即正确；

，因此|BC|≥

，正确．

由A可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确； 故选：D．

作出图形，判定A，B，D正确，即可得出结论．如图所示，

对于A，△AOC为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，ON=AC为定长，即A正确；

对于B，D在M时，AO=1，CO=1，∴|CO|∈[1，

]，即正确；

对于D，由A可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确；

本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.【答案】5 2

【解析】

2解：∵（x-

）的展开式的通项公式为Tr+1=

n

•

•x2n-5r，令2n-5r=0，

可得2n=5r，故n的最小值为5，r=2， 此时常数项为故答案为：5；2．

•=2，

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在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n与r的关系，可得n的最小值以及此时常数项．

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 12.【答案】 （0， ]

【解析】

解：∵偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1）， ∴f（x）=f（x+2），

即函数f（x）是周期为2的周期函数， 则f（）=f（-2）=f（-）=f（）=， 若-1≤x≤0，则0≤-x≤1， 则f（-x）=-x=f（x），

即f（x）=x，-1≤x≤0，

由g（x）=f（x）-kx-k=0得f（x）=k（x+1）， 要使函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点 等价为函数f（x）与g（x）=k（x+1）有四个不同的交点，

作出两个函数的图象如图： g（x）过定点A（-1，0），f（3）=1， 则k满足0＜g（3）≤1， 即0＜4k≤1，得0＜k≤， 即实数k的取值范围是（0，]， 故答案为：，（0，]

根据函数奇偶性和条件，判断函数是周期为2的周期函数，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可． 本题主要考查函数与方程的应用，利用条件判断函数的奇偶性以及利用数形结合进行转化是解决本题的关键．

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13.【答案】2 【解析】

解：实数x、y满足x＞y＞0，且log2x+log2y=1，则xy=2， 则+≥2

=2，当且仅当

=，即x=2，y=1时取等号，

故+的最小值是2，

=x-y=故

=

，即x-y=2时取等号 的最大值为，

=

≤

=，当且仅当

故答案为：2，．

先根据对数的运算性质可得xy=2，再根据基本不等式即可求

本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行变形与灵活配凑，是解本题的关键，属于中等题． 14.【答案】45 17

【解析】

解：①百位、十位、个位数字依次构成等差数列：公差d=0时，共有9个：111，……，999．

公差d=1时，共有7个：123，……，7． 公差d=2时，共有5个：135，……，579． 公差d=3时，共有3个：147，258，369． 公差d=4时，共有1个：159．

同理可得：公差d=-1时，共有8个，987，……，321，210． 公差d=-2时，共有6个． 公差d=-3时，共有4个． 公差d=-4时，共有2个． 综上共有45个．

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②百位、十位、个位数字依次构成等比数列：公比q=1时，共有9个：111，……，999．

公比q=2时，共有2个：124，248．公比q=时，共有2个：421，842． 公比q=3时，共有1个：139．公比q=时，共有1个：931． 公比q=时，共有1个：469．公比q=时，共有1个：9． 综上共有：17个． 故答案为：45，17．

利用等差数列与等比数列的定义，通过分类讨论即可得出．

本题考查了等差数列与等比数列的定义，通过分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15.【答案】-2

【解析】

解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得

，

∴∵∴M∴

=（

故答案为：-2．

先合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设

，这样利用向量关系式，求得M

，

，运用数量积公式解得为-2

，然后求得

，

=

，+，

，）•（

， ，）=-2．

=

，

，

本试题考查了向量的坐标运算．也体现了向量的代数化手段的重要性．考查了基本知识的综合运用能力．

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16.【答案】 π

【解析】

解：函数y=sinx+移

cosx=2sin（x+）是由y=sinx-cosx=2sin（x-）向左平

个单位得到的，

cosx=2sin（x+）是由y=sinx-cosx=2sin（x-）向左平移φ

∵函数y=sinx+

（φ∈（0，2π）个单位得到的， ∴φ=

，

．

故答案为：

利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得φ的值．

本题主要考查辅助角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

17.【答案】

【解析】

解：如图所示，

设切点P（x0，y0），（x0，y0＞0）直线AB的方程为：y-y0=k（x-x0）．（k＞0） 联立

x2+2a2k（y0-kx0）x+a2

222

，化为：（b+ak）

-a2b2=0．

-a2b2]=0．

422222

由直线AB与椭圆相切，可得：△=4ak-4（b+ak）•[a

化为：∴2x0=由

+

=b2+a2k2．

，化为：

=1，可得：

=

==

．

，解得x0=

，y0=

．

由直线AB的方程为：y-y0=k（x-x0）．（k＞0）．

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可得AS△OAB=

，B（0，y0-kx0）．

=

=

=

≥a2b2．当且

仅当b=-ak时取等号． 设|PF1|=m，|PF2|=n，m+n=2a． cos∠F1PF2==

2

化为：7mn=8b．

==，

mn=代入化为：∴e==故答案为：

•=， =．

．

=，

如图所示，设切点P（x0，y0），（x0，y0＞0）直线AB的方程为：y-y0=k（x-x0）．（k

222222

＞0）．与椭圆方程联立化为：（b+ak）x+2ak（y0-kx0）x+a

-a2b2=0．由直线AB与椭圆相切，可得：△=0．化为：与系数的关系可得：

=

．由

+

=1，可得：

=

=b2+a2k2．利用根=

，解，B（0，

得x0，y0．由直线AB的方程为：y-y0=k（x-x0）．（k＞0）．可得Ay0-kx0）．S△OAB=

=

=

=

≥a2b2．当且仅当b=-ak时取等号．设|PF1|=m，|PF2|=n，m+n=2a．利用余弦定理进而得出．

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆的相切、三角形面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

cosA= ，A∈π）（1）在△ABC中，（0，， 18.【答案】解：

所以sinA= = ． 同理可得，sin∠ACB= ．

所以cosB=cos[π-（A+∠ACB）]=-cos（A+∠ACB）

第14页，共18页

=sinAsin∠ACB-cosAcos∠ACB =

；

（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB= sin∠ACB=又AD=3DB，所以DB= ．

．

在△BCD中，由余弦定理得，CD= = =9 ．

【解析】

（1）在△ABC中，求出sinA=

=．，sin∠ACB=

．

可得cosB=-cos（A+∠ACB）=sinAsin∠ACB-cosAcosB； （2）在△ABC中，由正弦定理得，AB=在△BCD中，由余弦定理得，CD=

本题考查了正余弦定理、三角恒等变形，属于中档题．

E分别是PA，PD的中点，（1）证明：连接ME，因为点M，所以ME= AD，19.【答案】

ME∥AD，

所以BC∥ME，BC=ME，所以四边形BCEM为平行四边形， 所以CE∥BM．又因为BM⊂平面BMD，CE⊄平面BMD， 所以CE∥平面BMD．……………………（6分）

sin∠ACB．

．

=（-1，（2）如图，以A为坐标原点建立空间坐标系O-xyz，则又 =（- ，-1，1）， 0，1），

=（x，y，z），列方程组 设平面CEQ的法向量为 ，

=（2，1，2）， 可得： 其中一个法向量为

第15页，共18页

设直线PA与平面CEQ所成角大小为θ，于是sinθ= = ，

进而求得cosθ= …………………………（15分）

【解析】

（1）连接ME，证明ME∥AD，BC∥ME，推出CE∥BM．然后证明CE∥平面BMD． （2）以A为坐标原点建立空间坐标系O-xyz，求出平面CEQ的法向量，利用空间向量的数量积，求解直线PA与平面CEQ所成角的余弦函数值即可． 本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查转化思想以及计算能力．

20.【答案】解：（1）证明：由题意得an+1+an-1=2an+2，则（an+1-an）-（an-an-1）=2，

所以{an+1-an}是首项为4，公差为2的等差数列； （2）n≥2，an=（an-an-1）+…+（a2-a1）+a1 =4（n-1）+

×2+2=n（n+1）．

当n=1，a1=2满足上式．

则an=n（n+1）． bn= - = - ∴Sn=10（1+ +…+ ）- ，

∴S2n=10（1+ +…+ + + +…+ ）- ， 设Mn=S2n-Sn=10（ + +…+ ）- ， ∴Mn+1=10（ + +…+ + + ）-∴Mn+1-Mn=10（ + - ）- =10（ - ）- = - ，

∴当n=1时，Mn+1-Mn= - ＞0，即M1＜M2，当n≥2时，Mn+1-Mn＜0， 即M2＞M3＞M4＞…，∴（Mn）max=M2=10×（ + ）-1= ， 则{S2n-Sn}的最大值为S4-S2= ． 【解析】

，

（1）由已知等式结合等差数列的定义可证；

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（2）由累加法求出an，从而求出bn，进一步求出Sn，换元作差求出结果． 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用累加法和作差法是解决本题的关键．

21.【答案】解：（1）由勾股定理、三角形面积可得：

|MN|2=|OM|2+|ON|2≥2|OM|•|ON|，|MN|=|OM|•|ON|， ∴|MN|≥2．

S△OMN= |MN|•1≥ =1， 即△MON的面积的最小值为1． （2）设E（ cosθ，sinθ）， 则AE方程为：y=则M为 ，

（x+ ），

，同理N为 ， ，

∵OM⊥ON，

• =t2- =0，得t= 2． ∴

【解析】

222

（1）由勾股定理、三角形面积可得：|MN|=|OM|+|ON|≥2|OM|•|ON|，

|MN|=|OM|•|ON|，|MN|≥2．再利用S△OMN=|MN|•1，即可得出． （2）设E（

cosθ，sinθ），可得AE方程为：y=，同理N为

性质即可得出．

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、椭圆的参数方程、向量垂直与数量积的关系、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22.【答案】（1）证明：∵f（x）=-x3+9x2-26x+27，∴f′（x）=-3x2+18x-26，

由题意得，x1+x2=6，

则f（x1）+f（x2）=

=

=

= -102 =-6（36-3x1x2）+9（36-2x1x2）-102 =-216+18x1x2+324-18x1x2-102 =6；

第17页，共18页

（x+），可得M为

，根据OM⊥ON，利用数量积运算

（2）解：∵f″（x）=-6x+18=-6（x-3），

∴函数f（x）在（0，3）的图象为下凸，在（3，+∞）的图象为上凸， 记P（3，f（3）），求得P处f（x）的切线为y=x，再记Q（0，a）， 由f′（x）=0，求得的极大值点为M（ ，

），

①当a≥ 时，直线y=kx+a与曲线y=f（x）显然只有唯一公共点；

②当3≤a＜ 时，直线QM斜率为正，且与曲线y=f（x）有三个公共点，舍去；

③当0＜a＜3时，直线QP斜率为正，且与曲线y=f（x）有三个公共点，舍去；

④当a≤0时，若k∈（0，kPQ），P在直线上方，直线y=kx+a与曲线y=f（x）的上凸部分有唯一公共点，与下凸部分不相交；

若k=kPQ，直线y=kx+a与曲线y=f（x）交于P点，与上凸部分和下凸部分均不相交； 若k∈（kPQ，+∞），P在直线下方，直线y=kx+a与曲线y=f（x）的下凸部分有唯一公共点，与上凸部分不相交，此种情况成立．

综上，a的取值范围为（-∞，0]∪[3+ ， ）．

【解析】

（1）求出原函数的导函数，结合在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等及根与系数的关系可得x1+x2=6，从而求得f（x1）+f（x2）为定值6；

（2）由f″（x）=-6（x-3），可知函数f（x）在（0，3）的图象为下凸，在（3，+∞）的图象为上凸，求得函数的极大值点为M（

），再由直线y=kx+a过

点（0，a），然后对a分类讨论求使直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点的实数a的取值范围．

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查转化与化归思想方法，考查推理论证能力，是中档题．

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