2020年兰州市中考数学模拟试题与答案
（试卷满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本题共12小题。每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。）
1．﹣8的相反数是（ ）
A．﹣8 B． C．8 D．﹣ 2．计算2x(3x)的结果是（ ）
A．6x B．6x C．2x D．2x 3．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
5566234. 在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字-2.-1.0、1.3，从中机
抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为( ) A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2
5．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口44亿，这个数用科学记数法表示为（ ） A．44×108
B．4.4×109
C．4.4×108
D．4.4×1010
6. 过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的俯视图为（ ）
7．如（x+a）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则a的值为（ ） A．3
B．﹣3
C．1
D．﹣1
8．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则下列结论中正确的有（ ）
1
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元； （2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元； （3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多； （4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9． 如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
10．关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直径平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同
圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是（ ） A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
11．如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2
12．如图，已知A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作
PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致
为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得3分。） 13. 4的平方根是_________________．
14．若关于x的一元二次方程x+4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 15．如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第____________个．
2
16．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA＝ 度．
17．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且
﹣4≤x≤1时，y的最大值为7，则a的值为 ．
18. 在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），我们把Q（﹣b+1，a+1）叫做点P的伴随点，已知
A1的伴随点为A2，A2的伴随点为A3，…，这样依次下去得到A1，A2，A3，…，An，若A1的坐标为
3
（3，1），则A2018的坐标为 ．
三、解答题（本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。） 19．（6分）解不等式：4x+5≥1﹣2x．
20．（10分）已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．
（1）求证：DE＝OE；
（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，求证：四边形ABCD是菱形．
21．（8分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）两点．
（1）求直线的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
22．（10分）齐齐哈尔市教育局想知道某校学生对扎龙自然保护区的了解程度，在该校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A．十分了解；B．了解较多：C．了解较少：D．不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项）．现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次被抽取的学生共有 名； （2）请补全条形图；
4
（3）扇形图中的选项“C．了解较少”部分所占扇形的圆心角的大小为 °；
（4）若该校共有2000名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于扎龙自然保护区“十分了解” 和“了解较多”的学生共有多少名？
23．（10分）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄
清理养鱼网箱人数/人 清理捕鱼网箱人数/人
15 10
9 16
总支出/元 57000 68000
A B
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用 各是多少元；
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕 鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
24．（10分）在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣“垂直四边形”．
定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形（如图1）．
小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对垂直四边形进行了研究． 下面是小聪的研究过程，请补充完整： 概念理解：
（1）根据垂直四边形的定义，在你学过的四边形中，满足垂直四边形的定义的是______；（写出一种即可）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由．性质探索：
（3）试探索垂直四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系． 猜想结论：（要求用文字语言叙述） 垂直四边形的两组对边的平方和相等． 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
5
25. （12分）如图，直线y＝x+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝x+bx+c经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P，N。
（1）填空：点B的坐标为 ，抛物线的解析式为 ； （2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），
①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值； ②求出使△BPN为直角三角形时m的值；
（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积。
2
6
参
一、选择题（本题共12小题。每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。）
1.C 2.A 3.A 4.C 5.B 6.B 7.B 8.C 9.B 10.C 11.B 12.A
二、填空题（本题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得3分。）
13. ±2 14. k＜4 15. 5 16. 36 17. -1 18. （0，4） 三、解答题（本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。） 19. （6分） 解：4x+5≥1﹣2x，
移项得：4x+2x≥1﹣5， 合并同类项得：6x≥﹣4， 系数化为1得：x≥﹣． 20. （10分）
解：（1）如图，连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD，
∴∠2+∠3＝∠1+∠COD＝90°， ∵DE＝EC， ∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠COD， ∴DE＝OE； （2）∵OD＝OE， ∴OD＝DE＝OE，
∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°， ∴∠2＝∠1＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠4＝∠1，
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°， ∴∠BOC＝∠DOC＝60°，
7
在△CDO与△CBO中，，
∴△CDO≌△CBO（SAS）， ∴∠CBO＝∠CDO＝90°， ∴OB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线；
（3）∵OA＝OB＝OE，OE＝DE＝EC， ∴OA＝OB＝DE＝EC， ∵AB∥CD， ∴∠4＝∠1，
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°， ∴△ABO≌△CDE（AAS）， ∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAE＝∠DOE＝30°， ∴∠1＝∠DAE， ∴CD＝AD， ∴▱ABCD是菱形． 21. （8分）
解：（1）∵双曲线y＝经过点A（1，m）．
∴m＝2，即A（1，2）．由点A（1，2），B（﹣2，﹣解得：
，
∴直线的解析式为：y＝x+1． （2）设直线AB与y轴交于点C． 在y＝x+1中，令x＝0得：y＝1， ∴C（0，1）．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+×1×2＝． 22．（10分）
8
1）在直线y＝kx+b上，得，
解：（1）本次被抽取的学生共30÷30%＝100（名）， 故答案为100；
（2）100﹣20﹣30﹣10＝40（名）， 补全条形图如下：
（3）扇形图中的选项“C．了解较少”部分所占扇形的圆心角 360°×30%＝108°， 故答案为108；
（4）该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生： 2000×
＝1200（名），
答：该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共1200名． 23. （10分）
解：（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元， 根据题意，得：解得：
，
，
答：清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元； （2）设m人清理养鱼网箱，则（40﹣m）人清理捕鱼网箱， 根据题意，得：解得：18≤m＜20， ∵m为整数， ∴m＝18或m＝19，
则分配清理人员方案有两种：
方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱； 方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱． 24. （10分）
，
9
解：（1）菱形、正方形； （2）四边形ABCD是垂直四边形． 证明：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上． ∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上． ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，
即四边形ABCD是垂直四边形；
（3）猜想结论：垂直四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E， 求证：AD+BC＝AB+CD． 证明：∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°． 由勾股定理得，AD+BC＝AE+DE+BE+CE． AB+CD＝AE+BE+CE+DE． ∴AD+BC＝AB+CD．
故答案为：垂直四边形的两组对边的平方和相等． 25. （12分）
解：（1）把点A坐标代入直线表达式y＝x+a，
解得：a＝﹣3，则：直线表达式为：y═x﹣3，令x＝0，则：y＝﹣3， 则点B坐标为（0，﹣3），
将点B的坐标代入二次函数表达式得：c＝﹣3，
把点A的坐标代入二次函数表达式得：×16+4b﹣3＝0， 解得：b＝﹣，
故：抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3， 故：答案为：（0，﹣3），y＝x2﹣x﹣3； （2）①∵M（m，0）在线段OA上，且MN⊥x轴，
10
2
2
2
2
2
2
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2
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2
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2
∴点P（m， m﹣3），N（m， m﹣m﹣3）， ∴PN＝m﹣3﹣（m﹣m﹣3）＝﹣（m﹣2）+3， ∵a＝﹣＜0， ∴抛物线开口向下，
∴当m＝2时，PN有最大值是3，
②当∠BNP＝90°时，点N的纵坐标为﹣3，
把y＝﹣3代入抛物线的表达式得：﹣3＝m2﹣m﹣3，解得：m＝3或0（舍去m＝0）， ∴m＝3；
当∠NBP＝90°时，∵BN⊥AB，两直线垂直，其k值相乘为﹣1， 设：直线BN的表达式为：y＝﹣x+n，
把点B的坐标代入上式，解得：n＝﹣3，则：直线BN的表达式为：y＝﹣x﹣3， 将上式与抛物线的表达式联立并解得：m＝当∠BPN＝90°时，不合题意舍去， 故：使△BPN为直角三角形时m的值为3或（3）∵OA＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，tanα＝，则：cosα＝，sinα＝， ∵PM∥y轴，
∴∠BPN＝∠ABO＝α，
若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，
则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个．
当过点N的直线与抛物线有一个交点N，
点M的坐标为（m，0），设：点N坐标为：（m，n）， 则：n＝m2﹣m﹣3，过点N作AB的平行线，
则点N所在的直线表达式为：y＝x+b，将点N坐标代入，
；
或0（舍去m＝0），
2
2
2
11
解得：过N点直线表达式为：y＝x+（n﹣m），
将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x2﹣12x﹣12+3m﹣4n＝0， △＝144﹣3×4×（0＝﹣12+3m﹣4n）＝0，
将n＝m﹣m﹣3代入上式并整理得：m﹣4m+4＝0， 解得：m＝2，则点N的坐标为（2，﹣）， 则：点P坐标为（2，﹣），则：PN＝3，
∵OB＝3，PN∥OB，∴四边形OBNP为平行四边形，则点O到直线AB的距离等于点N到直线AB的距离，
即：过点O与AB平行的直线与抛物线的交点为另外两个N点，即：N′、N″， 直线ON的表达式为：y＝x，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：
2
2
x2﹣4x﹣4＝0，解得：x＝2±2
则点N′、N″的横坐标分别为2作NH⊥AB交直线AB于点H， 则h＝NH＝NPsinα＝
，
，
，2﹣2
，
作N′P′⊥x轴，交x轴于点P′，则：∠ON′P′＝α，ON′＝＝（2+2），
S四边形OBPN＝BP•h＝×＝6，
，
则：S四边形OBP′N′＝S△OP′N′+S△OBP′＝6+6同理：S四边形OBN″P″＝6
﹣6，
故：点O，B，N，P构成的四边形的面积为：6或6+6或6﹣6．
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