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2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共上）
1．（3分）集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=．
14小题，每小题
3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置
2．（3分）函数的定义域为．
3．（3分）如图所示的对应中，是从A到B的映射有（填序号）．
4．（3分）已知a=25．（3分）幂函数6．（3分）不等式
0.3
，b=2
0.4
，c=log20.3，则a，b，c按由大到小排列的结果是．
y=f （x）的图象过点（9，3），则f（2）=．log0.22的解集是．log0.2（x﹣1）≤
2
7．（3分）方程ln（2x+1）=ln（x﹣2）的解是．8．（3分）函数y=（x﹣2）
2x
﹣1
+1图象的对称中心是．
x
9．（3分）函数y=（）+2×（）（x≤﹣1）的值域是．
R，若f（﹣3）=﹣1，则f（3）=．10．（3分）已知f（x）=ax﹣bx+2，a，b∈11．（3分）函数y=log2x+x﹣2在（k，k+1）上有零点，则整数12．（3分）函数y=f（x）为奇函数，且
＞0的解集为．
k=．
2
3
x∈[0，+∞）时，f（x）=x﹣3x，则不等式
13．（3分）函数f（x）=ax+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，2）上是减函数，则围是．
2
a的取值范
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14．（3分）已知函数f （x）=，若a，b，c互不相等，且f （a）=f
（b）=f （c），则abc的取值范围是．
二、解答题（本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（8分）已知集合A={x|3≤x＜10}，集合B={x|2x﹣8≥0}．
（1）求A∪B；（2）求?R（A∩B）．
16．（8分）已知m=×，n=log316×log，
（1）分别计算m，n的值；（2）比较m，n的大小．
17．（10分）已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2
﹣2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求
m的取值范围．
18．（10分）已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是P（单位：万元）和（单位：万元），它们与进货资金t（单位：万元）的关系有经验公式
P=
t和Q=
．某
商场决定投入进货资金
50万元，全部用来购入这两种电脑，那么该商场应如何分配进货资
金，才能使销售电脑获得的利润
y（单位：万元）最大？最大利润是多少万元？
19．（11分）已知函数f（x）=为奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）是R上的增函数；（3）解不等式：f（log2x）≤．
20．（11分）已知函数f（x）=ax2
+（a﹣1）x+b的最小值为﹣1，且f（0）=﹣1．
（1）求f（x）的解析式；（2）在给出的坐标系中画出y=|f（x）|的简图；
（3）若关于x的方程|f（x）|2
+m|f（x）|+2m+3=0在[0，+∞）上有三个不同的解，求实数
m的取值范围．
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2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷
参与试题解析
一、填空题（本大题共上）
14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置
1．（3分）集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B={1，2，3}．考点：专题：分析：解答：
并集及其运算．计算题．
由集合A与B，求出两集合的并集即可．解：∵A={1，2}，B={2，3}，
∴A∪B={1，2，3}．故答案为：{1，2，3} 点评：
此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
2．（3分）函数的定义域为（﹣∞，）．
考点：专题：分析：
函数的定义域及其求法．计算题．
由函数的解析实可得
3﹣2x＞0，解得x的范围，即可求得函数
的定义域．解答：
解：∵函数
∞，），
，∴3﹣2x＞0，解得x＜，
故函数的定义域为（﹣
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故答案为点评：
（﹣∞，）．
本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题．
A到B的映射有（1）（3）（填序号）．
3．（3分）如图所示的对应中，是从
考点：专题：分析：解答：
映射．集合．
直接根据映射的概念判断即可．解：根据映射概念：给出
A，B两个非空集合及一个对应关系
f，在对应关系
f的A
A中的任意一个元素在集合
B中都有唯一确定的像与之相对应．可见，从
“一对一”或“多对一”，不能是“一对多”，
（1）和（2）
作用下，集合
到B对应应该满足的是存在性与唯一性，可能是是正确结论，（3）与（4）是不正确的结论．故答案为：（1），（3）点评：
本题考查映射的概念，属于基础题．
0.3
由此可知命题（1）（3）正确，命题（2）违背存在性，（4）违背唯一性．因此
4．（3分）已知a=2考点：专题：分析：解答：
，b=2
0.4
，c=log20.3，则a，b，c按由大到小排列的结果是
b，a，c．
对数值大小的比较．函数的性质及应用．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解：∵1＜a=2
0.3
＜b=2
0.4
，c=log20.3＜0，
b，a，c．
∴a，b，c按由大到小排列的结果是故答案为：b，a，c．点评：
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
y=f （x）的图象过点（9，3），则f（2）=
．
5．（3分）幂函数考点：专题：分析：解答：
幂函数的概念、解析式、定义域、值域．函数的性质及应用．根据幂函数的一般解析式解：∵幂函数的一般解析式
y=x，因为其过点（9，3），求出幂函数的解析式，从而y=x，
aa
求出f（2）；
∵幂函数y=f（x）的图象过点（9，3），
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∴3=9，解得a=，∴y=x，∴f（2）=（2）故答案为：点评：
此题主要考查函数的值，以及幂函数的性质及其应用，是一道基础题；
log0.22的解集是{x|x≥log0.2（x﹣1）≤3}．
2
2
a
=，
6．（3分）不等式考点：专题：分析：解答：所以
指、对数不等式的解法．函数的性质及应用．
利用对数的单调性得到真数的不等式解之．解：由已知，因为函数
，解得{x|x≥3}；
y=log0.2x为减函数，
故答案为：{x|x≥3} 点评：
本题考查了对数函数的运用解决对数不等式；属于基础题
2
7．（3分）方程ln（2x+1）=ln（x﹣2）的解是{x|x=3}．考点：专题：分析：解答：
对数的运算性质．函数的性质及应用．
由题设知2x+1=x﹣2，求出的结果要进行验根．解：由题设知
2x+1=x﹣2，
22
解得x=3或x=﹣1，经检验得x=﹣1是增根．故答案为：x=3．点评：
本题考查对法的运算法则，解题时要注意对数的定义域．
﹣1
8．（3分）函数y=（x﹣2）考点：专题：分析：
函数的图象．函数的性质及应用．
+1图象的对称中心是（2，1）．
由已知中函数的解析式，根据函数图象的平移变换法则，我们要以得到函数的图象
根据反比例函数的
是由反比例函数的图象向右平移一个单位，对称性，即可得到答案．解答：
解：∵函数y=（x﹣2）
﹣1
再向上平移一个单位得到的，
+1=+1
它的图象是由反比例函数由于反比例函数
y=的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的
0，0）
y=的图象的对称中心为（
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故该函数的图象的对称中心为（故答案为（2，1）点评：
2，1）
函数图象的对称性，熟练掌握各种基本初等函数的
本题考查的知识点是对称图形，
图象和性质是解答本题的关键
2x
x
9．（3分）函数y=（）+2×（）（x≤﹣1）的值域是[8，+∞）．
考点：专题：分析：
二次函数在闭区间上的最值；函数的值域．函数的性质及应用．令t=
，将函数换元为一元二次函数
y=t+2t，根据一元二次函数的单调区
2
间直接求最值即可解答：
2
解：∵y=（）+2×﹣1），令（）（x≤
2
2xx
=t，则t∈[2，+∞），∴原函数化y
最小值
为y=t+2t=（t+1）﹣1（t≥2）在[2，+∞）上是递增函数，∴域是[8．+∞）故答案为：[8．+∞）点评：
本题考查复合函数的值域问题，属于基础题．
3
=y（2）=8，故函数的值
R，若f（﹣3）=﹣1，则f（3）=5．10．（3分）已知f（x）=ax﹣bx+2，a，b∈考点：专题：分析：解答：
函数奇偶性的性质．函数的性质及应用．
令g（x）=ax﹣bx，根据奇函数的定义即可求出答案．解：令g（x）=ax﹣bx，则由奇函数的定义可得函数
33
g（x）为R上的奇函数，
∴由f（﹣3）=g（﹣3）+2=﹣1得，g（﹣3）=﹣3，∴f（3）=g（3）+2=﹣g（﹣3）+2=5．故答案为：5 点评：
本题考查了奇函数的定义，是一道基础题．
k=1．
11．（3分）函数y=log2x+x﹣2在（k，k+1）上有零点，则整数考点：专题：分析：
函数零点的判定定理．函数的性质及应用．
要判断函数f（x）=log2x+x﹣2的零点位置，我们可以根据零点存在定理，依次判
a，b）上有零点，则
f（a）与
断区间的两个端点对应的函数值，然后根据连续函数在区间（f（b）异号进行判断．解答：
解：因函数y=log2x+x﹣2在（0，+∞）上单调递增且连续，
而f（1）=log21+1﹣2＜0，f（2）=log22+2﹣2=1＞0，则f（1）f（2）＜0，
故函数y=log2x+x﹣2的一个零点在区间（所以k=1；故答案为：1．
1，2）；
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点评：本题考查了函数的零点，关键是根据零点存在定理：即连续函数在区间（a，b）上
零点，则f（a）与f（b）异号，属于基础题．12．（3分）函数y=f（x）为奇函数，且
x∈[0，+∞）时，f（x）=x﹣3x，则不等式
2
＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．
考点：专题：分析：
其他不等式的解法；函数奇偶性的性质．函数的性质及应用；不等式的解法及应用．求出f（x）=
，转为
＞0，即
或
求解即可．
解答：
解：∵函数y=f（x）为奇函数，
2
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∵x∈[0，+∞）时，f（x）=x﹣3x，
∴设x＜0，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[x+3x]=﹣x﹣3x，（x＜0）∴f（x）=
2
2
∵不等式∴
＞0，
＞0，
∴
即x＞3或x＜﹣3，
或
故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）点评：
本题考查了函数的性质，解析式的求解，不等式的求解，属于中档题．
2
13．（3分）函数f（x）=ax+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，2）上是减函数，则围是[0，]．
a的取值范
考点：专题：分析：
二次函数的性质．函数的性质及应用．
由条件利用二次函数的性质可得，当
求得a的范围．综合可得
a=0时满足条件；当a的取值范围．
a≠0时，则由
解答：解：由于函数
f（x）=ax+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，2）上是减函数，
2
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当a=0时，f（x）=﹣12x+5，满足条件．当a≠0时，则有
，解得0＜a≤．
综上可得，0≤a≤，故答案为：[0，]．点评：题．
本题主要考查二次函数的性质应用，
体现了转化、分类讨论的数学思想，
属于基础
14．（3分）已知函数f （x）=，若a，b，c互不相等，且f （a）=f
（b）=f （c），则abc的取值范围是（2，）．
考点：专题：分析：
分段函数的应用．函数的性质及应用．
先画出图象，再根据条件即可求出其范围．不妨设
a＜b＜c，利用f（a）=f（b）
abc的取值范围．
=f（c），可得﹣log2a=log2b=﹣3c+7，由此可确定解答：解：不妨设a＜b＜c，根据已知画出函数图象：
∵f（a）=f（b）=f（c），∴﹣log2a=log2b=﹣3c+7，∴log2（ab）=0，0＜﹣3c+7＜1，解得ab=1，2＜c＜，∴2＜abc＜．故答案为：（2，）．点评：
本题考查分段函数，考查绝对值函数，考查学生分析解决问题的能力，
属于中档题．
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二、解答题（本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（8分）已知集合A={x|3≤x＜10}，集合B={x|2x﹣8≥0}．
（1）求A∪B；（2）求?R（A∩B）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．
分析：（1）求解一次不等式化简集合
B，然后直接进行并集运算；
（2）首先进行交集运算，然后进行补集运算．
解答：
解：（1）由A={x|3≤x＜10}，B={x|2x﹣8≥0}={x|x≥4}．
∴A∪B={x|3≤x＜10}∪{x|x≥4}={x|x≥3}．（2）A∩B={x|3≤x＜10}∩{x|x≥4}={x|4≤x＜10}．∴?R（A∩B）={x|x＜4或x≥10}．点评：
本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的会考题型．
16．（8分）已知m=×，n=log316×log，
（1）分别计算m，n的值；（2）比较m，n的大小．考点：对数的运算性质；对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．
分析：
（1）直接利用根式的运算法则求出
m，对数的运算法则求出
n．
（2）直接利用中间量3，即可比较m，n的大小．
解答：
解：（1）m=
×
=
=
…（2分）
n=log316×log=
=．…（4分）
（2）m=＞31
=3…（6分）
而n＜3．
所以n＞m．…（8分）点评：
本题考查对数的运算法则换底公式的应用，根式的运算，基本知识的考查．
17．（10分）已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2
﹣2x．（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．
考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．
分析：
（1）当x＜0时，有﹣x＞0，由f（x）为偶函数，求得此时
f（x）=f析式，从而得到函数
f（x）在R上的解析式．
x）的解
（﹣优秀资料欢迎下载
（2）由题意得m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立，而在得m的取值范围．解答：
解：（1）当x＜0时，有﹣x＞0，
2
1≤x≤2时，求得（x﹣2）min=﹣1，由此可
∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）﹣2（﹣x）=x+2x，∴f（x）=
2
2
．
x﹣2≥m在1≤x≤2时都成立，
（2）由题意得x﹣2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即即m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立．
而在1≤x≤2时，（x﹣2）min=﹣1，∴m≤﹣1．点评：
本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，函数的恒成立问题，体现了转化
的数学思想，属于基础题．
18．（10分）已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是（单位：万元），它们与进货资金商场决定投入进货资金
t（单位：万元）的关系有经验公式
P（单位：万元）和P=
t和Q=
Q．某
50万元，全部用来购入这两种电脑，那么该商场应如何分配进货资
y（单位：万元）最大？最大利润是多少万元？
金，才能使销售电脑获得的利润考点：专题：分析：
函数模型的选择与应用．
应用题；函数的性质及应用．设用于台式电脑的进货资金为
．
m万元，则用于笔记本电脑的进货资金为（
50
m万元，则用于笔记本电脑的进货资金为（
50﹣m）
x的解析式，利用换元法得到二次函数
f（t），再由二次
万元，那么y=P+Q，代入可得关于函数的图象与性质，可得结论．解答：
﹣m）万元，…（2分）所以，销售电脑获得的利润为令u=则y=﹣
，则u∈[0，5u+u+
2
解：设用于台式电脑的进货资金为
y=P+Q=（50﹣m）+（0≤m≤50）．…（4分）1分）
]，（不写u的取值范围，则扣（u﹣4）+
2
=﹣．…（8分）．
34万元时，可使销售电
当u=4，即m=16时，y取得最大值为所以当用于台式机的进货资金为脑的利润最大，最大为点评：
16万元，用于笔记本的进货资金为
万元．…（10分）
考查了换元法的应用，
运用换元法解题时，要注
本题考查函数模型的选择与应用，
意换元前后函数自变量取值范围的变化，以免出错．
19．（11分）已知函数（1）求a的值；
f（x）=为奇函数．
（2）证明：f（x）是R上的增函数；
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（3）解不等式：f（log2x）≤．
考点：专题：分析：
函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．函数的性质及应用．
（1）利用f（0）=0即可得出；
（2）利用函数单调性的定义即可得出；
（3）令f（x）=，解得x=2．于是f（log2x）≤即f（log2x）≤f（2）．再利用函数的单调性即可得出．解答：
（1）解：f（x）的定义域为
R．
∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0，∴a=1．（2）证明：易得
f（x）=1﹣
．
设x1∈R，x2∈R，且x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）=
=
．
∵，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0．∴f（x1）＜f（x2）．∴f（x）为R上的增函数．（3）令f（x）=，解得x=2．∴f（log2x）≤即f（log2x）≤f（2）．∵f（x）为R上的增函数，∴log2x≤2．∴0＜x≤4．点评：
本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
f（x）=ax+（a﹣1）x+b的最小值为﹣1，且f（0）=﹣1．
y=|f（x）|的简图；
2
2
20．（11分）已知函数
（1）求f（x）的解析式；（2）在给出的坐标系中画出m的取值范围．
（3）若关于x的方程|f（x）|+m|f（x）|+2m+3=0在[0，+∞）上有三个不同的解，求实数
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考点：专题：分析：
二次函数的性质；函数图象的作法；函数的零点与方程根的关系．函数的性质及应用．
（1）由f（0）=﹣1，求得b的值，再根据
2
f（x）的最小值为﹣1，求得a的值，
可得函数f（x）的解析式．
（2）画出函数y=|f（x）|=|x﹣1|的图象如图：（3）令|f（x）|=t，t∈[0，+∞），由题意可知，方程上各有一解．令解答：
2
t+mt+2m+3=0在（0，1]和（1，+∞）
1和h（x）的零点不是
1
2
h（t）=t+mt+2m+3，再分h（x）的零点有一个为
m的范围，综合可得结论．
两种情况，分别求出
解：（1）∵f（0）=﹣1，∴b=﹣1．
2
由题意得a＞0，∵f（x）=ax+（a﹣1）x﹣1的最小值为﹣1，∴∴a=1．
∴f（x）=x﹣1．
（2）函数y=|f（x）|=|x﹣1|的图象如图：（3）令|f（x）|=t，t∈[0，+∞），由题意可知，方程
22
2
2
=﹣1，
t+mt+2m+3=0在（0，1]和（1，+∞）上各有一解．
2
令h（t）=t+mt+2m+3．
①当方程t+mt+2m+3=0有一个根为1时，
令h（1）=0，m=﹣．而当m=﹣时，t=或t=1，不符题意，舍去．②当方程t+mt+2m+3=0没有根为1时，由
解得﹣
＜m＜﹣
，∴实数m的取值范围为（﹣
，﹣
）．
2
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点评：思想，属于基础题．
本题主要考查二次函数的性质，带有绝对值的函数，体现了转化、分类讨论的数学
