2017年高考数学(理)原创押题预测卷02(新课标Ⅰ卷)(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合 题目要求的）．

1．已知i为虚数单位，z是复数z的共轭复数，若zcos2π2π，则z在复平面内对应的点位于 isin33（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 1．【答案】C

2．已知集合A{x|log2x2}，B{x|()（A）ABA （B）(2．【答案】C 学科*网

R12x1}，则下列结论成立的是（ ） 16R

A)BA （C）A(B)A （D）(RA)(RB)A

1 }{x|x4}，故A(RB)A，故选C．

163．已知定义在R上的函数f(x)周期为T（常数），则命题“xR，f(x)f(xT)”的否定是（ ）

【解析】A{x|log2x2}{x|x4}，B{x|()x12（A）xR，f(x)f(xT) （B）xR，f(x)f(xT) （C）xR，f(x)f(xT) （D）xR，f(x)f(xT) 3．【答案】A

【解析】命题“xR，f(x)f(xT)” 的否定是“xR，f(x)f(xT)”，故选A． 4． 如图是某几何体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）

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（A）8π （B）12π （C）16π （D）24π 4．【答案】D

5．下面程序框图中，若输入互不相等的三个正实数a,b,c（abc0），要求判断ABC的形状，则空白的判断框应填入（ ）

开始 输入a,b,c ab? 是 否 ab 否 ac? 是 ac 否 是 输出锐角三角形 输出不为锐角三角形 结束 222222222 222（A）abc? （B）acb? （C）bca? （D）bac? 5．【答案】C

【解析】由程序框图可知，框图中前两个判断框为选出a,b,c中最长边a，可知，当输出“锐角三角形”时，

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需满足bca，故选C．

222x2y26．已知双曲线221（a0,b0）的一个焦点为F，以原点为圆心，OF为半径的圆与双曲线交

ab于A,B,C,D四点，若四边形ABCD恰为正方形，且周长为6b，则双曲线的离心率为（ ）

（A）

71117 （B）3 （C） （D） 3336．【答案】B

【解析】由已知正方形边长为

3b3b3b，则正方形与双曲线在第一象限内的交点坐标为(,)，故

442(3b23b2)()c2，由b2c2a2得c29a2，所以所求离心率为3，故选B． 440xπ7．已知不等式组ysinxa所对应的平面区域面积为22π，则3x2y1的最大值为（ ）

y0（A）53π6 （B）3π7 （C）6 （D）7 67．【答案】A 学科*网

8． “石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝

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鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小千和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小千和大年比赛至第四局小千胜出的概率是（ ） （A）

1228 （B） （C） （D）

272781818．【答案】B 学科*网

1，当小千和大年比赛至第四局小千胜出，则在前三局中，小千必31221222122赢两局，概率为C3()()，比赛至第四局时小千胜，则概率为C3()()()，故选B．

3333327169．数列{an}满足2nan1(n1)an，其前n项和为Sn，若a1，则使得2Snan最小的n值为（ ）

25【解析】由题意知，每个人胜的概率为

（A）8 （B）9 （C）10 （D）11 9．【答案】D

【解析】由2nan1(n1)an得

aan11n1aa123n，故23nn1()，即

an2na1a2an1212n1112131n11nn1n，所以n()S1()2()3()(n1)()n()，则n2n1222222111111Sn1()22()33()4(n1)()nn()n1，两式相减，化简得222222116116n1nSn2()n1n()n，故不等式2Snan即为()n1n()n()，解得n10，故

22522526使得2Snan最小的n值为11，故选D．

5ana110．等边三角形ABC中，若APABAC，则当PBPC取得最小值时，（ ）

（A）

112 （B） （C） （D）1 42310．【答案】A

11．现要给一长、宽、高分别为3、2、1的长方体工艺品各面涂色，有红、橙、黄、蓝、绿五种颜色的涂

料可供选择，要求相邻的面不能涂相同的颜色，且橙色跟黄色二选一，红色要涂两个面，则不同的涂色方案种数有（ ）

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（A）48种 （B）72种 （C）96种 （D）108种 11．【答案】C

【解析】按要求，能涂相同颜色的面只能是长方体中相对的面，因为橙色、黄色二选一，且红色必用，所

以剩余的蓝色、绿色可以二选一，也可两种颜色都选用，若蓝色、绿色二选一，则不同的涂色方案种数有C2C2A324种，若蓝色、绿色均选用，则不同的涂色方案种数有C3C2C2A372，故共有

1131113247296种方案，故选C．学科*网

lnx12．已知定义在(0,)上的函数f(x)满足f'(x)2f(x)e2x12，且f(1)1，则不等式

4e2f(lnx)f(3)的解集为（ ）

（A）(1,e) （B）(,e) （C）(0,e) （D）(e,) 12．【答案】A

3333第II卷

本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题,考生根据要求作答．

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）

13．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，向量m(cosA,则△ABC为 三角形． 13．【答案】等腰或直角

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121cosC)，n(c,a)，且m//n，2

【解析】由m//n得

1111acosAccosC，由正弦定理可得sinAcosAsinCcosC，则2222sin2Asin2C，所以2A2C或2A2Cπ，故△ABC为等腰或直角三角形．

22334455201714． 分别计算3151，35，35，35，35，…，并根据计算的结果，猜想3末位数字为 ． 14．【答案】8

52017的

15．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G,H分别为棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中点，则GH与

平面EFH所成角的余弦值为 ．

15．【答案】

310 10【解析】连接B1E，HC1，平面EFH即平面B1C1HE．在正方体AC1中，B1C1平面CDD1C1，故平

面B1C1HE平面CDD1C1，过点G作GMC1H于M，则GM平面B1C1HE，则C1HG为GH与平面EFH所成的角，设正方体棱长为2，则GH2，GC11，HC15，

∴cosC1HG521252310． 10理科数学 第6页（共17页）

A

D C

B E H

A1

B1

F

M G

D1

C1

π，其图象上一条对称轴方程为316．已知函数f(x)2sin(x)1（0,||π）的一个零点是xπ（填写所有正确说法的序号） x，则当取最小值时，下列说法正确的是 ．

ππ①当x[,]时，函数f(x)单调递增；

36π5π②当x[,]时，函数f(x)单调递减；

637π③函数f(x)的图象关于点(,1)对称；

124π④函数f(x)的图象关于直线x对称．

316．【答案】①③ 学科*网

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）

已知等比数列{an}的第2项、第5项分别为二项式(2x1)展开式的第5项、第2项的系数． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

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5

（Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn，若存在实数，使

2an11 恒成立，求实数的取值范围．

anSn

18．（本小题满分12分）

下图为某市2017年2月28天的日空气质量指数折线图．

空气质量指数（AQI）

300 250 200 150 100 50 002-01 02-03 02-05 02-07 02-09 02-11 02-13 02-15 02-17 02-19 02-21 02-23 02-25 02-27 日期

由中国空气质量在线监测分析平台提供的空气质量指数标准如下：

(200,300] (150,200] 空气质量指数 (0,50] (50,100] (100,150] 300以上 空气质量等级 1级优 2级良 3级轻度污染 4级中度污染 5级重度污染 6级严重污染 （Ⅰ）请根据所给的折线图补全下方的频率分布直方图（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算该市2月份空气质量指数监测数据的平均数（保留小数点后一位）；

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频率 组距5700 1700 50 100 150 200 250 0空气质量指数

（Ⅱ）在该月份中任取两天，求空气质量至少有一天为优或良的概率；

2（Ⅲ）如果该市对环境进行治理，治理后经统计，每天的空气质量指数近似满足X~N(75,55)，则治理后的空气质量指数均值大约下降了多少？

（Ⅱ）该月份该市空气质量为优的有2天，空气质量为良的有16天，则任取两天至少有一天空气质量

2C103737为优或良的概率为P12，∴所求概率为．………………9分

42C2842（Ⅲ）由已知，该市对环境进行治理，空气质量指数的均值为E(X)75，92.97517.9，故该市治理后的空气质量指数下降了17．9． …………………………12分 学科*网 19．（本小题满分12分）

如图1，在高为2的梯形ABCD中，AB//CD，AB2，CD5，过A、B分别作AECD，

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BFCD，垂足分别为E、F．已知DE1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADEBCF，如图2．

（Ⅰ）若AFBD，证明：△BDE为直角三角形；

（Ⅱ）若DE//CF，CD3，求平面ADC与平面ABFE所成角的余弦值．

C

D E F C

D E

F B

A 图1

B

A 图2

（2）法1：延长CD，由DE//CF，知E为FG的中点，又CD3，CF2，FE交于点G，DE1，易得CFE60，则DEG60．………………6分

连接AG，则AG为平面ADC与平面ABFE的交线，过点D作DMGE于点M，易得DM平面ABFE，过点M作MNAG于点N，连接DN，易知DNAG，则DNM为平面ADC与平面ABFE所成角的平面角．………………8分

∵O为AF中点，∴OE//AG，由AFBE得AFAG，

MNGM， AFGF13又在Rt△DME中，ME，∴GM，

223GM323AF222∴MN，又DMDEsin60， GF4421522∴在Rt△DMN中，DNDMMN，………………11分

22∴MN//AF，故在△GAF中，∴cosDNMMN1515，即所求二面角的余弦值为． …………………………12分 5DN5C

D G N M E O F

B

A

法2：过点E作EGEF交DC于点G，由题，以EA，EF，EG所在直线分别为x,y,z轴建立空

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间直角坐标系，则由已知得A(2,0,0)，C(0,1,3)，D(0,,∴AC(2,1,3)，AD(2,,13)， 2213)，………………7分 222xy3z0ACm0设平面ACD的一个法向量为m(x,y,z)，则，即，令z3，13z02xyADm022则x1,y1，∴m(1,1,3)，………………9分

又平面ABFE的一个法向量为n(0,0,1)，………………10分 ∴cosm,nmn315，………………11分 |m||n|551由图可知所求二面角为锐角，

故平面ADC与平面ABFE所成角的余弦值为

15．……………………12分 5C z G D F y

E A x 20．（本小题满分12分）

B

x2y21的右焦点为F，不垂直x轴且不过F点的直线l与椭圆C相交于A,B两点．已知椭圆C： 2（Ⅰ）若直线l经过点P(2,0)，则直线FA、FB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，

请说明理由；

（Ⅱ）如果FAFB，原点到直线l的距离为d，求d的取值范围．

又椭圆右焦点坐标为(1,0)，

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故直线FA、FB的斜率之和为

y1yk(x12)k(x22)2kx1x23k(x1x2)4k，………………4分 2x11x21x11x21x1x2(x1x2)18k28k228k2224k3又x1x2，x1x2，则2kx1x23k(x1x2)4k2k4k

12k212k212k212k216k34k24k34k8k3， 0（定值）212k∴

y1y20，即直线FA、FB的斜率之和为定值0． …………6分 x11x21理科数学 第12页（共17页）

∴d4， 343故所求d的取值范围为(0,)． ……………………12分 学科*网 21．（本小题满分12分）

12x，aR． 22（Ⅰ）当a[1,e]时，讨论函数f(x)的零点的个数；

已知函数f(x)alnx（Ⅱ）令g(x)tx4x1，t[2,2]，当a[1,e]时，证明：对任意的x1[1,e]，存在x2[0,1]，使得f(x1)g(x2)．

2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a[1,e]时，f(x)maxf(a)11a(lna1)0，又f(1)，221111f(e)ae(ae)[(1e),0]，………………7分

22221111121当(ae)时，函数f(x)alnxx（x[1,e]）的值域为[,a(lna1)][,0]；

2222221112当(ae)时，函数f(x)alnxx（x[1,e]）的值域为

2221111[(ae),a(lna1)][(1e),a(lna1)][1,0]； 2222由上可知，对于任意的x1[1,e]，f(x1)[1,0]．………………9分

2242对于函数g(x)，g(x)tx4x1t(x)1，x[0,1]，

tt理科数学 第13页（共17页）

20，g(x)在区间[0,1]上单调递减， t当t0时，g(x)4x1，g(x)在区间[0,1]上单调递减，

2当0t2时，1，g(x)在区间[0,1]上单调递减，

t∴当t[2,2]时，g(x)ming(1)t3[5,1]，g(x)maxg(0)1， 可知，当x2[0,1]时，g(x2)[1,0][t3,1]，………………11分

故对任意的x1[1,e]，存在x2[0,1]，使得f(x1)g(x2)．…………………………12分 学科*网

当2t0时，

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x1tcos已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立

ytsin极坐标系，曲线C的极坐标方程为2．

（Ⅰ）证明：不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共点；

（Ⅱ）以为参数，求直线l与曲线C相交所得弦AB的中点轨迹的参数方程，并判断该轨迹的曲线类

型．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)|2xa||x1|，aR．

（Ⅰ）若不等式f(x)2|x1|恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）当a1时，直线ym与函数f(x)的图象围成三角形，求m的最大值及此时围成的三角形面

积．

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