理论力学计算题

理论⼒学复习题(计算题)⼀、分析⼒学部分

半经为r 的光滑半球形碗，固定在⽔平⾯上，⼀均质棒斜靠在碗缘，⼀端在碗内，⼀端在碗外，在碗内的长度为c ，试⽤虚功原理证明棒的全长为：()cr c l 2224-=

解：建坐标如图⽰，棒受主动⼒为重⼒，作⽤点在质⼼c 上，⽅向竖直向下，即j mg P-=

由虚功原理得 ()()0=-=+?-=∑y mg j y i x j mg A F δδδδ 由图可知θsin 2??? ?--=l c y

⼜由⼏何关系知r c r 24sin 22-=θ 所以r c r l c y 24222-??? ?--=

对c 求变分得()()()()[]cl c c c r r

c r c c c r r l c c r c r y δδδδ-----=??

--??? ??

-+--=-2424424212122422221212222

代⼊虚功原理得()()[]024244222

2=----?c l c c c r r

c r mg δ 由于0≠c δ 故()()024222=---l c c cr整理得()cr c l 2224-=

六．五根长度相同的匀质杆，各重为P ⽤铰连接，与固定边AB 成正六边形，设在⽔平杆的中点施⼒F 以维持平衡，⽤虚功原理求⼒F 之⼤⼩？

解：设六边形边长为a ，建坐标系如图，取⾓θ为⼴义坐标由虚功原理得：

∑=-++=0223321y F y P y P y p AFδδδδδ

由⼏何关系知 θθθθθcos 2,cos 2

3cos 2cos ,cos 2321a y a a a y a y ==+== 变分δθθδ?-=sin 21a y ，δθθδ?-=sin 232a

y ，δθθδ?-=sin 22a y代⼊虚功原理()()()0

sin 26sin 2sin 6sin 2sin 2sin 232sin 22=+-=+-=---+??

-+? -θδθθδθθδθθδθθδθθδθθδθa F P Fa Pa a F a P a P a P 由于θ的任意性，0,0sin ≠≠δθθ所以 P F 3=

等边六⾓形连杆铅直放置，各杆间⽤光滑铰链连接，底边固定不动，C 、D 点⽤绳拉紧，连杆AB 中点受⼒Q 作⽤，已知平衡时∠ACD=α，试⽤虚功原理求平衡时Q 与绳内张⼒T 之间的关系？

解：设六边形边长为a ，建坐标系如图，取⾓α为⼴义坐标由虚功原理得：∑=-+-=01D C Fx T x T y Q Aδδδδ

由⼏何关系知 αααcos 2),cos 2(,sin 21a a

x a a x a y D C +=+-==

变分δααδδααδδααδ?-=?=?=sin ,sin ,cos 21a x a x a y D C 代⼊虚功原理2)sin cos (0

sin sin cos 2=?+-=?+?+?-δαααδααδααδααa T Q Ta Ta a Q由于的α任意性，0≠δα 所以αtan T Q =

如图所⽰平⾯机构有五根长度相同的匀质杆与固定杆AB 组成⼀正六边形，杆AF 中点与杆BC 中点有⼀刚度系数为k 的⽔平弹簧相连，已知各杆长度⽤弹簧原长均为l ，其重量与各铰接处摩擦均不计，若在ED 中点作⽤⼀铅垂⼒F ，则此机构平衡时⾓φ的⼤⼩为多少。

解：以AB 杆中点为原点建⽴坐标系，ox 轴沿AB ⽅向，oy 轴竖直向上。解除弹簧约束以⼒T 1、T 2代替。由由虚功原理得：∑=--=02211F FY F x T x T A

δδδδ

由⼏何关系知 φφφcos 22),cos 22(,sin 221l

l x l l x l y F +=+-== 变分得δφφδφφδφφδ?-=?=?=sin 2,sin 2,cos 221lx l x l y F

代⼊虚功原理()0cos 2sin 2sin 221=?-??

-- δφφδφφδφφl F l T lT ⼜φφcos cos 2221kl lk x k T T =?

=== ()02sin ,0cos 2sin cos =-=-δφφδφφδφφφF kl Fl l kl由于0≠δφ 故??

=kl F 2arcsin φ 图⽰系统，均质轮C 质量为m 1，半径为R 1，沿⽔平⾯作纯滚动，均质轮O 的质量为m 2，半径为R 2，绕轴O 作定轴转动。物块B 的质量为m 3，绳AE 段⽔平。系统初始静⽌。

求：（1）轮⼼C 的速度C α、物块B 的加速度B α； （2）两段绳中的拉⼒。（20分）解，以整体为研究对象，设物块B 的速度为B υ，加速度为B a ，如图

则有 20R B υω=，20R a B=α，112R R BCC υυω==系统的动能为22120022

1212121c c C B B J m J m T ωυωυ+++= 232116843υ?++=m m m

理想约束不作⼒，受⼒的功率为B g m P υ3=应⽤功率⽅程：P dtdT

= B B B g m a m m m υυ?=?=++33

218843得 3

2138438m m m gm a B ++=进⽽得3

213843421

m m m g m a a B C ++==

再以物块B 为研究对象，受⼒如图，由质点的运动微分⽅程m 3g - F T 1 = m 3a B得

g m m m m m m a m g m F B T 33212

133184343?+++=-=

绕最后勤部轮O 为研究对象，受⼒如图，由刚体定轴的转动微分⽅程222100R R R F J T T -=?α得3

212128433m m m gm m F T ++=

图⽰三棱柱体ABC 的质量为m 1，放在光滑的⽔平⾯上，可以⽆摩擦的滑动。质量为m 2的均质圆柱体O 沿三棱柱体的斜⾯AB向下作纯滚动，斜⾯倾⾓为θ。以x 和s 为⼴义坐标，⽤拉格朗⽇⽅程建⽴系统的运动微分⽅程，并求出三棱柱体的加速度（⽤其他⽅法做不给分）。（15分）

解：以三棱柱体ABC 的⽔平位移和圆柱体O 沿三棱柱体的斜⾯滑动位移S 为⼴义坐标，以y = AC 处为势能整点动能与势能为系统

2020221212121ωυυ?++=

J m m T 2222221)(22121)c o s 2(2121r sr m s x s x m x m ??+-++=θ θc o s 43)(21222221s x m s m x m m -+?+=θsin 3gs m V -= （常数略去）该系统为保守系统，拉格朗⽬⽇函数为θθsin cos 43

23222221?+-+?+=

-=gs m s x m s m x m m V T L 由第⼆类拉格朗⽇⽅程0)(=??-??XL

X L dt d ，0cos 22221

=-?+θs m x m m 0)(=??-??S L S L dt d ，0sin cos 243222=--?θθg m xm s m 整理得0cos )(221=-+θs

m x m m ……① 0sin cos 2

3=--θθg x s ……② 取关⽴（1）（2）两式，得22

122)cos 23(3sin m m g m x a θθ-+==

第⼀章质点⼒学

点沿空间曲线运动，在点M 处其速度为j i v 34+= ，加速度a 与速度v 夹⾓030=β，且2

/10s m a =。求轨迹在该点密切⾯内的曲率半径ρ和切向加速度τa 。答：由已知条件j i v34+=得

s m v /53422=+= 法向加速度20/530sin s m a a n == 则曲率半径m a v n52

==ρ 切向加速度 20/66.830cos s m a a ==τ

⼀点向由静⽌开始作匀加速圆周运动，试证明点的全加速度和切向加速度的夹⾓α与其经过的那段圆弧对应的圆⼼⾓β之间有如下关系βα2tan =

证明：设点M 沿半径为R 的圆作圆周运动，t 时刻⾛过的路程为AM=s ，速度为v ，对应的圆⼼⾓为β。由题设条件知()()b C ds

dv v dt dv a a Ra v a a n =====τττα2tan

C 为常数 积分(b)式得=sv ds a vdv 0τ 所以()c s a vτ22=

将（c ）式代⼊（a ），并考虑βR s =，所以βα2tan =

质点M 的运动⽅程为)(2),(32

m t y m t x == 求t=1秒时，质点速度、切向加速度、法向加速度的⼤⼩。解：由于)(44),(3sm t y sm x

=== 所以有()s m y xv 516922=+=+=⼜：222169t y xv +=+=则()()()s mtt t t v

a t 2.316923232169212121212=+=?+==-()()()sma a a sm y

x a s m y x t n 4.22.31,4,022222=-=-==+===

点M 沿半径为R 的圆周运动。如果K K a a n(-=τ

为已知常数），以初始位置为原点，原点初速度为0v 。求点的弧坐标形式的运动⽅程及点的速度减少⼀半时所经历的时间。

解：设点的初始位置为A 。依题意KRv K a a dt dv n 2-=-==τ 积分上式-=vv t

dt KR v dv 0021 KR t v v -=-110 得t

v KR RKv v 00+= 则弧坐标形式的运动⽅程为?? +=+=

KR t v KR dt tk KR KRv s t00001ln 当20v v =时0v KR t =

⼀质点沿圆滚线θsin 4a s =的弧线运动，如θ

为常数，则其加速度亦为⼀常数，试证明之。式中θ为圆滚线某点P 上的切线与⽔平线（x 轴）所成的⾓度，s 为P 点与曲线最低点之间的曲线弧长。

解：因θsin 4a s = 故θωθθcos 4cos 4a a dtds v ===式中ωθ

= =常量（题设） ⼜θωτsin 42

a dt dv a -== ρ2v a n = ⽽θθρcos 4a d ds ==所以θωθθ

ωρcos 4cos 4cos 1622222

a a a v a n === 故2222224cos sin 4ωθθωτa a a a a n =+=+=

=常数 结论得证

设质点沿螺旋线t z t y t x 4,4cos 2,4sin 2===运动，试求质点的速度、加速度和轨道的曲率半径。解：因t z t y t x 4,4cos 2,4sin 2===故4,44sin 8,44cos 8=-=-===z x t y y t x所以541422222=++=++=y x z y x

v ⼜0,1,1=-=-=-==z

y x y x y x 所以321622222=+=++=y x zy x a ⼜01

4441222142222=++-?=+++?==y x xy

xy y x y y x x dt dv a τ所以321622

=+==y x a a n⽽5.23280

2===n a v ρ

⼩环的质量为m 。套在⼀条光滑的钢索上，钢索的⽅程式为ay x 42

，试求⼩环⾃x=2a 处⾃由滑⾄抛物线顶点时的速度及⼩环在此时所受到的约束反作⽤⼒。 质点所受的⼒如恒通过⼀定点，则质点必在⼀平⾯上运动，试证明之。

证明：取⼒通过的定点为坐标原点，则质点的位⽮r与⼒F 共线，则有0=?=F r M所以质点的动量矩守恒，即C J =其分量式为()()())

3...(..........)2...(..........)1..(..........321C x y y x m J C z x x

z m j C y z z y m J z y x =-==-==-= 由)3()2()1(?+?+?z y x 得到0321=++z C y C x C由解析⼏何知识知上式为⼀平⾯⽅程，故质点只能在这个平⾯上运动。

⼀物体质量m=10kg ,在变⼒N t F )1(10-=作⽤下运动。设物体初速度s m v /2.00=，开始时⼒的⽅向与速度⽅向相同。问经过多长时间后物体速度为零，此前⾛了多少路程？

（知识要点）质点运动学微分⽅程，质点运动学第⼆类问题解答：由F dtdv

m = 得 ??-=tv v dt t dv 0)1(100

积分得 )/(2.01052s m t tv ++-=再积分++-=t sdt t t ds 0

20)2.0105( 得 )(2.05352

3m t t t S ++-=由 02.01052

=++-=t t v 解得 s t 02.2= 再代⼊前式得 S=7.07 m 质点作平⾯运动，其速率保持为常数，试证明速度⽮量v 与加速度⽮量a正交。

证明：采⽤⾃然坐标系，由题意知τc v = c 为常量于是有dtd c

dt d c dt dc c dt d dt v d a ττττ =+===)( ⼜在⾃然坐标系中n dtdτ

= 所以n c dt d c dt d c dt dc c dt d dt v d a ?τ

τττ==+===)( 由于n ⊥τ 故v a⊥ 得证

动点M 以匀速)/(5s m v =沿轨迹23

1x y =运动，求当m x 2=时动点M 的速度沿x 和y 分量的⼤⼩，以及M 的加速度解：由)1( (25222)=+=y xv 根据231x y =

求导数得x x y 32=⽽m x 2=时)2........(34x y =

（2）代⼊（1）得.259162

2=+x x整理得)/(3s m x

= 代⼊（2）得)/.(4s m y = ⼜0==dt

dv a τ 则2222n n

a a a a =+=τ即n a a = ⼜由数学知识知y y '''+=232)

1(ρ ⽽根据231x y =微分得32,32=''='y x y 当 m x 2=时32,34=''=

'y y 所以有181253

22712532)925(32)9161()1(2323232

===+='''+=y y ρ故)/(6.3181252522

s m v a a n ====ρ

某⼒场的⼒⽮为k xz j x i z xy F 2

233)2(+++= 其中k j i ,,分别为x,y,z 轴的单位⽮，

试证明该⼒场是否为保守⼒场，若为保守⼒场，求出其势能函数。 解：[]]??-++-=+=

x xz z z xy j z x y xz i xzx z xy z y x kj i

F )3()2()()3((322322223+0)22()33()00()2()(22

32=-+-+-=??

+?-??x x k z z j i y z xy x x k故⼒场为保守⼒场。由 )

3(3)2()1(2223--------=??-=---------=??-=------+=??-=xz zU F x y UF z xy x UF z y x

（1） 式积分得：)4(),(32

-----+--=z y f x z y x U 对（4）式求偏导数得：[]22),(x y z y f x y U -=??+-=?? 即[]0),(=??yz y f 上式得：)(),(z g z y f = 代⼊（4）式得：)5()(32

------+--=z g x z y x U 对（5）式求偏导数得：[]223)(3xz z z g xz z U -=??+-=??即[]0)(=??z

z g 积分得：c z g =)( 代⼊（5）式得：c x z y x U +--=32

取0,0,0===U y x 则0=c 所以势能函数为 x z y x U 32--=

某⼒场的⼒⽮为243233

18,106,206abxyz F y bx abxz F y bx y abz F z y x =-=-= 试证明该⼒场是否为保守⼒场，若为保守⼒场，求出其势能函数。

解：()()0

40061818)1818(33332222=+--+-+-=

-+ -+ -==

k y bx abz y bx abz j y abz y abz i abxz abxz k y F x F j x F z F i z F y F F F F z y x kj i F x y z x y z Zyx

故⼒场为保守⼒场。由 )

3(18)2(106)1(206243233--------=??-=-------=??-=-------=??-=abxyz zU F y bx abxz y UF y bx y abz x UF z y x

对（1）式积分得：)4(),(56243

-----++-=z y f y bx yx abz U 对（4）式求偏导数得：[]y bx abxz F y

z y f y bx x abz y U y 4343106),(106+-=-=??++-=?? 即[]0),(=??yz y f 上式得：

)(),(z g z y f = 代⼊（4）式得：)5()(56243-----++-=z g y bx yx abz U对（5）式求偏导数得：[]2218)(18abxyz F zz g xy abz z U z -=-=??+-=?? 即[]0)(=??z

z g 积分得：c z g =)(代⼊（5）式得： )6(56243------++-=c y bx yx abz U取0,0,0,0====U z y x 则0=c 所以势能函数为324

65abxyz y bx U -=已知作⽤于质点上的⼒为za y a x a F z a y a x a F z

a y a x a F z y x 333231232221131211++=++=++=

式上系数)3,2,1,(=j i a ij 都是常数，问这些ij a 满⾜什么条件，才有势能存在？如这些条件满⾜，试计算其势能。解：要满⾜势能存在须使⼒场为保守⼒场，既⼒场的旋度为零，所以0=??F即2112a xF a y F y x=??==?? 3113a xF

a z F z x =??==??3223a yF a zF zy =??=

=?? 即势能存在ij a 满⾜条件是：2112a a = 3113a a = 3223a a =由)

3...(..........)2..(..........)1...(..........333231232221131211z Vz a y a x a F y Vz a y a x a F x V

z a y a x a F z y x ??-=++=??-=++=??-=++=

（1）式积分得)4)........(,(21

1312211z y f zx a yx a x a V +---= （4）式对y 偏微分=（2）式得z a y a x a y

z y f x a y V 23221212),(---=??+-=?? 即)5.(..........),(2322z a y a y

z y f --=?? （5）式积分得)6...().........(21

),(23222z g zy a y a z y f +--= （6）式代⼊（4）式得)7)........((2121232

221312211z g zy a y a zx a yx a x a V +--+---=（7）式对z 偏微分=（3）式得

z a y a x a z z g y a x a z V 3323132313)(---=??+--=?? 即)8.(..........)(33z a zz g -=??

（8）式积分得)9..( (2)1)(2

33c z a z g +-=（9）式代⼊（4）式得)10........(21

2121233232221312211c z a zy a y a zx a yx a x a V +---+---=取0,0,0,0====V z y x 则0=c 得势能为)222(2121

21213123122332222112

33232221312211zx a zy a xy a z a y a x a z a zy a y a zx a yx a x a V +++++-=---+---=某⼒场的⼒⽮为k z j y i x F++=

试证明该⼒场是否为保守⼒场，若为保守⼒场，求出其势能函数。解：由于0=

-+ -+ -==

k y F x F j x

F z F i z F y F F F F z y x kj i r x y zx y z zy x

故⼒场为保守⼒场由

=??-==??-==??-=)3....(..........)2...(..........)1...(..........z z V F y y V F x x VF z y x

积分（1）式得()()4,22

z y f x V +-= （4）式对y 偏微分=（2）式得

()y y z y f y V -=??=??, 积分得()()52),(2 z g y z y f +-= 代（5）⼊（4）得()()62

222 z g y x V +--= （6）式对z 偏微分=（3）式得()z z z g z V -=??=?? 积分得()()722 c z z g +-=代（7）⼊（6）得c z y x V +---=2222

22 取0,0,0,0====V z y x 则0=c 得势能函数为2222

22z y x V ---= 有⼀质点在xy 平⾯上运动，质点受到的⼒为j y x i y x F)()(-++=，质点在平⾯上由点A （1,0）沿直线运动到点B （1,1）,求⼒F所作的功

解法1：由功的定义计算-++=+=?=BAB Ay x BA

dy y x dx y x dy F dx F r d F W )()()(⼜0,1==dx x所以2

1)21()1()()()(1021

=-=-=-++=+=?=y y dy

y dy y x dx y x dy F dx F r d F W B AB Ay x BA

解法2：由功的定义计算2

1211)21()21()()()()1,1()0,1(2)0,1()

0,1(2)0,1()0,1()1,1()0,1(=

-=-+-=-++=+=?=y xy xy x dy y x dx y x dy F dx F r d F W B A y x BA 或2

121)21121()2121()21

21()()()()1,1()0,1(22)1,1()0,1(22=--+=-+=-+=-++=+=?=y xy x y xy x d dy y x dx y x dy F dx F r d F W B A B A y x BA

解法3：由保守⼒性质计算)11()00()00(=-+-+-

-+ -+ -==k j i k y F x F j x F z F i zF y F F F F z y x k j i r x y z x y z zy x故⼒场F为保守⼒场

=??-=-=??-=+=??-=)3....(..........0)2...(..........)1...(..........z V F y x y V F y x x V F z y x积分（1）式得()()422

y f xy x V +--= （4）式对y 偏微分=（2）式得()y x y

y f x y V +-=??+-=??积分得()521)(2c y y f +=

代（5）⼊（4）得()6222

2 c xy y x V +-+-= 取0,0,0,0====V z y x 则0=c 得势能函数为xy y x V -+-=222

2 则由保守⼒与功的关系可知

21

)12121(21)2121()2121()()1,1(22)0,1(222112=

-+---=-+---+-=-=--=xy y x xy y x V V V V W 设作⽤于质点上的⼒场的⼒⽮为625

2-++=++=+++=z y x F zy x F z y x F z y x

求此质点沿螺旋线θθθ7,sin ,cos ===z y x 运⾏，⾃0=θ⾄πθ2=时⼒场所作的功 解：由保守⼒性质计算)22()11()11(=-+-+-

-+ -+ -==k j i k y F x F j x F z F i z F y F F F F z y x k j i r x y z x y z zy x故⼒场F为保守⼒场

-++=??-=++=??-=+++=??-=)3....(..........6)2...(..........2)1...(..........52z y x z V F z y x y V F z y x x V F z yx

积分（1）式得()()4,5222

z y f x xz xy x V +----= （4）式对y 偏微分=（2）式得()z y x y

y f x y V ---=??+-=??22 积分得()5)(21),(2

z g zy y z y f +--= 代（5）⼊（4）得()6)(52222

2 z g yz x xz xy y x V +------=（6）式对z 偏微分=（3）式得()6+---=??+--=??z y x zz g y x z V 积分得()()7622

c z z z g ++-= 代（7）⼊（6）得()665221222

22 c z yz x xz xy z y x V ++-------= 取0,0,0,0====V z y x 则0=c 得势能函数为

()665221222

22 z yz x xz xy z y x V +-------=

⼜由θθθ7,sin ,cos ===z y x 知当0=θ时0,0,1===z y x ；πθ2=时π14,0,1===z y x则由保守⼒与功的关系可知[]πππππππππ709884514982152184514)14(2121)521()65221

2121()652212121()(222)14,0,1(222)0,0,1(2222112-=-++++--=+-------=+--------+-------=-=--=z yz x xz xy z y x z yz x xz xy z y x V V V V W 有⼀划平⾯曲线的点，其速度在y 轴上的投影于任何时刻均为常数c ，试证明在此情形下，

加速度的量值可⽤下式表⽰ρc v a 3=

证明1：由)1.......(. (2)2222c x y x

v +=+= （1）式求导得x a x x dtdvv

=?= （因0,==y c y ，故a x= ） 由此得出 (22v)

c v a v x a dt dv -== ⼜)3....(. (2)22222

2???? ??-=-=??? ??=ρτv a a a dt dv a n （2）=（3）得2222

222)()(ρv a v c v a -=- 整理得ρc v a 3= 结论得证证明2：

如图设v 与y 轴夹⾓为α，则由0,==y c y ，故有i a a x= 由图⽰⼏何关系知ρα2cos v a a n == 即)1...(..........cos 2αρv a =

⼜c v v y ==αcos 则有)2.(..........cos vc=

α （2）代⼊（1）得ρc v a 3= 结论得证33、船得⼀初速0v

，在运动中受到⽔的阻⼒，阻⼒的⼤⼩与船速的平⽅成正⽐，⽽⽐例系数为km ，其中m 为船的质量。问经历多长时间船速减为其初速的⼀半。（15分） 解：由题意知 阻⼒为2kmv f = 则船的运动⽅程为2kmv dt dv m-= 即 kdt vdv

-=2 ⽽0=t 时0v v = 设船经历时间为t 时，20v

v = 积分上式得-=-20200v v tdt k dv v 即kt v v -=??

--0012 从⽽得01kv t =

质点M 在⼒t P X ωsin =的作⽤下沿x 轴作直线运动，在初瞬时0,0v v t ==，0x x =。 求质点的运动⽅程。

解：由t P X F v m ωs i n === 积分dt t P mdv tvv ??=0sin 0ω ，得)c o s 1()(0t Pv v m ωω-=

- 即 )c o s 1(0t m Pv v xωω-+== 积分-+=x

x t dt t m P v dx 000)cos 1(0ωω 得t m P t m P v x x ωωωsin )(200-++=点在xy 平⾯内运动，当0≤x ≤4时，点的轨迹为??-=4cos

13x y π，当x ＞4时，轨迹为⽔平线（如图⽰）。点的x 坐标按规律t t x 33-=变化，式中x 以毫⽶计，t 以秒计。求当t=2秒时，点的位置、速度和加速度。

解：当t=2秒时, mm t t x 26833=-=-=，mm x y 32cos 134cos

13=??? ?-=

-=ππ 所以点的位置坐标为 ()mm j i r32+=⼜ ()()s mm xx y s mm t x2.2192

sin 434sin 43,9332=?=?==-=ππππ 故速度为()smm j i v2.219+=()2

126s mm t x==()23.28122

sin 434sin 434sin 434cos 443s mm x x x x x x x y=??=?=?+=πππππππππ所以加速度为：()23.2812smm j i a+=

41、质量m=g kg 的质点，在不均匀的介质中作⽔平曲线运动，阻⼒⼤⼩按规律sg

v F +=322变

化，其中v o 速度，s 为经过的路程，g 为重⼒加速度。设t=0时，0,500==s sm v ，求质点经

过的路程与时间的关系。

解：质点运动微分⽅程在切线⽅向的投影式为：s g

v dt s d m +-=32222 由于m=g kg

所以有s v dt s d +-=32222 由于ds dv v dt ds ds dv dt dv dt s d =?==22代⼊上式得svds dv +-=32 分离变量()s

s d s ds v dv ++-=+-=33232