长春市九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试卷(含答案解析)

一、选择题

1．用配方法解方程x2﹣6x﹣3＝0，此方程可变形为（ ） A．（x﹣3）2＝3 C．（x+3）2＝12 A．（x+2）2＝3

B．（x+2）2＝11

B．（x﹣3）2＝6 D．（x﹣3）2＝12 C．（x﹣2）2＝3

D．（x﹣2）2＝11

2．用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（ ）

2774233．x是下列哪个一元二次方程的根（ ）

22A．2x27x30 C．2x27x30

4．方程x22x的解是（ ） A．x0 C．x10，x2B．2x27x30 D．2x27x30 B．x2

2

D．x10，x22 5．若x=0是关于x的一元二次方程（a+2）x2- a-2x+a2+a-6=0的一个根，则a的值是（ ） A．a ≠2

B．a=2

C．a=-3

D．a=-3或a=2

6．小刚在解关于x的方程ax2bxc0(a0)时，只抄对了a1，b4，解出其中一个根是x1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（ ）

A．不存在实数根

B．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根

C．有一个根是x

7．方程xx5x5的根为（ ） A．x15，x25 C．x0

B．x11，x25 D．x1x25 B．有两个相等的实数根 D．以上说法都不正确

8．不解方程，判断方程3x26x20的根的情况是（ ） A．无实数根

C．有两个不相等的实数根

9．《代数学》中记载，形如x28x33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为331649，则该方程的正数解为743．”小聪按此方法解关于

x的方程x210xm0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则

该方程的正数解为（ ）．

A．6

B．533 2C．532 D．535

10．关于x的方程x2﹣kx﹣2＝0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根

B．没有实数根 D．无法确定

2211．已知关于x的一元二次方程x-2m1xm＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）

A．m0 B．m1 4C．m1 4D．m1 412．如图，BD为矩形ABCD的对角线，将△BCD沿BD翻折得到△BCD，BC与边AD交于点E．若AB＝x1，BC＝2x2，DE＝3，其中x1、x2是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，则m的值是（ ）

A．

16 5B．

12 5C．3 D．2

二、填空题

13．若关于x的一元二次方程x24xk0有两个相等的实数根，则k______． 14．已知 x1,x2是一元二次方程3x112的两个解，则x1x2_______． 15．若关于x的一元二次方程x3c有实根，则c的值可以是_________________．(写出一个即可)

16．若m是方程x2x10的根，则2m22m2018的值为__________

17．等腰三角形ABC中，BC8，AB、AC的长是关于x的方程x210xm0的两根，则m的值是___．

18．当m___________时，方程m3x22m21mx50是一元二次方程．

19．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优

化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x，根据题意，可得方程_______

20．已知x2是关于x的方程x22xm0的一个根，则m=_________．

三、解答题

21．如图，ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．

（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟，使SQPC8cm2？

QPC（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，经过几秒钟后S（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？

4cm2？

22．解下列方程： （1）2x2﹣4x＋1＝0； （2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2． 23．解下列方程

2（1）2(x4)2x16；

（2）x2x2． 24．解方程： （1）x2+10x+9＝0； （2）x2﹣3x＝

1． 425．如图,为了美化街道，刘大爷准备利用自家墙外的空地种两种不同的花卉，墙外宽度无限，墙的最大可用长度是11.5m，现有长为21m的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有一道隔栏的长方形花圃．

（1）若要围成总面积为36平方米的花圃，边AB的长应是多少？

（2）花的面积能否达到39平方米？若能，求出边AB的长；若不能，请说明理由．

26．解方程

（1）2x1250

22x2xy（2）13x

xy2

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【分析】

先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案． 【详解】

由原方程移项得：x2﹣6x＝3，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x2﹣6x+9＝12， 配方得；（x﹣3）2＝12． 故选：D． 【点睛】

此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．

2．D

解析：D 【分析】

方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可． 【详解】

解：x2﹣4x﹣7＝0， 移项得：x24x7

配方得：x24x474 ，即(x2)211 故答案为：D． 【点睛】

本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

3．C

解析：C 【分析】

根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．

【详解】

277423A、2x7x30的解为x，不符合题意；

222B、2x7x30的解为x22772423，不符合题意；

22277423C、2x7x30的解为x，符合题意；

22D、2x7x30的解为x故选：C． 【点睛】

2772423，不符合题意；

22本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．

4．C

解析：C 【分析】

移项并因式分解，得到两个关于x的一元一次方程，即可求解． 【详解】

解：移项，得x22x0， 因式分解，得xx20， ∴x0或x20， 解得x10，x2故选：C． 【点睛】

本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．

2，

5．B

解析：B 【分析】

将x=0代入方程中，可得关于a的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件． 【详解】

解：将x=0代入（a+2）x2- a-2x+a2+a-6=0中， 得： a2+a-6=0， 解得：a1=﹣3，a2=2， ∵a+2≠0且a﹣2≥0，即a≥2， ∴a=2， 故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．

6．A

解析：A 【分析】

直接把已知数据代入进而得出c的值，再利用根的判别式求出答案． 【详解】

∵小刚在解关于x的方程ax2bxc0(a0)时，只抄对了a1，b4，解出其中一个根是x1，

∴141c0，

2解得：c3，

∵核对时发现所抄的c比原方程的c值小2， 故原方程中c5，

则b24ac4241540， 则原方程的根的情况是不存在实数根． 故选：A． 【点睛】

本题主要考查了根的判别式，正确利用方程的解得出c的值是解题关键．

7．B

解析：B 【分析】

根据因式分解法解方程即可； 【详解】

xx5x5， xx5x50，

x5x10，

x11，x25；

故答案选B． 【点睛】

本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．

8．C

解析：C 【分析】

根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=60＞0，由此即可得出结论． 【详解】

解：∵在方程3x26x20中，△=（-6）2-4×3×（2）=60＞0， ∴方程3x26x20有两个不相等的实数根． 故选： C 【点睛】

本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

9．D

解析：D 【分析】

仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为

5，先计算出大正方形的面积=阴影部2分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可． 【详解】

解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积

55为x的矩形，得到大正方形的面积为504502575， 225∴该方程的正数解为752535．

22故选：D． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键．

10．C

解析：C 【分析】

根据一元二次方程根的判别式可得△＝（﹣k）2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0，即可得到答案． 【详解】

解：△＝（﹣k）2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8． ∵k2≥0，

∴k2+8＞0，即△＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式， b24ac，当0时方程有两个不相等的实数根，当0时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根．

11．B

解析：B

【分析】

由方程有实数根即△＝b2﹣4ac≥0，从而得出关于m的不等式，解之可得． 【详解】

解：根据题意得，△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0， 解得：m故选：B． 【点睛】

本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．

1， 412．A

解析：A 【分析】

利用根与系数的关系得到x1＋x2＝4，x1x2＝m，AB＋

11BC＝4，m＝AB×BC，再利用折22叠的性质和平行线的性质得到∠EBD＝∠EDB，则EB＝ED＝3，所以AE＝AD−DE＝5−2AB，利用勾股定理得到AB2＋（5−2AB）2＝32，解得AB＝10251025或AB＝（舍55去），则BC＝【详解】

2045，然后计算m的值． 5∵x1、x2是关于x的方程x2−4x＋m＝0的两个实根， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝m， 即AB＋

11BC＝4，m＝AB×BC， 22∵△BCD沿BD翻折得到△BC′D，BC′与边AD交于点E， ∴∠CBD＝∠EBD， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴EB＝ED＝3，

在Rt△ABE中，AE＝AD−DE＝BC−3＝8−2AB−3＝5−2AB， ∴AB2＋（5−2AB）2＝32，解得AB＝∴BC＝8−2AB＝∴m＝

10251025或AB＝（舍去）， 552045， 511025204516××＝． 2555故选：A． 【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−

bc，x1x2＝．也考查了矩形的性质和折叠的性质． aa二、填空题

13．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题

解析：4 【分析】

根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】

解：∵关于x的一元二次方程x24xk0有两个相等的实数根， ∴b24ac44k0，

2解得：k4； 故答案为4． 【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．

14．2【分析】先将方程整理为x2-2x-3=0再根据根与系数的关系可得出x1+x2即可【详解】解：一元二次方程整理为∵x1x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根∴x1+x2=2故答案为：2【点睛】

解析：2 【分析】

先将方程整理为x2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x1+x2即可． 【详解】

解：一元二次方程3x112整理为x22x30， ∵x1、x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根， ∴x1+x2=2． 故答案为：2． 【点睛】

本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于2b是解题的关键． a15．1（答案不唯一）【分析】根据非负数的性质可得于是只要使c的值非负即可【详解】解：若关于的一元二次方程有实根则所以的值可以是1（答案不唯一）故答案为：1（答案不唯一）【点睛】本题考查了一元二次方程的解

解析：1（答案不唯一）

【分析】

根据非负数的性质可得c0，于是只要使c的值非负即可． 【详解】

解：若关于x的一元二次方程x3c有实根， 则c0，所以c的值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键．

216．2020【分析】根据m是方程的根得代入求值【详解】解：∵m是方程的根∴即原式故答案是：2020【点睛】本题考查一元二次方程的根解题的关键是掌握一元二次方程根的定义

解析：2020 【分析】

根据m是方程x2x10的根，得m2m1，代入求值． 【详解】

解：∵m是方程x2x10的根， ∴m2m10，即m2m1，

原式2mm2018220182020． 故答案是：2020． 【点睛】

本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义．

217．或【分析】等腰三角形ABC中边可能是腰也可能是底应分两种情况进行讨论分别利用根与系数的关系三角形三边关系定理求得方程的两个根进而求得答案【详解】解：∵关于x的方程∴∴∵是等腰三角形的长是关于x的方程

解析：25或16 【分析】

等腰三角形ABC中，边BC可能是腰也可能是底，应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案． 【详解】

解：∵关于x的方程x210xm0 ∴a1，b10，cm ∴x1x2∵

bc10，x1x2m aaABC是等腰三角形，AB、AC的长是关于x的方程x210xm0的两根

∴①当BC8为底、两根AB、AC均为等腰三角形的腰时，有ABACx1x210且ABAC

即ABAC5，此时等腰三角形的三边分别为5、5、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则mx1x2ABAC25；

②当BC8为腰、两根AB、AC中一个为腰一个为底时，有x1x28x210，即

x22，此时此时等腰三角形的三边分别为2、8、8，根据三角形三边关系定理可知可以

构成三角形，则mx1x2ABAC16． ∴综上所述，m的值为25或16． 故答案是：25或16 【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质、三角形三边关系定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

18．【分析】根据一元二次方程的定答【详解】∵是一元二次方程∴且解得故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程一般形式是（且）特别要注意 解析：3

【分析】

根据一元二次方程的定答． 【详解】

∵m3xm21mx50是一元二次方程，

∴m212且m30， 解得m3，

故答案为：3． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2bxc0（且a0）．特别要注意a0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．

19．54（1-x）2=42【分析】根据题意经过两次的钢量减少最后的结果应该是原来的（1-x）2倍列出方程即可【详解】解：根据题意有：54（1-x）2=42故答案为：54（1-x）2=42【点睛】本题考查

解析：5.4（1-x）2=4.2 【分析】

根据题意，经过两次的钢量减少，最后的结果应该是原来的（1-x）2倍，列出方程即可． 【详解】

解：根据题意有：5.4（1-x）2=4.2 故答案为：5.4（1-x）2=4.2 【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用问题，属于基础题．

20．－8【分析】利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m的方程解这个方程即可【详解】已知是关于x的方程的一个根故答案为：-8【点睛】本题考查一元二次方程的根问题掌握方程的根的性质会用方程的解代入构造

解析：－8 【分析】

利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m的方程，解这个方程即可 【详解】

已知x2是关于x的方程x22xm0的一个根，

2222m0

m8

故答案为：-8 【点睛】

本题考查一元二次方程的根问题，掌握方程的根的性质，会用方程的解代入构造参数方程是解题关键

三、解答题

21．（1）2或4；（2）2；（3）1082． 【分析】

本题可设P出发x秒后，SQPC符合已知条件：

在（1）中，APxcm，PC=6xcm，QC2xcm，根据题意列方程求解即可； 在（2）中，APxcm，PC=6xcm，QC2x2cm，进而可列出方程，求出答案；

在（3）中，PC=6xcm，QC2xcm，BQ=82xcm，利用勾股定理和

PQBQ列出方程，即可求出答案．

【详解】

（1）P、Q同时出发，经过x秒钟，S由题意得：

QPC8cm2，

16x2x8 2∴x26x80， 解得：x12，x24．

经2秒点P到离A点1×2＝2cm处，点Q离C点2×2＝4cm处，经4秒点P到离A点1×4＝4cm处，点Q到离C点2×4＝8cm处，经验证，它们都符合要求． 答：P、Q同时出发，经过2秒或4秒，S（2）设P出发t秒时SQPCQPC8cm2．

4cm2，则Q运动的时间为t2秒，由题意得：

16t2t24， 2∴t28t160， 解得：t1t24．

因此经4秒点P离A点1×4＝4cm，点Q离C点2×（4﹣2）＝4cm，符合题意． 答：P先出发2秒，Q再从C出发，经过2秒后SQPC4cm2．

（3）设经过x秒钟后PQ＝BQ，则PC=6xcm，QC2xcm，BQ=82xcm，

6x2x2282x，

2解得：x11082，x21082（不合题意，舍去）， 答：经过1082秒钟后PQ＝BQ． 【点睛】

此题考查了一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍． 22．（1）x1＝1＋【分析】

（1）利用配方法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】

（1）解：2x2﹣4x＋1＝0， x2﹣2x＝﹣

422，x2＝1﹣；（2）x1＝﹣2，x2＝

3221， 2x2﹣2x＋1＝﹣∴x﹣1＝±∴x1＝1＋

11＋1，即（x﹣1）2＝， 222， 222，x2＝1﹣； 22（2）解：（2x﹣1）2＝（3﹣x）2． （2x﹣1）2﹣（3﹣x）2＝0，

[（2x﹣1）＋（3﹣x）][（2x﹣1）﹣（3﹣x）]＝0， ∴x＋2＝0或3x﹣4＝0， ∴x1＝﹣2，x2＝【点睛】

本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、因式分解法、公式法，并熟练运用是关键．

4． 323．（1）x14,x23；（2）x11,x22 【分析】

（1）化成一般式以后利用因式分解法解即可； （2）化成一般式以后利用因式分解法解即可； 【详解】

解：（1）x+4=x28

x2-x-12=0

(x+3)(x-4)=0

∴x14,x23 （2） x2x20

(x2)(x1)0

x11,x22

【分析】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

24．（1）x11,x29；（2）x1【分析】

（1）运用因式分解法求解即可 （2）运用公式法求解即可． 【详解】

解：（1）∵x2+10x+9＝0， ∴（x+1）（x+9）＝0， 则x+1＝0或x+9＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣9； （2）x2﹣3x＝

3232 ,x2221 41＝0， 41， 41）＝4＞0， 4整理，得：x2﹣3x﹣

∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣

∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣

232bb4ac则x＝＝，

22a即x1＝

3232，x2＝． 22【点睛】

此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键． 25．（1）AB的长应是4米；（2）花的面积不能达到39平方米． 【分析】

（1）设AB=x米，根据题意列一元二次方程，解方程，把不合题意的解舍去即可求解； （2）设AB=x米，根据题意列一元二次方程，方程无实数根，即可求解． 【详解】

解：（1）设AB=x米， 由题意得 x（21-3x）=36， 整理得 x27x120， 解得x13,x24，

当x=3时，21-3x=12＞11.5，不合题意，舍去； 当x=4时，21-4x=9＜11.5，符合题意．

答：若要围成总面积为36平方米的花圃，边AB的长应是4米． （2）设AB=x米， 由题意得 x（21-3x）=39， 整理得 x27x130，

b24ac741133＜0

∴方程无实数根，

∴无法围成总面积为39平方米的花圃． 答：无法围成总面积为39平方米的花圃． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键，解题时注意根据题意检验根的合理性．

2x5x3,x226．（1）1；（2） 2y1【分析】

（1）方程移项后，运用直接开平方法求解即可； （2）方程组运用加减消元法求解即可． 【详解】

解：（1）2x1250

22x1225

2x15或2x15

∴x13,x22；

2x2xy①（2） 13xxy②2由①得：x4y③， 把③代入②可得：

y4y13x， 2x5， ∴y1，

∴方程组的解为【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．同时还考查了二元一次方程组的解法．

x5． y1