相似三角形(含练习有答案、例题和知识点)

一、基础知识

(一).比例

1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2.比例性质：

acabadbc b2ac bdbcacabcd（2）合比定理： bdbdacmacma（3）等比定理：.(bdn0)

bdnbdnb（1）基本性质：

3.黄金分割：如图，若PAPBAB，则点P为线段AB的黄金分割点．

2APB4．平行线分线段成比例定理

(二)相似

1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.

2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等. 3.相似三角形的判定

 （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。  （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三

角形相似。

 （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角

形相似。

4.相似三角形的性质

 （1）对应边的比相等，对应角相等.  （2）相似三角形的周长比等于相似比.

 （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.

 （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.

梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:

１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等

3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似:

位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

二、经典例题

例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC与△DEF是否相似？

[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力. [参考答案] ①135°，22 ②能判断△ABC与△DEF相似，

ABBC∵∠ABC=∠DEF=•135°，=2 DEEF【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断． 例2. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC． [考点透视]本例主要是考查相似的判定

[参考答案] ∠1=∠B或∠2=∠C，或

ADAE ABAC点评：结合判定方法补充条件．

例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD•的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（ ）

A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米 [考点透视]本例主要是考查相似的应用 [参考答案] B

【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“

1.5”． AB例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，•这个正方形零件的边长是多少？

[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用 [参考答案] 48mm

【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，•一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．

例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y． （1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；

（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x•之间的函数关系式还成立，试说明理由．

[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.

[参考答案]解:在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=•∠ACB=75°，∠ABD=

∠ACE=105°．

又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．• 又∠DAB+•∠ADB=∠ABC=75°，

∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC，

ABBD1x1,即，∴y=． ECACy1x1当α1β满足β- =90°，y=仍成立．

x2∴

此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，

∴∠CAE=∠ADB．

又∵∠ABD=∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y=

1． x【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系． 例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？

解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．

[考点透视]本例主要是考查位似的性质.

80[参考答案] m

7【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．

三．适时训练

（一）精心选一选

1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线

mn2mnmnmn （B） （C） （D） mnmnmn2mnAD12．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（ ）

AC3段长为（ ）（A）

（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD

题2 题4 题5

3．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）

（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条

4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（ ）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

5．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（ ）

（A）∠APB＝∠EPC （B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP︰BC＝2︰3 6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件： （1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）

CDAC＝；（4）AB2＝BD·BC ADAB其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（ ）

（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个

题6 题7 题8

7．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（ ）

（A）AE⊥AF （B）EF︰AF＝2︰1（C）AF2＝FH·FE （D）FB︰FC＝HB︰EC 8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（ ）

（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长 （B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积 （C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC

9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（ ）

（A）4︰10︰25 （B）4︰9︰25 （C）2︰3︰5 （D）2︰5︰25

题9 题10 题11

10．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（ ）．

（A）5︰12 （B）9︰5 （C）12︰5 （D）3︰2 11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝

1AB，连结EM并延4长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（ ）

（A）2︰1 （B）3︰2 （C）3︰1 （D）5︰2

12．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（ ）

（A）4 cm、10 cm （B）5 cm、10 cm（C）4 cm、23 cm （D）5 cm、23 cm

题12

（二）细心填一填

13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与

a－b的比例中项是_____cm． 14．若

abbcac＝＝＝－m2，则m＝______． cab15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，

则DE＝_______．

16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝︰AC＝______．

1FD，EF交AC于G，则AG2 题16 题17 题18 17．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．

18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______

（只要写出一种合适的条件）．

19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．

题19 题20 题21

20．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则

△ABC的面积是______．

21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD

面积是_________．

22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，AD＝8 cm，BC＝14 cm，

则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．

(三)认真答一答

23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．

24. 如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，

求证

ACAF＝． BCDF

25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连

结BE交AC于F，求证AF＝FC．

26. 已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．

求证：

AECG＋＝1． ABCD

27. 如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．

28. 如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．

（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？

（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB． 求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．

29. 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC

（AB＞AE）．

（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

（2）设

AB＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的BC结论并求出k的值；若不存在，说明理由．

30. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点P从点C出发，以每秒

2 cm的 速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝

1S△ABC？ 4

31. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m•长且平 行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．

32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：

如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC是否相似？

某学生对上题作如下解答：

答：△AOB∽△DOC．理由如下：

在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴

AODO， OCOB∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC． 请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．

33. 如图：四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，①过C作对角线BD的垂线交BD、AD于

点E、F，求证：CD2DFDA；②如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？

AFDAEBCFEDB

34. 阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口

GC下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.

35. （1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△

EDC，连结AE。求证：AE//BC；

（2）如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作△EDC

改成相似于△ABC。请问：是否仍有AE//BC？证明你的结论。

36. 如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直经BD=6，连结CD、AO。（1）求证：CD∥AO；

（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB的长。

37. 已知：如图，在正方形ABCD中，AD = 1，P、Q分别为AD、BC上两点，且AP=CQ，连结AQ、BP交于点E，EF平行BC交PQ于F，AP、BQ分别为方程x2mxn0的两根.（1）求m的值（2）试用AP、BQ表示EF

（3）若S△PQE =，求n的值

38. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点

A以1cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（0t6），那么：

（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式。 Y （2）当△POQ的面积最大时，△ POQ沿直线PQ翻折 后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上， 并说明理由。

（3）当t为何值时， △POQ与△AOB相似？

B Q O P A 18X

39. 如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ABC的面积．

40. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．

41.(09延庆一模) 在Rt△ABC中，∠C=90， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D， DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F （1）求证:AC是⊙O的切线;

O A E D B FC （第41题）

（2）联结EF，求

EF的值. AC

42.(09东城一模) 请阅读下列材料：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如右图1,若弦AB、CDD交于点AP则PA·PB=PC·PD．请你根据以上材料，解决下列问题.

CPBO （图1）

已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作一弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R.（如图2）

(1)若AC恰经过圆心O,请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：

11的值； PQPR(2)若OP⊥AC, 请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：

11的值； PQPR11的值，并给PQPR(3)若AC是过点P的任一弦（图2）, 请你结合(1)(2)的结论, 猜想：

Q出证明． A mP RPPO COO 43.(09昌平一模) .已知（图2） （图3） （图4） 在射线OM上移AOB90，OM是AOB的平分线．将一个直角RPS的直角顶点Pn动，点P不与点O重合.

（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且PG3GDPD，求的2OD值；

（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与OCD相似，请画出示意图；当OD1时，直接写出OP的长.

APRCGODMBS

44.(09昌平二模) 图1是边长分别为43 和3的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C重合）．

（1）固定△ABC，将△CDE绕点C顺时针旋转30得到△CDE，连结AD、BE（如图2）．此时线段BE与AD有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（2）设图2中CE的延长线交AB于F，并将图2中的△CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△QRP（如图3）．设△QRP移动（点

P、Q在线段CF上）的时间为x秒，若△QRP与△AFC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）若固定图1中的△CDE，将△ABC沿CE方向平移，使顶点C落在CE的中点处，再以点C为中心顺时针旋转一定角度，设ACC3090，边BC交DE于点M，边AC交DC于点N（如图4）．此时线段CNEM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出CNEM的值；如果有变化，请你说明理由．

A AAA

B RDD'FD'

NEP MQCC' BCBE'C'CBE(C')(C')

图1 图2 图3 图4

45.(09通州二模) 如图：AB是⊙O的直径，AD是弦，DAB22.5，延长AB到点C， 使得ACD2DAB．

(1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AB22，求BC的长．

46.(09房山二模) 已知：如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC =∠A.

（1）求证： BC是⊙O的切线；

（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长.

CDEBOA47.(09朝阳二模) 在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CDE（使BCE＜180°），连接AD、BE，设直线BE与AC交于点O.

（1）如图①，当AC=BC时，AD:BE的值为 ；

（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求AD:BE的值；

（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值.

AADE'OCD'DE'OD'BEBEC

图① 图②

48.(09东城二模) 如图，在直角梯形ABCD中，

AD//BC,DC⊥BC,AB=10,AD=6,DC=8,BC=12,点E在下底边BC上，点F在AB 上． （１）若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

（２）是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE

的长；若不存在，请说明理由．

（３）若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为１：２两部分，将△BEF的面积记为S1,五边形AFECD的面积记为S2,且S1:S2k,求出k的最大

AD值． F

B E

49.(09门头沟二模) ．在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连结BE，且BE＝2AE， BD是∠EBC的平分线．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．

（1）当点P在线段ED上时（如图①），求证：BEPD+3PQ； 3C3（2）当点P在线段ED的延长线上时（如图②），请你猜想BE、PD、PQ三者之间

3的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）； （3）当点P运动到线段ED的中点时（如图③），连结QC，过点P作PF⊥QC，垂足

为F，PF交BD于点G．若BC＝12，求线段PG的长．

AQB图1C QB图2C BEPD AED PAQF图3EPG C D

50.(同上)．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P从点B

出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结PQ．若设运动的时间为t秒

（0＜t＜2）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）设△AQP的面积为y，求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分？若存在，

请求出此时t的值；若不存在，请说明理由； （4）连结PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形PQPO，那么是否存在某一时刻t，

使四边形PQPO为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存

在，请说明理由．

yBPOQAx

参 考 答 案

（一）精心选一选

1．B 2.B 3.C 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B

（二）细心填一填

13． 【答案】

8；42． 14．【提示】分a＋b＋c≠0和a＋b＋c＝0两种情况 【答案】±1． 315．【提示】由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用△ABC∽△AED． 【答案】10． 16．【提示】延长FE交CB延长线于H点，则AF＝BH，考虑△AFG∽△CHG． 【答案】1︰5． 17．【提示】分“”类和“”类两类． 【答案】6对． 18． 【答案】∠B＝∠ACP，或∠ACB＝∠APC，或AC2＝AP·AB． 19． 【答案】6． 20．【提示】作EF∥BC交AD于F．设BE交AD于O点，先求出OD长和OB长，最后用勾股定理求出BD的长． 【答案】144．

21． 【提示】作AE∥DC交BC于E点，由Rt△ABE∽Rt△CBA，依次算出BE、AB的长，最后求出

AE的长，即可求出梯形面积． 【答案】36．

(三)认真答一答

22．【提示】延长EA，与CD的延长线交于P点，则△APD∽△EPF∽△BPC． 【答案】

20 1323．方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．

【提示】先任意画一个格点钝角三角形，然后三边都扩大相同的倍数，画出另一个格点钝角三角形． 24．【提示】过F点作FG∥CB，只需再证GF＝DF．

【答案】方法一：作FG∥BC交AB延长线于点G．

∵ BC∥GF，

∴

ACAF＝

BCGF．

又 ∠BDC＝90°，BE＝EC， ∴ BE＝DE． ∵ BE∥GF， ∴

DFGF＝

DEBE＝1． ∴ DF＝GF． ∴

方法二：作EH∥AB交AC于点H．∵ ∠BDC＝90°，BE＝EC，

∴ BE＝DE． ∴

ACAH＝

BCBEACAF＝

BCDF，

AFDF＝

ACAF＝

BCDFAH， DE．

．

25．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．

【提示】先证△BCF∽△DBA，再证

FC1＝． AC2FCBC＝． ABDBFCBC1＝＝． AC2BC2AF＝FC．

【答案】∵ BC＝CD，EC⊥BD， ∴ BE＝DE，∠FBC＝∠D．

又 AB＝AC， ∴ ∠BCF＝∠DBA．

∴ ∠BCF∽△DBA． ∴ 又 BD＝2BC，AB＝AC， ∴ ∴ FC＝

1AC． 因此 2＝1．

26．已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．

求证：

AECG＋

ABCD

【提示】利用AC＝AF＋FC． 【答案】∵ EF∥BC，FG∥AD，∴

∴

AECG＋

ABCD＝

AEAFCG＝，

ABACCDAFCFAC＋＝＝1． ACCAAC＝

CF． CA27．如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：

（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．

【提示】（1）证△BCG∽△DCG；（2）证Rt△HBG∽Rt△CFG． 【答案】（1）DG为Rt△BCD斜边上的高，

∴ Rt△BDG∽Rt△DCG．∴

CGDG＝，即DG2＝BG·CG． DGBG（2）∵ DG⊥BC， ∴ ∠ABC＋∠H＝90°，CE⊥AB．

∴ ∠ABC＋∠ECB＝90°．∴ ∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB．∴ ∠H＝∠ECB．

又 ∠HGB＝∠FGC＝90°，∴ Rt△HBG∽Rt△CFG．∴

BGGH＝

GFGC，

∴ BG·GC＝GF·GH．

28．如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．

（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？

（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB． 求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．

【提示】利用三角形相似，推出BD＝

ba2．

【答案】（1）∵ ∠ABC＝∠CDB＝90°，∴ 当

即

ab＝．∴ bBDACBC＝时，△ABC∽△CDB． BCBDb2b2BD＝．即当BD＝时，△ABC∽△CDB．

aa∵ △ABC∽△CDB，∴ ∠ACB＝∠CBD．∴ AC∥ED．

又 ∠D＝90°，∴ ∠ACD＝90°．∴ ∠E＝90°．∴ 四边形AEDC为矩形．

29．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC

（AB＞AE）．

（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

（2）设

AB＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出kBC的值；若不存在，说明理由．

【提示】（1）如图，证明△AFE≌△DGE，证出∠AFE＝∠EFC．

（2）证明∠ECG＝30°，∠BCF＝30°． 【答案】如图，是相似．

【证明】延长FE，与CD的延长线交于点G．

在Rt△AEF与Rt△DEG中，

∵ E是AD的中点，∴ AE＝ED．

∵ ∠AEF＝∠DEG，∴ △AFE≌△DGE． ∴ ∠AFE＝∠DGE．∴ E为FG的中点．

又 CE⊥FG，∴ FC＝GC．∴ ∠CFE＝∠G．∴ ∠AFE＝∠EFC．

又 △AEF与△EFC均为直角三角形，∴ △AEF∽△EFC． ① 存在．如果∠BCF＝∠AEF，即k＝

3AB＝时，△AEF∽△BCF．

2BC∠ECG＝30°．

证明：当

3ABDC＝时，

2BCDE＝

3，∴

∴ ∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．∴ ∠BCF＝90°－60°＝30°．

又 △AEF和△BCF均为直角三角形，∴ △AEF∽△BCF．

② 因为EF不平行于BC，∴ ∠BCF≠∠AFE．∴ 不存在第二种相似情况．

30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点P从点C出

发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使

S△BCP＝

1S4△ABC

？

【提示】先求CP，再求DP．

【答案】当点P从点C出发，运动在CA上时，若S△BCP＝

1S4△ABC

，则

111·CP·BC＝·AC·BC， 242∴ CP＝

1·AC＝2（cm）． 41S4△ABC

故由点P的运动速度为每秒2 cm，它从C点出发1秒时，有S△BCP＝发运动到AB上时，如图，可过点P作PD⊥BC于D．

若S△BCP＝

．当点P从点C出

1S4△ABC

，则

∴

111PD·BC＝·AC·BC． 2421PD＝AC＝2（cm）．

4BPPD＝． ABAC∵ Rt△BAC∽Rt△BPD， ∴

又 AB＝故

AC2BC2＝10， 21055BP＝＝，AP＝AB－BP＝10－＝7.5．

2281S4△ABC

也就是说，点P从C出发共行15.5 cm，用去7.75秒，此时S△BCP＝

答：1秒或7.75秒．

31. BC=50m，AM≈133米． 32. 错误，∵

．

AOBO ODOC33. 证△DCE∽△DBC得DC2=DE·DB再证△DEF∽△DAB得DE·DB=DA·DF

(2)AD·DF=DG·DC 34. BC=4m

35. 证（1）△EAC与△DBC全等,得到∠EAC=∠B,而∠B=∠ACB,得∠EAC=∠ACB 故AE//BC

(2) △EAC∽△DBC得到∠EAC=∠B,而∠B=∠ACB,得∠EAC=∠ACB 36. （1）连接BC交OA于E点 ∵AB、AC是⊙O的切线，

∴AB=AC, ∠1=∠2 ∴AE⊥BC ∴∠OEB=90O ∵BD是⊙O的直径 ∴∠DCB=90O ∴∠DCB=∠OEB ∴CD∥AO… (2)∵CD∥AO ∴∠3=∠4 C ∵AB是⊙O的切线，DB是直径

3 ∴∠DCB=∠ABO=90O D ∴△BDC∽△AOB ∴

BDDC

= AOOB

A12E4BO图206x18

∴ = ∴y = ∴0y3x

xy11 (3)由已知和(2)知：……………8分

xy18 把x、y看作方程z2-11z+18=0的两根

解这个方程 得 z=2或z=9

x12x9y9 ∴ 1 2 （舍去） ∴AB=92-32 =72 =6

y2237. （1）∵AP=QC，AP+BQ=QC+BQ=BC=1

又∵AP、BQ分别为方程x2mxn0的两根，有AP+BQ=m，AP·BQ=n ∴AP+BQ=m=1（2分） （2）∵EF∥AP∴

EFEQEQBQ 又∵AP∥BQ∴ APAQAEAP∴

EQBQEQBQ 即

AEEQAPBQAQAPBQEFBQAPBQ即：EF APAPBQAPBQ∴

（3）连结QD，则EP∥QD，得：S△AQD=∴S△AEP= AP2·S△AQD=

1，且S△AEP∶S△AQD=AP2∶AD2= AP2∶1= AP2 212

AP∴S△PQE∶S△AEP=EQ∶AE， 2即∶

181211AP= EQ∶AE=BQ∶AP ∴AP·BQ=即：n= 2441×OP×238. 解（1）∵OA=12,OB=6由题意，得BQ=1·t=t，OP=1·t=t∴OQ=6－t∴y=

OQ=

11·t（6－t）=-t2＋3t（0≤t≤6） 221（2）∵yt23t ∴当y有最大值时，t3∴OQ=3 OP=3即△POQ是等腰直角三

2角形。把△POQ沿PQ翻折后，可得四边形OPCQ是正方形∴点C的坐标是（3，3）∵

19A(12,0),B(0,6)∴直线AB的解析式为yx6当x3时，y3，∴点C不

22落在直线AB上

（3）△POQ∽△AOB时①若

OQOP6tt，即，122tt，∴t4②若OAOB612OQOP6tt，即，6t2t，∴t2∴当t4或t2时，△POQ与△AOB相126OBOA似。

39. 【提示】利用相似三角形的性质，列出关于ED的方程，求ED的长，即可求出S△ABC．

【答案】∵ 矩形PQMN，∴ PN∥QM，PN＝QM．∵ AD⊥BC，

∴ AE⊥PN．∵ △APN∽△ABC，∴

PNBC＝

AE． AD设ED＝x，又 矩形周长为24，则PN＝12－x，AD＝16＋x． ∴

12x16＝．即 1016xx2＋4x－32＝0．解得 x＝4．

∴ AD＝AE＋ED＝20．∴ S△ABC＝

1BC·AD＝100． 2【点评】本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比． 40. 【提示】先证PB＝PC，再证△EPC∽△CPF．

【答案】连结PC．

∵ AB＝AC，AD是中线，∴ AD是△ABC的对称轴． ∴ PC＝PB，∠PCE＝∠ABP．∵ CF∥AB， ∴ ∠PFC＝∠ABP．∴ ∠PCE＝∠PFC． 又 ∠CPE＝∠EPC，∴ △EPG∽△CPF．

∴

PCPE＝．即 PFPCPC2＝PE·PF．∴ BP2＝PE·PF．

【点评】本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．

41.（1） 证明：连结OD，-------1分 ∵C90，∴DBCBDC90． 又∵BD为∠ABC的平分线，∴ABDDBC． ∵OBOD，∴ABDODB

∴ODBBDC90，即∴ODC90-----2分

又∵OD是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线． ………………………………………………3分 （2） 解：∵ DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，

oBFEDCA ∴BE是⊙O的直径， 设⊙O的半径为r，

在Rt△ABC中， AB2BC2CA292122225， ∴AB15

∵AA，ADOC90，∴△ADO∽△ACB． AOOD15rr．∴．

ABBC1594545∴r．∴BE ·············· 4分

84∴

又∵BE是⊙O的直径．∴BFE90．∴△BEF∽△BAC 45EFBE3∴4．……………………………5分 ACBA15442.解：（１）ＡＣ过圆心Ｏ，且m,n分别切⊙O于点A,C

ACm于点A,ACn于点C，Q与A重合，R与C重合. OP=1,AC=4,(2)连接OA

POA

m11141.PQPR331分CnOPAC于点P,且OP1,OA2,OAP30.AP3.OA直线m,PQ直线m,OA//PQ.PQA90.APQOAP300.3在RtAQP中，PQ.23同理，PR211224PQPR33300AQmPORCn3分(3)猜想114PQPR34分

证明:过点A作直径交O于点E，连接EC,ECA=900.AE直线m，PQ直线m,

AE//PQ且PQA900.AQMEACAPQ.mPR∴△AEC∽△PAQ．

OCACAENEPQAP.① n同理可得：ACPRAEPC.②

①+②，得

ACPQACPRAEAPAEPC.11AE11PQPRAC(APPC)AEPCAPAEAC•AP•PCAP•PC过点P作直径交O于点M,N

由阅读材料可知：AP•PCPM•PN311PQPR43.8分43. 解：（1）PC与PD的数量关系是相等 ．

证明：过点P作PHOA，PNOB，垂足分别为点H、N． ∵AOB90，易得HPN90．

1CPN90，

A而2CPN90，

PM12． H1∵OM是AOB的平分线，

RC2PHPN，

G又PHCPND90， 3△PCH≌△PDN． ONDBPCPD．

S（2）PCPD，CPD90， 345， POD45， 3POD．

又GPDDPO， △POD∽△PDG．

1分2分3分

GDPG． ODPD3PD， 24分 6分

∵PGGDPG3． ODPD2（3）如图1所示，若PR与射线OA相交，则OP1；

如图2所示，若PR与直线OA的交点C与点A在点O的两侧，则OP

AM21．

8分

APMPCGREO图1DSBOCEDBS

R图2

44. 解：（1）BEAD. ………………………………………………………………1分 证明：如图2，∵△ABC与△DCE都是等边三角形，△CDE绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，

∴△CDE也是等边三角形，且230，

∴ACBDCE60, CACB,CECD. …………………………………2分

A∴130, ∴330, ∴23.

∴△BCE≌△ACD，

∴ BEAD. ……………………………………3分 （2）如图3，设PR、RQ分别与AC交于点O、L.

DE213BC(C') 图2 ∵△CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移x秒， 平移后的△CDE为△PQR，

CQx.

由（1）可知PQRPRQBCA60,BCF30，

ACF30，

CLQRLO30.

LQCQx,ROL90. QR3,

RL3x.

在Rt△ROL中，OR311(3x). RL(3x)，OLRLcos30222SROL13ROOL(3x)2.…………………………………………………………4分 28AOPBKQ过点R作RKPQ于点K.

33在Rt△RKQ中， RKRQsin60，

2SRPQ193PQRK. 24FRLC 图3 ySRPQSROL323393xx. ……………………………………5分 848BCF30,B60，BFC90.

当点P与点F重合时，FQPQ3，∵CFBCsin606， ∴CQ3.

∴此函数自变量x的取值范围是0x3 . …………………………………………6分

（3）CNEM的值不变 . ……………………………………………………7分 证明：如图4，由题意知，54180， ∴1204，

A在CME中，61204， ∴6.

又∵CE60， ∴△EMC∽△CCN，

BD'NME'645EMEC∴． CCCN∵点C是CE的中点，CE3，

CC' 图4∴

ECCC32，∴

3EM23CN2，∴

CNEM9． ………………………………………………………………8分 445. （1）证明：连结DO ………………………………1分

∵ AO=DO

∴∠DAO=∠ADO=22.50 ∴∠DOC=450 又∵∠ACD=2∠DAB

∴∠ACD=∠DOC=45

0

∴∠ODC=900 ………………2分

∴CD是⊙O的切线

（2）解：连结DB ………………………………………3分

∵ AB是⊙O的直径 ∴∠ADO＋∠ODB=900

由（1）知∠CDB＋∠ODB=900

AD∴∠ADO=∠OAD=∠CDB ………4分 又∵∠DCB=∠ACD ∴ △ADC∽△DBC

DCABBC∴ =

BCDC∴

OBC222BC BC2∴BC=2-2 BC=-2-2(舍负)

∴ BC=2-2 ………………………………………5分

46. 证明：（1）∵AB为⊙O的直径

∴D=90°, A+ABD=90°

∵∠DBC =∠A

∴∠DBC+∠ABD=90°

∴BC⊥AB -----------------1分 ∴BC是⊙O的切线 -----------------2分

（2）∵OC∥AD，D=90°，BD=6

∴OC⊥BD

∴BE=

1BD=3 -----------------------------------------------3分 2 ∵O是AB的中点

∴AD=2EO - ∵BC⊥AB ，OC⊥BD

∴△CEB∽△BEO，∴BECE•OE ∵CE=4， ∴OE∴AD=

29 ----------------------------------------------4分 49 ----------------------------------------------5分 247.(1)1

（2）解：∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB．∴

ECDC． BCAC由旋转图形的性质得，ECEC,DCDC,

ECDC． BCAC∵ECDECD,

∴

∴ECDACEECDACE,即BCEACD． ∴BCE∽ACD. ∴…

ADAC5．…………………………………………………………………………BEBC4…

4

分

（3）解：作BM⊥AC于点M，则BM=BC·sin60°=23． ∵E为BC中点， ∴CE=

1BC=2． 2AMDE'OBEC△CDE旋转时，点E在以点C为圆心、CE长为半径 的圆上运动．

∵CO随着CBE的增大而增大，

∴当BE与⊙C相切时，即BEC=90°时CBE最大， 则CO最大．

∴此时CBE=30°，CE=

D'1BC=2 =CE． 2∴点E在AC上，即点E与点O重合． ∴CO=CE=2．

又∵CO最大时，AO最小，且AO=AC－CO=3． ∴SOAB最小…

1AO•BM33．…………………………………………………………2…

8

分

48. 解：（1）由已知，得梯形周长＝３６，高＝８，面积＝７２．

过点F作FG⊥BC于点G, 过点A作AK⊥BC于点K, 则△BFG∽△BAK 可得 FG∴SBEF4(18x) 5F1236BEFGx2x(8x12)………………３分 2552236xx36， 552AD（２）不存在…………………４分 由（１）B整理得：(x9)9，此方程无解．…………………５分

GkEC不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分．

（３）由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为１：２两部分，只能是FB+BE与FA+AD+DC+CE的比是１：２．…………６分

kS1:S2S1

72S1要使k取最大值，只需S1取最大值．

4(12x) 51224S1BEFGx2x(2x12)

255721当x6时，S1取最大值．此时k

451∴k的最大值是．………………………８分

4与（１）同理，FG49. （1）证明：如图①，∵四边形ABCD是矩形，

AABCC90，AD∥BC． EDBDBC． ∵BE＝2AE， ABE30．

EBCABCABE60． ∵BD是∠EBC的平分线，

∴EBDDBC1EBCEDB30．

2AQBEMPD 图1C EBED．

PQ∥BD，EQPEBD，EPQEDB． EPQEQP30，EQEP．

过点E作EMQP垂足为M，PQ2PM． PMPEcosEPMPEcos30PE3PE． 23········································································ 1分 PQ． ·3BEDEPDPE，

BEPD3································································ 2分 PQ． ·33（2）解：当点P在线段ED的延长线上时，猜想：BE3PQPD．…………………4分 （3）解：连结PC交BD于点N（如图③）

点P是线段ED的中点，BE＝DE＝2AE，BC＝12， EPPD4．

AEQPG FNDDCBCtan3043，

PCPD2DC28，BDBC2DC283．

cosDPCPD1．DPC60．

PC2B图3CPQ∥BD， PQ1BD43． 2QPC180EPQDPC90，PNDPNG90．

PN122·········································· 5分 PD2，QCPQPC47． ·

2PGN90FPC，PCF90FPC， PGNPCF．

PNGQPC90，

······································································ 6分 △PNG∽△QPC． ·

PGPN．

QCQP247221． ····································································· 7分 34350. 解：（1）设直线AB的解析式为ykxb，

PG34kb0,k, ∴ 解得 4

b3.b3.∴直线AB的解析式是y=-3x3． ·················································· 1分

4y22（2）在Rt△AOB中，ABBOAO5，

BP依题意，得BP = t，AP = 5－t，AQ = 2t， N过点P作PM⊥AO于M．

OMQAxP'∵△APM ∽△ABO， ∴PMAP．

BO3AB5∴PM5t．

∴PM33t．………………………2分

5∴y1AQPM12t(33t)3t23t． ·································· 3分

2255（3）不存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分．

若PQ把△AOB周长平分，则AP+AQ=BP+BO+OQ． ∴(5t)2tt3(42t)．

解得t1．·················································································· 4分 若PQ把△AOB面积平分，则SAPQ∴－t2＋3t=3．

∵ t=1代入上面方程不成立，

∴不存在某一时刻t，使线段PQ把△AOB的周长和面积同时平分． ······· 5分 （4）存在某一时刻t，使四边形PQPO为菱形．

过点P作 PN⊥BO于N，

若四边形PQP ′ O是菱形，则有PQ＝PO． ∵PM⊥AO于M， ∴QM=OM．

∵PN⊥BO于N，可得△PBN∽△ABO． ∴PNPB ．

AOAB351SAOB． 2 ∴

PNt． 45∴PN4t． 55∴QMOM4t．

44tt2t4． 5510∴t．

9

∴

∴当t

10

时，四边形PQP ′ O 是菱形． ········································· 6分 9

9∴OQ=4－2t =16．

∴点Q的坐标是（16，0）． ··························································· 7分

9∵PM3t357，OM4t8， 3599819在Rt△PMO中，POPM2OM24964505， ∴菱形PQP ′O的边长为

505． ······················································ 8分 9