2020年北京市海淀区部分学校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）
1. 数轴上的点A表示的数是a，当点A在数轴上向右平移了6个单位长度后得到点B，若点A和
点B表示的数恰好互为相反数，则数a是
A. 6 B. C. 3 D.
2. 如图，在中，BC边上的高是
A. AF B. BH C. CD D. EC 3. 如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体是
A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱
4. 任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是
A. 面朝上的点数是6 B. 面朝上的点数是偶数 C. 面朝上的点数大于2 D. 面朝上的点数小于2
5. 下列是一组logo设计的图片不考虑颜色，其中不是中心对称图形的是
A.
B.
C.
D.
6. 一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在
A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 7. 某商场一名业务员12个月的销售额单位：万元如下表： 月份月 销售额万元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 10 11 12 8 10 则这组数据的众数和中位数分别是
， ， ， A. 10，8 B. C. D.
8. 甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程单位：米与所用时间单位：秒之间
的函数图象分别为线段OA和折线则下列说法正确的是
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A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B. 跑步过程中，两人相遇一次
C. 起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远 D. 乙在跑前300米时，速度最慢
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
______． 9. 分解因式：10. 若分式
的值为0，则
______．
11. 已知，一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，请你写出一个
符合上述条件的函数关系式：______．
12. 某学校组织600名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比
到植物园人数的2倍少30人，若设到植物园的人数为x人，依题意，可列方程为______． 13. 若，则代数式的值为______． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为、，在经过两次变化平
移、轴对称、旋转得到对应点、的坐标分别为、，则由线段AB得到线段
的过程是：______，由线段得到线段的过程是：______．
15. 如图，的半径为2，切线AB的长为
AP的长的取值范围是______．
，点P是上的动点，则
16. 在平面直角坐标系xOy中，点绕坐标原点O顺时针旋
转后，恰好落在图中阴影区域包括边界内，则m的取值范围是______．
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三、计算题（本大题共1小题，共8.0分） 17. 解不等式
，并把它的解集在数轴上表示出来．
四、解答题（本大题共7小题，共60.0分） 18. 计算：
．
19. 已知关于x的一元二次方程．
当m为何非负整数时，方程有两个不相等的实数根； 在的条件下，求方程的根． 20. 在平面直角坐标系xOy中，直线
：
与x轴，y轴分别交于点
，B，与反比
例函数图象的一个交点为．
求反比例函数的表达式； 设直线：与x轴，y轴分别交于点C，D，且m的值______．
，直接写出
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21. 如图，在
为直径的作
求证：
若
中，，点D是AB边上一点，以BD与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E于点H，连接BE．
；
，
，求AD的长．
22. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点和．
求抛物线的表达式和顶点坐标；
将抛物线在A、B之间的部分记为图象含A、B两点将图象M沿直线翻折，得到图象若过点的直线与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，求b的取值范围． 23. 在中，，，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，
连接AN，平移，使点N移动到点M，得到点D与点A对应，点E与点B对应，DM交AC于点P．
若点N是线段MB的中点，如图1． 依题意补全图1； 求DP的长；
若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若，求CE的长．
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24. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数k，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点，
，都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k中，其最大值
称为这个函数的限减系数．例如，函数，当x取值a和时，函数值分别为
，，故，因此函数是限减函数，它的限
减系数为．
写出函数的限减系数；
，已知
是限减函数，且限减系数
，求m的取值范围．
已知函数的图象上一点P，过点P作直线l垂直于y轴，将函数的图象在点P右侧的部分关于直线l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数，直接写出P点横坐标n的取值范围．
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：解：由题意可得：B点对应的数是：点A和点B表示的数恰好互为相反数，
， ．
，
解得：
故选：D．
根据题意表示出B点对应的数，再利用互为相反数的性质分析得出答案． 此题主要考查了数轴以及相反数，正确表示出B点对应的数是解题关键． 2.答案：A
解析：解：根据高的定义，AF为中BC边上的高． 故选：A．
根据三角形的高线的定答．
本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键． 3.答案：B
解析：解：观察图形可知，这个几何体是四棱锥． 故选：B．
侧面为4个三角形，底边为正方形，故原几何体为四棱锥．
本题考查的是四棱锥的展开图，考法较新颖，需要对四棱锥有充分的理解． 4.答案：C
解析：解：抛掷一枚骰子共有1、2、3、4、5、6这6种等可能结果，
面朝上的点数是6的概率为； B.面朝上的点数是偶数的概率为C.面朝上的点数大于2的概率为D.面朝上的点数小于2的概率为．
故选C．
根据概率公式分别求出每种情况发生的概率，然后比较出它们的大小即可．
此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
． ； ；
5.答案：A
解析：解：A、不是中心对称图形，故此选项正确； B、是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项错误；
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D、是中心对称图形，故此选项错误； 故选：A．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义． 6.答案：B
解析：解：设正方形的边长等于a， 正方形的面积是12，
， ， ，即．
故选：B．
先设正方形的边长等于a，再根据其面积公式求出a的值，估算出a的取值范围即可．
本题考查的是估算无理数的大小及算术平方根，估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 7.答案：C
解析：解：从小到大排列此数据为：、、7、、、、8、、、、、10， 数据出现了4次最多为众数， 处在第6、7位的是、8，中位数为． 故选：C．
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 8.答案：C
解析：解：A、两人从起跑线同时出发，甲先到达终点，错误； B、跑步过程中，两人相遇两次，错误；
C、起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远，正确； D、乙在跑后200米时，速度最慢，错误； 故选：C．
根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
9.答案：
解析：解：故答案为：
．
．
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首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键． 10.答案：2
解析：解：，
，
当时，， 当时，． 当时，分式的值是0． 故答案为：2．
分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0．
分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．
11.答案：答案不唯一如：
解析：解：
随x的增大而减小
可选取，那么一次函数的解析式可表示为： 把点代入得： 要求的函数解析式为：． 根据题意可知，这时可任设一个满足条件的k，则得到含x、y、b三求知数的函数式，将代入函数式，求得b，那么符合条件的函数式也就求出．
本题需注意应先确定x的系数，然后把适合的点代入求得常数项．
12.答案：
解析：解：设到植物园的人数为x人，则到野生动物园的人数为人， 根据题意得：． 故答案为：．
设到植物园的人数为x人，则到野生动物园的人数为人，根据到野生动物园和植物园开展社会实践活动的总人数为600人，即可得出关于x的一元一次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 13.答案：13
解析：解：，
，
把代入， 故答案为：13
由代数式，得出，整体代入代数式数值即可．
此题考查代数式求值，注意整体代入，渗透整体思想． 14.答案：向右平移4个单位长度 绕原点顺时针旋转
B的坐标分别为解析：解：如图所示，点A、、，点、的坐标分别为
由线段AB得到线段的过程是向右平移4个单位长度；
求得
、，
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连接“，“，作这两条线段的垂直平分线，交于点O，“，则 由线段得到线段的过程是：绕原点O顺时针旋转； 故答案为：向右平移4个单位长度；绕原点顺时针旋转．
依据对应点的坐标，即可得到平移的方向和距离；依据对应点的位置，即可得到旋转中心和旋转角度．
本题主要考查了坐标与图形变换，在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行共线且相等．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．
15.答案：
解析：解：连接OB，
是的切线，
，
，
当点P在线段AO上时，AP最小为2，
当点P在线段AO的延长线上时，AP最大为6，
的长的取值范围是， 故答案为：． 连接OB，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出OA，根据题意计算即可． 本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
16.答案：
D两点，解析：解：如图，将阴影区域绕着点O逆时针旋转，与直线交于C，则点
在线段CD上，
又点D的纵坐标为
的取值范围是，点C的纵坐标为3，
，
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故答案为：．
将阴影区域绕着点O逆时针旋转，与直线交于C，D两点，则点A在线段CD上，据此可得m的取值范围．
本题主要考查了旋转的性质，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
， 17.答案：解：去分母，得
去括号，得 ， 移项，合并同类项：， 系数化为1：， 把解集表示在数轴上：
解析：先去分母、去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18.答案：解：原式
．
解析：直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
方程有两个不相等的实数根， 19.答案：解：
，
解得
又m为非负整数，
； 当时，方程变形为， 解得，．
解析：判别式的意义得到，再解不等式得到m的范围，然后在此范围内找出非负整数即可；
利用中m的值得到，然后利用因式分解法解方程． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当
时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当
时，方程无实数根．
20.答案：解：一次函数．
的图象过点，
解得，．
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一次函数的表达式为一次函数的图象与反比例函数
， ．
图象过点，
．
图象交于点
，
解得，由反比例函数得
，
反比例函数的表达式为
．
解析：解答：见答案；
由一次函数的表达式为即， 直线：与直线
∽，
又，
，即
又
， ，
的值为故答案为：【分析】
． ．
．
，可得：
， 互相平行，
，
依据一次函数的图象过点，即可得到一次函数的表达式为图象交于点
再根
据一次函数的图象与反比例函数
图象过点
由一次函数的表达式为
互相平行，即可得出
，即可得出a的值，由反比例函数
． ：
与直线
，即可得到
：，
，可得反比例函数的表达式为
，可得∽
，依据直线，依据
进而得出m的值为．
本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，利用相似三角形的性质建立方程． 21.答案：证明：连接OE，
与边AC相切，
， ， ，
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，
， ，又
；
解：在
， ， ，即
解得，
，
．
解析：连接OE，根据切线的性质得到，根据平行线的性质、角平分线的性质证明结论；
根据正弦的定义求出AB，根据相似三角形的性质求出OB，计算即可．
本题考查的是切线的性质、解直角三角形、圆周角定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
抛物线经过点和， 22.答案：解：可得：解得：
，
中，
，
，
，
，
． ，
抛物线的表达式为
顶点坐标为 设点
若直线若直线直线
；
关于的对称点为经过点和经过点和平行x轴时，．
，则点
，可得，可得
． ． ．
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综上，或．
解析：把点A、B的坐标代入抛物线解析式，列出关于a、c的方程组，通过解该方程可以求得它们的值．由函数解析式求得顶点坐标；
根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．
本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度．
如图1，补全图形 23.答案：解：
连接AD，如图1． 在中，
，，，
线段AN平移得到线段DM，
， ，， ∽．
连接NQ，
由平移知：，且．
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， ． ，且．
四边形ANQP是平行四边形．
．
．
又，
． ，
．
又
是BC的中点，且
．
负数舍去．
．
，
解析：利用平移的性质画出图形，再利用相似得出比例，即可求出线段DP的长．
根据条件，利用平行四边形的性质和相似三角形的性质，求出BN的长即可解决． 本题考察的是等腰三角形的性质与相似三角形的综合应用，利用相似比求线段长是重难点，按题意画出图形是解决本题的关键．
解：当x取值a和时，函数值分别为，，故，24.答案：
因此函数是限减函数，它的限减系数为2．
若
，则
，
和
是函数图象上两点，不符，
，与函数的限减系数
．
若
，
， ，且
，与函数的限减系数
．
若
，
，
和
不符．
和
是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则，
，
是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则，
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，且
，当
的取值范围是设对于抛物线由题意：对于抛物线由题意：
解得，
满足条件的P点横坐标n的取值范围：
解析：根据限减函数的定义即可判断；
根据限减函数分设
，
，
，
．
，
时，等号成立，故函数的限减系数
．
，则翻折后的抛物线的解析式为
，
，，解得
， ，
，
是抛物线图象上两点，
是抛物线图象上两点，
．
，分别构建不等式即可解决问题；
，对于抛物线
，
，则翻折后的抛物线的解析式为，
是抛物线图象上两点， ，解得
是抛物线图象上两点，由题意：
，对于抛物线
由题意：，，
解得，由此即可解决问题；
本题考查二次函数综合题、限减函数的定义、不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
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