二项式定理(a+b) (其中：n≥0)与杨辉三角(n=0对应最上面第一行) 注：(a+b)的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项的数字。 1 二项式(a+b)n 的乘方展开式的系数规律 (其中：n≥0) 杨辉三角图 (n=0对应的最上面一行称为第1行) 【二项式定理】 首末两项系数均为1，第二项与倒数第二项系数均是n，每行端点与结尾的数为1. 第m项与倒数第m项(即n-m+1项)系数均相等（系数关于中间项系数对称） 2 3 n次方展开式有n+1项 n次方展开式中，笫m项的系数等于n-1次方展开式中第m-1项和第m项系数和 第n行共有n项，数字和为2n-1 每个数等于它上一行的左右两个数字之和： 第n行中，笫m项的系数等于第n-1行展开式中第m-1项和第m项系数和 第n行的第一列数字是1 第n行的第二列数字是n-1 第n行中，笫3列的系数等于1+2+3+…+(n-1)-1 第n行中，笫m列的系数等于 C(n,i) C(n,i)= C(n-1，i-1) + C(n-1，i) C(n，m)= C(n，n-m) = C(n-1，m-1)+C(n-1，m) nn 第n-1,n-2,n-3,….1行的第m-1列的数字之和 = C(n-1，i-1) + C(n-1，i) = C(n-1，i-1) + C(n-2，i-1) + C(n-2，i) =… = C(n-1，i-1) + C(n-2，i-1) + C(n-2，i) + 4 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数； 将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波 那契数。 5 将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方11 n-1：1=11; 11=11; 121=11……当n>5时会不符012 合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字\"1\"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为 601=1110。 6 7 第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数 (a+b)的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项 1.每个数等于它上方两数之和(第n行的第m个数数等于第n-1行的第m-1和第m个的两数之和。 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。 3.第n行的数字有n项。 4.第n行数字和为2n-1。 5.第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。 6. 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。 7. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。 8. (a+b)的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。 9. 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。 10. 杨辉三角应用 nn 性质5和性质7是杨辉三角的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。例如在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数（性质 8），第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数，即
，以此类推。
又因为性质5：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：
因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算” 。
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杨辉三角数在杨辉三角中的出现次数
由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）
除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。120,210,1540等出现刚好六次。（OEIS:A098565）
因为丢番图方程
有无穷个解，所以出现至少六次的数有无穷个多。解为
，其中F表示第n个斐波那契数（F=F=1）。
n
1
2
3003是第一个出现八次的数。
这也是多项式(a+b) 打开括号后的各个项的n次项系数的规律 即为
0 (a+b) (0 nCr 0)
1 (a+b) (1 nCr 0) (1 nCr 1)
2 (a+b) (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2)
3 (a+b) (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3 nCr 2) (3 nCr 3)
. ... ... ... ... ...
杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。 因此 杨辉三角第x层第y项直接就是 （y nCr x）
我们也不难得到 第x层的所有项的总和 为 2 (即(a+b) 中a,b都为1的时候)
[ 上述y 指 y的 x次方;(a nCr b) 指 组合数]
nCr的数学意义是从n个元素中选r个,一共有几种选法.数学公式
x
x
x
321 0
n
y nCr x=y!÷[(y-x)!×x!] !是阶乘
n!=n×(n-1)×(n-2)×...×3×2×1
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
在线性写法中被写作C(n,m)。 组合数的计算公式为
n 元集合 A 中不重复地抽取 m 个元素作成的一个组合实质上是 A 的一个 m 元子集和。如果给集 A 编序
成为一个序集，那么 A 中抽取 m 个元素的一个组合对应于数段
到序集 A 的一个确定的严格保序映射。组合数
的常用符号还有
按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）.数列中的每一个数都叫做这个数列的项.排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫
做首项）,排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.
有时候也表示成：
（在旧版本里，排列数的字母写作P）
组合公式的推导是由排列公式去掉重复的部分而来的，排列公式是建立一个模型，从n个不相同元素中取出m个排成一列（有序），第一个位置可以有n个选择，第二个位置可以有n-1个选择（已经有1个放在前一个位置），则同理可知第三个位置可以有n-2个选择，以此类推第m个位置可以有n-m+1个选择，则排列数为
，而组合公式对应另一个模型,取出m个成为一组（无序）,由于m个元素组成的一组可以有m!种不同的排列（全排列
）,组合的总数就是
递推公式：
c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n)
等式左边表示从m个元素中选取n个元素，而等式右边表示这一个过程的另一种实现方法：任意选择m中的某个备选元素为特殊元素，从m中选n个元素可以由此特殊元素的被包含与否分成两类情况，即n个被选择元素包含了特殊元素和n个被选择元素不包含该特殊元素。前者相当于从m-1个元素中选出n-1个元素的组合，即c(m-1,n-1)；后者相当于从m-1个元素中选出n个元素的组合，即c(m-1,n)。
