己眼`积完蔽七石之它鱿写己三石,芯七`日`两`二.月数~55.数字信号处理技术概述一字信号.技术讲座王德隽性占朗四己5它5二三烈弓芯些弓三烈三己`之s芭写它5艺s』引言数字信号处理是一个新兴的技术领域,它主要研究如何应用数字或符号序列的形式来表示和处理信号,实现信号的变换、逮波、检侧与估计等功能。它将系统理论、计算机科学与大规模集成电路等方面的成就融合在一起,应用于一些科学技术与工程领城中。数字信号处理的起源可追溯到十七世纪的一个数学分支。纪五十年代,采样数据系统的研究进展以及离散系统理论的发展—经典的数值分析二十世莫定了数字信号处理的数学基础。同一时期,电子数字计算机的向世对数字信号处理技术的发展产生了重大的影响。1965年,库利一图基(Cool灯一Toceky)提出的快速付里叶变换(FFT)方法,把计算离散付里叶变`___、___。。、`、,1___换DF_、Z。一`~(__、一-T一)工所需的时间由次、产乘一二一__二_。___:矛产”.“”J,’,~N一,伪法月运~算一减一少产为Nz节份109这~个使一~__~_2一口`一N次,一一运算~一量降低一下~N一个数~量一级~的”J突破,使数字信号处理从概念上和实现上都发生了重大的转折。同一时期,起源于使用计算机逼近和模拟一个模拟滤波器的数字滤波理论也得到了迅速的发展。快速付里叶变换和数字滤波理论方面的突破和进展,形成了数字信号处理的两大支柱。在六十年代后期和七十年代,大规模数字集成电路(Lls)和超大规模数字集成电路(vLS)I的相继出现,为数字信号处理的实现提供了有利条件。七十年代中期,数字信号处理和数字池波已发展成为一门的学科,出现了许多数字信号处理方面的专著川【2’t3,。八十年代初期,由于微型计算机的普及,采用计算机软件的非实时数字信号处理技术得到了广泛的应用。随着大规模集成电路的迅速发展,低功耗高性能的微处理器、高速的乘法器与乘法累加器以及单片数字信号处理器的问世,便有可能构成数字信号实时处理的专用系统,这使数字信号处理技术开始向小型、实时和用硬件实现的方向迈进。数字信号处理技术已日益得到迅速的发展和广泛的应用。本文简要介绍这一领域的基本概念、主要内容和发展概况。二、墓本概念在工程技术科学中,人们应用系统这个概念来研究输入量和输出量之间的一些关系,如果一个系统所处理的信号是连续时间的信号,那么这个系统就称为连续时间系统。如果一个系统所处理的信号是离散时间的信号,则这个系统就称为离散时间系统。离散时间信号和系统所研究的对象只是在时间上量化了的信号,而数字信号处理系统所研究的对象则是时间上和幅度上都量化了的信号。因此,严格地说,数字信号处理系统和离散时间系统是有区别的。但是,分析和设计这两种系统的数学理论基础则是相同的,都被称为离散时间信号与系统理论。离散时间信号系统与连续时间信号系统有许多类似之处。我们通常所研究的是线性时不变系统。对于线性连续时间系统可以用线性微分方程来描述,而对于线性离散时间系统则可以用线性差分方程来描述。连续时间系统的分析可以应用付氏变换或拉氏变换这两种数学方法,而离散时间系统的分析则可以应用。名变换的数学方法。对应于连续时间系统的卷积积分。则有离散时间系统的离散卷积人们在生活中所遇到的和要处理的信号大多数是连续时间信号应用计算机或数字硬件,处理连续时间信号时,首先需要将所要处理的信号变换为数字信号。然后再进行数字处理1。最后,将数字处理结果变换为所要求的连续时间信号输出整个处理系统如图几通了所示。}口于`:}什{图}变一灸模教J宇统数系处王里变一模数功英1连续时间信号的数字处理系统;图1中的xx’(约表示输人连续时间信号一(约表示抽样后的输人离散时间信号样值,;武。)表示经模数变换后的输人数字信号少(,’的表示经数字处理系统后输出的数字信号一,()t表示经数模变换后的输出离散时间信号;t表示经低通平滑后输出的连续时间信号),。少(在上述的处理过程中包含有抽样和模数变换的量一欲。。化点、编码两个步骤1。下面简单介绍一下这两个步骤的要。—,-一户声~一〕欢=t)lx二,川汁·们抽样:对连续时间信号的抽样速率应满足抽样定,广一t)P(t》理即抽样频率应大于连续时’al信号所含有的最高频率分量的两倍(亦即信号带宽的两倍)以保证抽样后的离散时图,,讹2间信号的频谱不产生混叠现象2。抽样系统模型2一个抽样系统可以被看作是脉冲序列对连续时间信号的调制(a)为理想抽样模型。如图(a)和(b)所示。。图2图2(b)为宽度为夕的周期脉冲序列调制的抽样系统模型`现以图。(b)的模型来说明抽样后的离散时间信号频谱X(。)与连续时间信号频谱X(。)的关系.连(1)(幻续时间信号的频谱为X(。)一了{T:(`),一二丁二.。x(`)。,一d`如图其中3,(a)所示。经抽样系统后的离散时间信号为、(t)=x(r)尹(r)p(`)是一个脉宽为P周期为的周期脉冲序列)=故()t可用付里叶级数表示为(3),p(`乙,coe`“,“`其中。二2,二/T称为抽样角频率。_,C.为付里叶系数_,J、_,它由下式给出sinC,二希lTJ二`ir,`2_。二:/T:夕、(t尹一)ze-矛.几`一d一t=J希TP二二子升.岁李笋`。。(,。,p/2)P/2(4)故抽样后的离散时间信号()t可表示为二’(t)二二(t)尹(t)=二兄Ec二C。二。(t)e’`·目矛、-性了产、`几了`b5`、其频谱可表示为X,(。){了x,t)(}=X(。一。,o。)吸J0上式说明,离散时间信号二’(O的频谱是以。.为周期的无限延伸。图3(b)及(c)分别示出了抽样角频率。:小于或等于连续时间信号所含最高角频率。。两倍时以及。.大于。。两倍时的频谱。由图3可见,当抽样频率大于连续信号所含最高须率(或带宽)二倍时,离散估号的频谱方不致产生混补现象。2t化和编码:离散信号幅度经模一数变换器量化并编码为一定格式的O、1数字代码。一翻入二0寸。七离散信号帜度{`t化有两种方式,即舍入量化和截`Q)应X,一公,尾量化。前者对最后位取四舍五人值,后者对最后位舍弃。虽化的数字佑号、(n)可以表示为~山`0寸叫e劣(狡T)=万’(nT)+e(牡T)(7)`b)山s`2因`一公其中,x’((。了)为t“nT时刻的离散信号实际幅度X口)值;。(。T)是信号旦化误差,称为量化噪声,它具有均匀分布的随机噪声序列的特征。对于舍人量化或一晓O+山c(c,曰`)2山e截尾量化,量化噪声的方差均为a遥=92八2(s)图3连续时间信号的颇潜其中,q二2一`,b为量化后信号编码的比特数。模一数变换器的编码制式主要有定点制和浮点制两种。编码制式的选择主要是`御根据数字信号处理系统对信号表示法的要的址脸k求而定。图4数字信号恢复为连续时间信号的示意图经数字信号处理系统处理后的输出数字信号,在恢复为连续时间信号之前,需经过数-模变换器把抽样信号变为阶梯信号,最后经滤波器平滑后得到连续时间信号输出,如图4所示。三、数字信号处理的主要内容数字信号处理是以离散系统理论的差分方程、:变换和离散付里叶变换为基础的。前面已介绍过,快速付氏变换和数字滤波是数字信号处理的两个主要支柱。随着数字信号处理技术的广泛应用及其理论与算法的不断发展,目前数字信号处理包括确定数字信号处理、随机数字信号处理、一维数字信号处理和二维数字信号处理等已形成十分完善的体系。确定数字信号处理主要包括快速变换算法和数字滤波。随机数字信号处理则包括功率谱估计和自适应滤波。同态变换则是数字信号处理中的一类非线性方祛。二维数字信号处理已发展成与一维数字信号处理并行的一整套系统的技术理论t41〔“,。在数字信号处理中,算法研究的内容十分丰富,它包括算法的计算机软件实现和数字滤波器的计算机辅助设计〔“l。关于数字信号处理硬件实现的理论和方法,其研究工作仍方兴未艾。下面简要介绍数字信号处理的主要内容。1快速变换算法1965年,库利·图基提出的快速付里叶变换(FFT)是计算离散付里叶变换(DFT)的一种快速算法。一个N点的有限长序列的DFT定义为X(l)二兄二(k)。xp(一jZ二kl/N)=云二(k)W务`l二o,i,…,N一i(9)其中备一。一餐’。应用直接求w序列二的颇谱D,FT其乘法次数大致与k序列长xl度NZ成比例,当N相当大时,运算次数相当可观。FFT算法的思想是将N点(设万为偶数)的DFT分解为两个N/2点的DFT计算,然后用适当的算式将它们合并为万点DFT。若N/2为偶数,则继续这样分解,直至两点DFT为止。整个算法的流程可以用蝶式运算单元〔公式(10)〕组成:X(k)=A土BW务(10)将N点序列分解为两组N/2点DFT,按其对序列样值点的排列顺序不同,而有按时间抽取和按须率抽取两种算法。图5示出的是8点FFT的一种算法流图。FFT将DFT的运算次数由NZ降低为lZN,。,维大大提高了运算效率1。76年诺格雷德(swin。grad)提一U、~~一丫~/碑粤og2一留`一`/、z-一~`一”一”一一~-一r一一`一出将点数N为小素数的DFT作为卷积进行处理,导出”姗油了具有最少乘法次数的DFT快速算殉仰脯)2(x法,称为维诺格雷油叨德算法(WFTA)。此外,还有把DFT看作是整数环(或域)运算的数论变换法,以及把DFT看作是多项式环(或域)运算的多项式变换法。这些算法都具有快速运算的特点,且无舍人误差。正交变换的快速算法仍在发展之中。2数字滤波器数字滤波器是数字信号处理中的主要组成部分。它可以用差分方程图58点FFT的一种算法流图,(n)=乙b*:(。一k)+兄a*y(、一k)(11)来描述。相应的:域转移函数为H(:)二(12)1一兄。。:一介其中a,和b,为数字滤波器系数。Max(M,N)为滤波器阶次。参数a;,b。,万和N决定于滤波器的特性。数字滤波器可以分为有限冲激响应(FIR)滤波器和无限冲激响应(HR)滤波器两大类。前者对单位冲激信号的响应仅有有限个非零值,后者对单位冲激信号的响应有无限多个非零值。在式(12)中,当a*二o时为有限冲激响应数字滤波器。这种滤波器的特点是,它可以被设计为谁确的线性相位滤波器,并且,一般以非递归型(或横截型)的结构型式来实现。无限冲激响应数字滤波器可以以递归型结构型式来实现。它们的结构图将在第二讲中介绍。由于模拟滤波器已有一套完整的设计理论,因此经典的HR型数字滤波器的设计方法是以模拟滤波器设计理论为基础,通过连续域和离散域(S一z域)之间的线性变换而导出。随着优化方法理论的引人和计算机辅助设计方法的应用,直接在Z域设计FIR和lR型数字滤波器的方法和理论已相当完善。数字滤波器的计算机软件实现和硬件实现都要求信号、系数和运算字长为有限长。因此,有限字长效应是设计数字滤波器时需要考虑的一个重要问题。对于HR数字滤波器,则要求它的极点位于z域的单位圆内,以保证系统的稳定,这对于三维数字滤波器的设计更是一个突出的问题。从双终接电阻负载梯型滤波器导出的波数字滤波器是低灵敏度数字滤波器的一种设计方法和结构。如今,数字滤波器的理论及设计方法已相当成熟,但在低灵敏数字滤波器的结构与实现方面仍有可探讨的问题。3功率谱估计功率谱密度(以下简称功率讲)代表随机信号的谱特性,是随机信号的主要特征参量。功率谱尸:二(。)定义为随机信号x(耐的自相关函数帆二(。)的离散付立叶变换,即p二二(。)=E诱二二(。)e一`““(13)在实际生活中,我们只能得到随机信号的有限长样本序列。用有限长样本序列估计信号的自相关函数或功率谱密度,使之满足一致估计的条件(即同时满足无偏估计和最小方差估计两个条件)是功率谱估计的主要问题。经典的功率谱估计有间接法和直接法两种方法。前者首先估计自相关函数,然后再求功率谱估计。这种方法由勃雷克门和图基(lBackman和Tukey)提出,称为BT祛;后者直接由随机信号序列的付里叶变换求功率谱估计,称为周期图法。周期图法不满足一致估计的条件,需要进行平滑处理。平滑的方法有平均周期图法、加窗平滑法和wolhc法等。这些方法的主要目的是减小估计方差或折衷最小方差与无偏估计间的矛盾。针对经典功率谱估计所存在的缺陷,从60年代后期开始出现了高分辨率的功率谱估计方法。这些方法有的属于参数谱估计,如AR和ARMA模型法,Prony法等,还有的属于非参数谱估计的,如最大似然法,最大嫡谱估计法,Pisraneko谐波分解法和Musci法等[“1。4自适应滤波器自适应滤波器是一种以最小均方误差或最小二乘方误差为判准的最佳滤波器。它按随机信号的统计特性自动地调节本身的参数,以达到最佳滤波的目的。自适应滤波器主要有横截型和格型两种结构。图6所示为N个加权系数的横截型自适应滤波器。自适应滤波器对输入随机序列的每一个样值,(。),都按特定的算法更新调整其加权系数。`一〔c。,。:,…,c二;」,使输出信号序列图6N个加权系数的横截型自适应滤波器与所希望的输出d(的相比较的均方误差或最小二乘方误差为最小,以达到输出信号序列逼近所希望的序列d(的的目的。以最小均方误差或最小二乘方误差为判准的最佳滤波器的加权系数,可以由下列维纳一霍甫夫(wein。卜Hop)f方程求出:e`”,“价刃(。)价`二(”)(14)式中的汽二(的为输人信号序列的自相关矩阵,人二(的为期望输出的信号序列与输入信号序列的互相关矩阵。1971年,维德罗(Bwidrow)提出了一种能实时求解自适应滤波器系数,按维纳一霍甫夫方程近似求解的算法。这一算法利用均方或二乘方误差的梯度估计值,从当前的滤波器系数迭代计算出下一时刻的系数。e(。+i)=e(玲)+k.令。[。2(,)〕(15)其中令为均方或二乘方误差的梯度估计值求它满足二匕人。,k。为步长,其取值决定算法的收敛性.,一般要
