华中科技大学《数值计算方法》考试试卷

2006～2007学年 第一学期 《计算方法》课程考试试卷(A卷)

(开卷)

院(系)__________专业班级______________学号______________ 姓名__________________

考试日期: 2007年1月30日 考试时间: 下午 2:30~5:00

题号 一 得分 得 分 评卷人 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 解答内容不得超过装订线

一. 填空题 (每小题 4分，共 28份)

11A01，则A 。 1．已知矩阵

2． 若用正n边形的面积作为其外接圆面积的近似值，则该近似值的相对误差是 。

3．三次方程xxx10的牛顿迭代格式是 。 4．若求解某线性方程组有迭代公式

32X(n1)BX(n)F，其中

aaB3a3，则该迭代公式收敛的充要条件是 。

iipf25．设f(x)xe，则满足条件2x(i0,1,2)的二次插值公式

p(x) 。

6．已知求积公式10f(x)dx(1)f(0)f(1/2)(1)f(1)代数精度，则 。

7．改进的Euler方法

至少具0次

h[f(tn,yn)f(tn1,ynhfn)]2应用于初值问题y'(t)y(t),y(0)1的数值解yn 。

yn1yn 得 分 评卷人 ,

试利用迭代法的收敛理论证明该迭代序列收敛，且满足

n

2二. (10分) 为数值求得方程xx20的正根，可建立如下

迭代格式

xn2xn1,.

n0,1,2,limxn2 得 分 评卷人 （1）试用Gauss消去法求解其方程组；

(2) 给出求解其方程组的Jacobi迭代格式和 Gauss-Seidel迭代格式，并说明其二种迭代格

式的收敛性。 四. (12分) 已知y=sinx的函数表 得 分 评卷人 X sinx 1.5 0.99749 1.6 0.99957 1.7 0.99166 三. (20分) 给定线性方程组

2x1x22x3104x1x25x3194x8x2x26231

解

答内容不得超过装订线

试造出差商表，利用二次Newton插值公式计算sin(1.609) （保留5位有效数字），并给出其误差估计。 五. (14分) 用Romberg算法计算积分 得 分 评卷人

得 分 评卷人 

10cos(x2)dx（精确到104）。

六. (16分) 给出线性-方法

yn1ynh[fn(1)fn1](01)，

（1） 计算其方法的截断误差；

（2） 当=？时，其方法为2阶相容； （3） 当该方法应用于初值问题

y'(t)y(t),t[t0,T],y(t0)y0

时（其中为实常数），其在ttn处的数值解yn?

2006～2007学年 第一学期 《计算方法》课程考试试卷(B卷)

(开卷)

院(系)__________专业班级______________学号______________ 姓名__________________

考试日期: 2007年1月30日 考试时间: 下午 2:30~5:00

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 得 分 评卷人 七. 填空题 (每小题 4分，共 28份)

22A20，则A1．已知矩阵

2 。

2． 若用正n边形的面积作为其内接圆面积的近似值，则该近似值的相对误差是 。

1x)的牛顿迭代格式是 。 3．方程xln(BX4．若求解某线性方程组有迭代公式X则该迭代公式收敛的充要条件是 。

xiif(x)pf221x25．设，则满足条件

p(x) 。

6．已知求积公式102(n1)(n)1BF，其中aaa，

解

答内容不得超过装订线

(i0,1,2)的二次插值公式

f(x)dx 。

1[f(0)6f()f(1)]8至少具1次代数精度，则

7．隐式中点方法

yn1ynhf(tnh/2,ynyn1)2

应用于初值问题y'(t)y(t),y(0)1的数值解yn 。 得 分 评卷人 得 分 评卷人 八. (10分) 证明：对任何初值x0，由迭代公式

xncosxn1,n1,2,

所生成的序列xn均收敛于方程xcosx的根。 九. (20分) 给定线性方程组

8x1x2x38x17x22x342xx9x12312

（1）试用Gauss消去法求解其方程组；

(2) 给出求解其方程组的Jacobi迭代格式和 Gauss-Seidel迭代格式，并说明其二种迭代格

式的收敛性。

得 分 评卷人 xx十. (12分) 已知f(x)e(3xe)，插值节点

x01.00,x11.02,x21.04,x31.06,

试构造Lagrange插值公式计算f(1.03)的近似值（保留4位有效数

字），并给出其实际误差。 十一. (14分) 用Romberg算法计算积分 得 分 评卷人

得 分

10sin(x2)dx（精确到104）。

解答内容不得超过装订线

评卷人 十二. (16分) 给出单支-方法

yn1ynhf[tn(1)tn1,yn(1)yn1](01)，

（4） 计算其方法的截断误差；

（5） 当=？时，其方法为2阶相容； （6） 当该方法应用于初值问题

y'(t)y(t),t[t0,T],y(t0)y0

时（其中为实常数），其在ttn处的数值解yn?

2005~2006学年《计算方法》试题

班级 __________ 学号__________ 姓名 _______ 成绩______

题号 一 得分 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分

一. 填空题（每空3分，共18分）

12A34，则 A2= 。 1. 已知矩阵

x2. 方程xe10的Newton迭代格式为 。

12A2Ta，且A可分解为ALL，其中L为对角线上元素全3. 已知

等于1的下三角矩阵，则 a 。

4. 已知f(xi)yi,i0,1,2;x0x1x2,且x0xx2日插值余项R满足估计式R 。

maxf(3)(x)M，则其拉格朗

121f(1)Af()f(2)16365. 已知求积公式 ，则A 。

hyn1yn[f(xn,yn)f(xn1,yn1)]26. 解常微分方程初值问题的梯形公式 是

阶方法。

2f(x)dx33二. (10分) 试导出计算a的Newton迭代公式，并由此公式计算2，要求精

5确到10。

三. (12分) 给定线性方程组

2x1x21x13x2x31x2x123

分别写出Jacobi和Gauss-Seidal迭代格式；并考察迭代格式的收敛性。

四. (15分) 利用余弦函数cosx在x00,x14,x22处的值导出其二次

Lagrange插值多项式, 并以此近似计算cos6，且给出该近似值的相对误差。



五. (15分) 某学生在大学一、二年级各个学期的平均成绩如下：

学期 x 平均成绩 y 1 63.2 2 70.5 3 76.6 4 78.4

试求出一条最佳的直线以反映其平均成绩的上升趋势，并估计出他在大学三、四年级各个学期的平均成绩。

112sin(x)dx六. (15分) 用Romberg算法计算0(步长h从1逐步减半到8)。

七. (15分) 试导出求解初值问题yf(x,y),y(x0)y0的2步3阶公式 yn2yn1h(b0fnb1f并给出其绝对稳定域。

n1b2fn2),

2004~2005学年《计算方法》试题(2004年11月26日)

班级__________ 学号___________ 姓名 ___________ 成绩______

题号 一 得分 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分

一. (20分)1. 用简单迭代法求方程 x2x10在x01.5附近的具有4位有效

数字的近似根,并证明收敛性。

1(a0)2. 试导出计算a的Newton迭代公式，使公式中既无开方，又无除法运算。

二.(10) 1. 给定线性方程组

5x12x2x31x110x25x32x2x10x3231

分别写出Jacobi和Gauss-Seidal迭代格式；并考察迭代格式的收敛性。

21210b19A405482，26。 三.(15) 设有线性代数方程组Axb，其中

1. 用列选主元Gauss消去法求解此方程组。 2. 用LU分解法求解此方程组。

四.(15) 1. 用二次Lagrange插值公式利用100,121,144的开方求116；

x123y2022. 已知函数表 y40 ,求其插值多项式，并写出误差估计式。

五.(10分) 已知实验数据

xi01234 f(xi)510142126

试用最小二乘法求出拟合直线yaxb。

六(15分). 1.确定下列公式中的待定系数，使其代数精度尽可能的高，并指出所构造公式具有几次代数精度。

2h2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)1

11dx2. 用Romberg算法求01x(步长h从1取到8)。

yy0七.(15分) 1. 用改进Euler法求解初值问题y(0)0，取h0.2，0x1.0 2. 试导出求解yf(x,y),y(x0)y0的下列公式 12yn3yn1), yn1ynh(1yn并求出局部截断误差首项。

2003~2004学年《计算方法》课程考试试卷

院(系)__________专业班级______________学号______________ 姓名__________________ 题号 一 得分 得 分 评卷人 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 一. 填空题（每空3分，共30分） 1.

数

值

稳

定

的

算

法

是

指: 。

x2. 方程xe10的一个有根区间为: ，可构造出它的一个收敛的迭代

格式为： 。

3. 解方程f(x)0的Newton迭代公式为 ，Newton迭代法对

于

单

根

是

___ 阶局部收敛的。

4. 解三角线性方程组的方法是_______ 过程。

5．矩阵A的谱半径定义为(A)= ，它与矩阵范数的关系是 。

6. 线性方程组Axb中令A=D+L+U，其中D是A的对角部分构成的矩阵，L和U分别是A的（负）严格下（上）三角矩阵，则Jacobi迭代法的迭代矩阵是 。 7.

f(x)

的

差

分

形

式

的

Newton

插

值

多

项

式

是 。

得 分 评卷人 32二．（10分）设f(x)x3x4x3，请用秦九韶算法计算f(2)。

得 分 评卷人 三．（10分）请用二分法计算方程

f(x)x33x24x30的近似根，并进行到第3步为止。

得 分 评卷人 得 分 评卷人 四．(20分) 用紧凑格式的三角分解法求解线性方程组: 2x1x2x30x1x2x33 x1x22x31

x0,x,x012cosx42三个节点五. (15分)用余弦函数在

cos6处的值写出二次Lagrange插值多项式函数, 并近似计算

及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。

得 分 评卷人

六.（15分）某学生在大学一二年级各个学期的平均成绩如下：

1 2 3 4 学期（x） 平均成绩（y） 63.2 70.5 76.6 78.4

试求出一条最佳的直线以反映其平均成绩的上升趋势，并估计出他在大学三四年级各个学期的平均成绩，将表格填完整。

《计算方法》上机实验试题

1. (25分)计算积分

In若用下列两种算法 (A)

10xndxx5， n=0,1,2,…,20

In5In11n

11In1In5n (B)

试依据积分In的性质及数值结果说明何种算法更合理。

2. (25分)求解方程f(x)=0有如下牛顿迭代公式

xnxn1(1) (2)

f(xn1)f(xn1)， n≥1，x0给定

编制上述算法的通用程序，并以xnxn1（ε为预定精度）作为终止迭代的准则。

利用上述算法求解方程

这里给定x0=π/4，且预定精度ε=10-10。

xxf(x):cosxx0

3. (25分) 已知f(x)e(3xe)，

(1) 利用插值节点x0=1.00，x1=1.02，x2=1.04，x3=1.06，构造三次Lagrange插值

公式，由此计算f(1.03)的近似值，并给出其实际误差；

(2) 利用插值节点x0=1，x1=1.05构造三次Hermite插值公式，由此计算f(1.03)的

近似值，并给出其实际误差。

4. (25分) 利用Romberg算法计算积分

精确到10

－4

4801cos2xdx

总体要求：打印各题的程序代码及数值结果。