2022年四川省高考数学试卷(文科)

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．〔5分〕设i为虚数单位，那么复数〔1+i〕2=〔 〕 A．0

B．2

C．2i

D．2+2i

2．〔5分〕设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，那么集合A∩Z中元素的个数是〔 〕 A．6

B．5

C．4

D．3

3．〔5分〕抛物线y2=4x的焦点坐标是〔 〕 A．〔0，2〕 B．〔0，1〕 C．〔2，0〕 D．〔1，0〕 4．〔5分〕为了得到函数y=sin〔x+有的点〔 〕 A．向左平行移动C．向上平行移动

个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 D．向下平行移动

个单位长度 个单位长度

〕的图象，只需把函数y=sinx的图象上所

5．〔5分〕设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，那么p是q的〔 〕

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

6．〔5分〕a为函数f〔x〕=x3﹣12x的极小值点，那么a=〔 〕 A．﹣4 B．﹣2 C．4

D．2

7．〔5分〕某公司为鼓励创新，方案逐年加大研发资金投入．假设该公司2022年全年投入研发资金130万元，在此根底上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，那么该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是〔 〕 〔参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30〕 A．2022年 B．2022年 C．2022年 D．2021年

8．〔5分〕秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州〔现四川省安岳县〕人，他在所著的 数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如下列图的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，假设输

入n，x的值分别为3，2，那么输出v的值为〔 〕 A．35 B．20 C．18 D．9 9．〔5分〕正三角形ABC的边长为2=A．

，那么| B．

，平面ABC内的动点P，M满足|

|=1，

|2的最大值是〔 〕 C．

D．

10．〔5分〕设直线l1，l2分别是函数f〔x〕=图象上点P1，P2处

的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，那么△PAB的面积的取值范围是〔 〕

A．〔0，1〕 B．〔0，2〕 C．〔0，+∞〕 D．〔1，+∞〕 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分. 11．〔5分〕sin750°=．

12．〔5分〕某三棱锥的三视图如下列图，那么该三棱锥的体积是．

13．〔5分〕从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，那么logab为整数的概率是．

14．〔5分〕假设函数f〔x〕是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f〔x〕=4x，那么f〔﹣〕+f〔2〕=．

15．〔5分〕在平面直角坐标系中，当P〔x，y〕不是原点时，定义P的“伴随点〞为P′〔命题：

•①假设点A的“伴随点〞是点A′，那么点A′的“伴随点〞是点A． ‚②单元圆上的“伴随点〞还在单位圆上．

ƒ③假设两点关于x轴对称，那么他们的“伴随点〞关于y轴对称 ④假设三点在同一条直线上，那么他们的“伴随点〞一定共线． 其中的真命题是．

三、解答题〔共6小题，总分值75分〕

16．〔12分〕我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对

，

〕，当P是原点时，定义“伴随点〞为它自身，现有以下

居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量〔单位：吨〕．将数据按照[0，0.5〕，[0.5，1〕，…，[4，4.5]分成9组，制成了如下列图的频率分布直方图． 〔Ⅰ〕求直方图中a的值；

〔Ⅱ〕设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

〔Ⅲ〕估计居民月均水量的中位数．

17．〔12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．

〔I〕在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由； 〔II〕证明：平面PAB⊥平面PBD．

18．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且=

．

+

〔Ⅰ〕证明：sinAsinB=sinC；

〔Ⅱ〕假设b2+c2﹣a2=bc，求tanB．

19．〔12分〕数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N+

〔Ⅰ〕假设a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式； 〔Ⅱ〕设双曲线x2﹣

=1的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+…+en2．

20．〔13分〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的一个焦点与短轴的两个端点是正，〕在椭圆E上．

三角形的三个顶点，点P〔〔Ⅰ〕求椭圆E的方程；

〔Ⅱ〕设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳

21．〔14分〕设函数f〔x〕=ax2﹣a﹣ln x，g〔x〕=﹣为自然对数的底数． 〔1〕讨论f〔x〕的单调性；

〔2〕证明：当x＞1时，g〔x〕＞0；

，其中a∈R，e=2.718…

〔3〕确定a的所有可能取值，使得f〔x〕＞g〔x〕在区间〔1，+∞〕内恒成立．

2022年四川省高考数学试卷〔文科〕

参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．〔5分〕设i为虚数单位，那么复数〔1+i〕2=〔 〕 A．0

B．2

C．2i

D．2+2i

【分析】利用复数的运算法那么即可得出． 【解答】解：〔1+i〕2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i， 应选：C．

【点评】此题考查了复数的运算法那么，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．

2．〔5分〕设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，那么集合A∩Z中元素的个数是〔 〕 A．6

B．5

C．4

D．3

【分析】利用交集的运算性质即可得出．

【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集， 那么集合A∩Z={1，2，3，4，5}． ∴集合A∩Z中元素的个数是5． 应选：B．

【点评】此题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于根底题． 3．〔5分〕抛物线y2=4x的焦点坐标是〔 〕 A．〔0，2〕 B．〔0，1〕 C．〔2，0〕 D．〔1，0〕

【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案． 【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是〔1，0〕，

应选：D．

【点评】此题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于根底题． 4．〔5分〕为了得到函数y=sin〔x+有的点〔 〕 A．向左平行移动C．向上平行移动

个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 D．向下平行移动

个单位长度 个单位长度

〕的图象，只需把函数y=sinx的图象上所

【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原那么，结合平移前后函数的解析式，可得答案．

【解答】解：由中平移前函数解析式为y=sinx， 平移后函数解析式为：y=sin〔x+可得平移量为向左平行移动应选：A．

【点评】此题考查的知识点是函数图象的平移变换法那么，熟练掌握图象平移“左加右减“的原那么，是解答的关键．

5．〔5分〕设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，那么p是q的〔 〕

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

〕，

个单位长度，

【分析】由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立，例如取x=3，y=． 【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=． ∴p是q的充分不必要条件． 应选：A．

【点评】此题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．

6．〔5分〕a为函数f〔x〕=x3﹣12x的极小值点，那么a=〔 〕 A．﹣4 B．﹣2 C．4

D．2

【分析】可求导数得到f′〔x〕=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f〔x〕的

极小值点，从而得出a的值． 【解答】解：f′〔x〕=3x2﹣12；

∴x＜﹣2时，f′〔x〕＞0，﹣2＜x＜2时，f′〔x〕＜0，x＞2时，f′〔x〕＞0； ∴x=2是f〔x〕的极小值点； 又a为f〔x〕的极小值点； ∴a=2． 应选：D．

【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．

7．〔5分〕某公司为鼓励创新，方案逐年加大研发资金投入．假设该公司2022年全年投入研发资金130万元，在此根底上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，那么该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是〔 〕 〔参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30〕 A．2022年 B．2022年 C．2022年 D．2021年

【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×〔1+12%〕n﹣2022＞200，两边取对数即可得出．

【解答】解：设第n年开始超过200万元， 那么130×〔1+12%〕n﹣2022＞200， 化为：〔n﹣2022〕lg1.12＞lg2﹣lg1.3， n﹣2022＞取n=2022．

因此开始超过200万元的年份是2022年． 应选：B．

【点评】此题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．〔5分〕秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州〔现四川省安岳县〕人，他在所著的 数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如下列图的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，假设输入n，x的值分别为3，2，那么输出v的值为〔 〕

=3.8．

A．35 B．20 C．18 D．9

【分析】根据的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：∵输入的x=2，n=3，

故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1， 满足进行循环的条件，v=9，i=0， 满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1 不满足进行循环的条件， 故输出的v值为： 应选：C．

【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． 9．〔5分〕正三角形ABC的边长为2=A．

，那么| B．

，平面ABC内的动点P，M满足|

|=1，

|2的最大值是〔 〕 C．

D．

【分析】如下列图，建立直角坐标系．B〔0，0〕，CP的轨迹方程为：=

，可得M

=1，令x=

．A．点

+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π〕．又，代入|

|2=

+3sin

，

即可得出．

【解答】解：如下列图，建立直角坐标系． B〔0，0〕，CA

． |=1，

=1，

．

∵M满足|

∴点P的轨迹方程为：令x=又

=

+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π〕． ，那么M

，

∴|∴|

|2=

|2的最大值是

．

+=+3sin≤．

也可以以点A为坐标原点建立坐标系．

解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+=． 应选：B．

【点评】此题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．〔5分〕设直线l1，l2分别是函数f〔x〕=

图象上点P1，P2处

的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，那么△PAB的面积的取值范围是〔 〕

A．〔0，1〕 B．〔0，2〕 C．〔0，+∞〕 D．〔1，+∞〕

【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用根本不等式求得△PAB的面积的取值范围． 【解答】解：设P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕〔0＜x1＜1＜x2〕， 当0＜x＜1时，f′〔x〕=∴l1的斜率

，当x＞1时，f′〔x〕=，

，

，l2的斜率

∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0， ∴直线l1：

，即x1x2=1．

，l2：

．

取x=0分别得到A〔0，1﹣lnx1〕，B〔0，﹣1+lnx2〕，

|AB|=|1﹣lnx1﹣〔﹣1+lnx2〕|=|2﹣〔lnx1+lnx2〕|=|2﹣lnx1x2|=2． 联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=

，

∴

|AB|•|xP|==．

∵函数y=x+在〔0，1〕上为减函数，且0＜x1＜1， ∴

，那么

，

∴．

∴△PAB的面积的取值范围是〔0，1〕． 应选：A．

【点评】此题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用根本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题． 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分. 11．〔5分〕sin750°=．

【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案． 【解答】解：sin750°=sin〔2×360°+30°〕=sin30°=， 故答案为：．

【点评】此题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于根底题．

12．〔5分〕某三棱锥的三视图如下列图，那么该三棱锥的体积是

．

【分析】几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，棱锥的高为1，代入体积公式计算即可．

【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S=

=

，棱锥的高为h=1，

=

．

∴棱锥的体积V=Sh=故答案为：

．

【点评】此题考查了棱锥的三视图和体积计算，是根底题．

13．〔5分〕从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，那么logab

为整数的概率是．

【分析】由条件先求出根本领件总数，再利用列举法求出logab为整数满足的根本领件个数，由此能求出logab为整数的概率．

【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b， 根本领件总数n=

=12，

logab为整数满足的根本领件个数为〔2，8〕，〔3，9〕，共2个， ∴logab为整数的概率p=故答案为：．

【点评】此题考查概率的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

14．〔5分〕假设函数f〔x〕是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f〔x〕=4x，那么f〔﹣〕+f〔2〕= ﹣2 ．

【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可．

【解答】解：∵函数f〔x〕是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f〔x〕=4x，

∴f〔2〕=f〔0〕=0，

f〔﹣〕=f〔﹣+2〕=f〔﹣〕=﹣f〔〕=﹣那么f〔﹣〕+f〔2〕=﹣2+0=﹣2， 故答案为：﹣2．

【点评】此题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决此题的关键．

15．〔5分〕在平面直角坐标系中，当P〔x，y〕不是原点时，定义P的“伴随点〞为P′〔命题：

•①假设点A的“伴随点〞是点A′，那么点A′的“伴随点〞是点A．

，

〕，当P是原点时，定义“伴随点〞为它自身，现有以下

=﹣

=﹣2，

．

‚②单元圆上的“伴随点〞还在单位圆上．

ƒ③假设两点关于x轴对称，那么他们的“伴随点〞关于y轴对称 ④假设三点在同一条直线上，那么他们的“伴随点〞一定共线． 其中的真命题是②③．

【分析】根据“伴随点〞的定义，分别进行判断即可，对应不成立的命题，利用特殊值法进行排除即可．

【解答】解：①设A〔0，1〕，那么A的“伴随点〞为A′〔1，0〕， 而A′〔1，0〕的“伴随点〞为〔0，﹣1〕，不是A，故①错误， ②假设点在单位圆上，那么x2+y2=1，

即P〔x，y〕不是原点时，定义P的“伴随点〞为P〔y，﹣x〕， 满足y2+〔﹣x〕2=1，即P′也在单位圆上，故②正确，

③假设两点关于x轴对称，设P〔x，y〕，对称点为Q〔x，﹣y〕， 那么Q〔x，﹣y〕的“伴随点〞为Q′〔﹣

，

〕，

那么Q′〔﹣确，

，〕与P′〔，〕关于y轴对称，故③正

④∵〔﹣1，1〕，〔0，1〕，〔1，1〕三点在直线y=1上， ∴〔﹣1，1〕的“伴随点〞为〔

，

〕，即〔，〕，

，﹣

〕，即〔，

〔0，1〕的“伴随点〞为〔1，0〕，〔1，1的“伴随点〞为〔﹣〕，

那么〔，〕，〔1，0〕，〔，﹣〕三点不在同一直线上，故④错误， 故答案为：②③

【点评】此题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点〞的定义是解决此题的关键．考查学生的推理能力．

三、解答题〔共6小题，总分值75分〕

16．〔12分〕我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量

〔单位：吨〕．将数据按照[0，0.5〕，[0.5，1〕，…，[4，4.5]分成9组，制成了如下列图的频率分布直方图． 〔Ⅰ〕求直方图中a的值；

〔Ⅱ〕设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

〔Ⅲ〕估计居民月均水量的中位数．

【分析】〔I〕先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；

〔II〕根据中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．

〔Ⅲ〕根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．

【解答】解：〔I〕∵1=〔0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04〕×0.5， 整理可得：2=1.4+2a， ∴解得：a=0.3．

〔II〕估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下： 由中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为〔0.12+0.08+0.04〕×0.5=0.12，

又样本容量为30万，

那么样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万． 〔Ⅲ〕根据频率分布直方图，得；

0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5， 0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，

∴中位数应在〔2，2.5]组内，设出未知数x，

令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5， 解得x=0.04；

∴中位数是2+0.04=2.04．

【点评】此题用样本估计总体，是研究统计问题的一个根本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×

，各个矩形面积之和等于1，能根据直方

图求众数和中位数，属于常规题型．

17．〔12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．

〔I〕在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由； 〔II〕证明：平面PAB⊥平面PBD．

【分析】〔I〕M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，那么ME∥PA，证明平面CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB； 〔II〕证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD． 【解答】证明：〔I〕M为PD的中点，直线CM∥平面PAB． 取AD的中点E，连接CM，ME，CE，那么ME∥PA， ∵ME⊄平面PAB，PA⊂平面PAB， ∴ME∥平面PAB． ∵AD∥BC，BC=AE， ∴ABCE是平行四边形， ∴CE∥AB．

∵CE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴CE∥平面PAB． ∵ME∩CE=E，

∴平面CME∥平面PAB， ∵CM⊂平面CME， ∴CM∥平面PAB

假设M为AD的中点，连接CM，

由四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD． 可得四边形ABCM为平行四边形，即有CM∥AB， CM⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴CM∥平面PAB；

〔II〕∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交， ∴PA⊥平面ABCD， ∵BD⊂平面ABCD，

∴PA⊥BD，

由〔I〕及BC=CD=AD，可得∠BAD=∠BDA=45°， ∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB， ∵PA∩AB=A， ∴BD⊥平面PAB， ∵BD⊂平面PBD， ∴平面PAB⊥平面PBD．

【点评】此题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．

18．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且=

．

+

〔Ⅰ〕证明：sinAsinB=sinC；

〔Ⅱ〕假设b2+c2﹣a2=bc，求tanB．

【分析】〔Ⅰ〕将等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．

〔Ⅱ〕由余弦定理求出A的余弦函数值，利用〔Ⅰ〕的条件，求解B的正切函数值即可．

【解答】〔Ⅰ〕证明：在△ABC中，∵∴由正弦定理得：∴

∵sin〔A+B〕=sinC．

∴整理可得：sinAsinB=sinC，

〔Ⅱ〕解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=． sinA=，

+tanB=4．

==

=1，

=， =

， ，

+

=

，

【点评】此题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题． 19．〔12分〕数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N+

〔Ⅰ〕假设a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式； 〔Ⅱ〕设双曲线x2﹣

=1的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+…+en2．

【分析】〔Ⅰ〕根据题意，由数列的递推公式可得a2与a3的值，又由a2，a3，a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+〔a2+a3〕，代入a2与a3的值可得q2=2q，解可得q的值，进而可得Sn+1=2Sn+1，进而可得Sn=2Sn﹣1+1，将两式相减可得an=2an﹣1，即可得数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；

〔Ⅱ〕根据题意Sn+1=qSn+1，同理有Sn=qSn﹣1+1，将两式相减可得an=qan﹣1，分析可得an=qn﹣1；又由双曲线x2﹣=2，

解可得a2的值，由an=qn﹣1可得q的值，进而可得数列{an}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+3n﹣1，运用分组求和法计算可得答案． 【解答】解：〔Ⅰ〕根据题意，数列{an}的首项为1，即a1=1， 又由Sn+1=qSn+1，那么S2=qa1+1，那么a2=q， 又有S3=qS2+1，那么有a3=q2，

假设a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+〔a2+a3〕， 那么可得q2=2q，〔q＞0〕， 解可得q=2，

那么有Sn+1=2Sn+1，① 进而有Sn=2Sn﹣1+1，② ①﹣②可得an=2an﹣1，

那么数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列， 那么an=1×2n﹣1=2n﹣1；

=1的离心率为en，且e2=2，分析可得e2=

〔Ⅱ〕根据题意，有Sn+1=qSn+1，③ 同理可得Sn=qSn﹣1+1，④ ③﹣④可得：an=qan﹣1， 又由q＞0，

那么数列{an}是以1为首项，公比为q的等比数列，那么an=1×qn﹣1=qn﹣1； 假设e2=2，那么e2=解可得a2=那么a2=q=

， ，即q=

， 〕n﹣1，

=2，

an=1×qn﹣1=qn﹣1=〔

那么en2=1+an2=1+3n﹣1，

故e12+e22+…+en2=n+〔1+3+32+…+3n﹣1〕=n+

．

【点评】此题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件． 20．〔13分〕椭圆E：

+

=1〔a＞b＞0〕的一个焦点与短轴的两个端点是正，〕在椭圆E上．

三角形的三个顶点，点P〔〔Ⅰ〕求椭圆E的方程；

〔Ⅱ〕设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳

【分析】〔Ⅰ〕由题意可得a=2b，再把点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；

〔Ⅱ〕设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把︳MA︳•︳MB︳化为〔|AB|〕2，再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案． 【解答】〔Ⅰ〕解：如图，

由题意可得

，解得a2=4，b2=1，

∴椭圆E的方程为；

，

〔Ⅱ〕证明：设AB所在直线方程为y=

联立，得x2+2mx+2m2﹣2=0．

∴△=4m2﹣4〔2m2﹣2〕=8﹣4m2＞0，即设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，M〔x0，y0〕， 那么|AB|=∴x0=﹣m，

，即M〔

，

〕，

，

=

．

．

那么OM所在直线方程为y=﹣

联立，得或．

∴C〔﹣，〕，D〔，﹣〕．

那么︳MC︳•︳MD︳==

而︳MA︳•︳MB︳=

=〔10﹣5m2〕=

．

．

∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳．

【点评】此题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题． 21．〔14分〕设函数f〔x〕=ax2﹣a﹣ln x，g〔x〕=﹣为自然对数的底数．

，其中a∈R，e=2.718…

〔1〕讨论f〔x〕的单调性；

〔2〕证明：当x＞1时，g〔x〕＞0；

〔3〕确定a的所有可能取值，使得f〔x〕＞g〔x〕在区间〔1，+∞〕内恒成立． 【分析】〔Ⅰ〕求导数，分类讨论，即可讨论f〔x〕的单调性； 〔Ⅱ〕要证g〔x〕＞0〔x＞1〕，即﹣〔Ⅲ〕由〔fx〕＞g〔x〕，得

＞0，即证

，设〔tx〕=

，也就是证

； ，

由题意知，t〔x〕＞0在〔1，+∞〕内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定a的取值范围．

【解答】〔Ⅰ〕解：由f〔x〕=ax2﹣a﹣lnx，得f′〔x〕=2ax﹣=

〔x＞0〕，

当a≤0时，f′〔x〕＜0在〔0，+∞〕成立，那么f〔x〕为〔0，+∞〕上的减函数；

当a＞0时，由f′〔x〕=0，得x=∴当x∈〔0，

=

，

，+∞〕时，f′〔x〕＞0， ，+∞〕上为增函数；

〕时，f′〔x〕＜0，当x∈〔

〕上为减函数，在〔

那么f〔x〕在〔0，

综上，当a≤0时，f〔x〕为〔0，+∞〕上的减函数，当a＞0时，f〔x〕在〔0，

〕上为减函数，在〔

，+∞〕上为增函数；

＞0，

〔Ⅱ〕证明：要证g〔x〕＞0〔x＞1〕，即﹣即证

，也就是证

，

令h〔x〕=，那么h′〔x〕=，

∴h〔x〕在〔1，+∞〕上单调递增，那么h〔x〕min=h〔1〕=e， 即当x＞1时，h〔x〕＞e，∴当x＞1时，g〔x〕＞0； 〔Ⅲ〕解：由f〔x〕＞g〔x〕，得设t〔x〕=

，

，

由题意知，t〔x〕＞0在〔1，+∞〕内恒成立， ∵t〔1〕=0， ∴有t′〔x〕=2ax令φ〔x〕=那么φ′〔x〕=2a

当x≥2时，φ′〔x〕＞0， 令h〔x〕=

，h′〔x〕=

，函数在[1，2〕上单调递增， ，

=

，

=

≥0在〔1，+∞〕内恒成立，

∴h〔x〕min=h〔1〕=﹣1．

e1﹣x＞0，∴1＜x＜2，φ′〔x〕＞0，

综上所述，x＞1，φ′〔x〕＞0，φ〔x〕在区间〔1，+∞〕单调递增， ∴t′〔x〕＞t′〔1〕≥0，即t〔x〕在区间〔1，+∞〕单调递增， 由2a﹣1≥0， ∴a≥．

【点评】此题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键．