§4-4 应力分量的坐标变换

在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得极坐标中的应力分量。

由于应力分量不但具有方向性，而且与作用面有关，为了建立应力分量的坐标变换式，应取出包含两种坐标面的微分体，然后考虑微分体的静力平衡条件，可得出该变换式。

如图，当取厚度为1，包含x面、y面和径向坐标面的微小三角板A时， 它的ab为x面，ac为y面，而bc为ρ面。各面上的应力如图所示。命bc边的长度为ds，则ab边及ac边的长度分别为dscosφ及dssinφ。

图 4-3

根据三角板A的平衡条件∑Fρ=0，可以写出平衡方程

dsxdscoscosydssinsinxydscossinyxdssincos0。

用τxy代替τyx，进行简化，就得到

xcos2ysin2xysin2。

同样可由三角板A的平衡条件∑Fφ=0，得到

(yx)cossinxycos2

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22F0xcosysinxysin2 F0(yx)cossinxycos2同理，当取厚度为1，包含x面、y面和环向坐标面的微小三角板B时，由微分体的沿径向和环向两个方向的静力平衡条件，可得如下变换式：

xsin2ycos2xysin2F0 F0(yx)cossinxycos2综上，可得应力分量由直角坐标向极坐标的变换式为：

xcos2ysin2xysin2(yx)cossinxycos2xsin2ycos2xysin2 （4-7）

同理，如果考虑x和y方向的静力平衡条件，可导出应力分量由极坐标向直角坐标的的转换式：

ysincossin2 （4-8） xy()cossincos222xcos2sin2sin2

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