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一、巧妙运用韦达定理
例1先阅读以下第〔1〕题的解答过程
〔1〕αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。求α2＋3β2＋4β的值。
解法1 ∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根 ∴α2＋2α－7＝0 β2＋2β－7＝0 且α＋β＝－2 ∴α2＝7－2αβ2＝7－2β
∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3〔7－2β〕＋4β＝28－2〔α＋β〕＝28－2×〔－2〕＝32
解法2 由求根公式得α＝－1＋22β＝－1－22
∴α2＋3β2＋4β＝〔－1＋22〕2＋3(－1－22)2＋4(－1－22)
＝9－42＋3(9＋42－4－82)＝32 解法3 由得：α＋β＝－2 αβ＝－7
∴α2＋β2＝〔α＋β〕2－2αβ＝18 令α2＋3β2＋4β＝A β2＋3α2＋4α＝B
∴A＋B＝4〔α2＋β2〕＋4〔α＋β〕＝4×18＋4×〔－2〕＝ ①
A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α) (β－α)＋4(β－α)＝0 ②
①＋②得：2A＝ ∴A＝32
请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答以下各题
〔2〕x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。x13
＋7x22＋3x2－66的值。
解∵x1、x2是方程x2－x－9＝0的两根 ∴x1＋x2＝1 且x12－x1－9＝0 x22－x2－9＝0 即 x12＝x1＋9 x22＝x2＋9
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∴x13＋7x22＋3x2－66＝x1(x1＋9)＋7(x2＋9)＋3x2－66
＝x12＋9x1＋10x2－3＝x1＋9＋9x1＋10x2－3＝10(x1＋x2)＋6＝16 例2 a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值． 分析：显然二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的构造，容易想到直接应用韦达定理求解．
解：由可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b． 由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1． 故ab＋a＋b＝－2．
二、先恒等变形，再应用韦达定理
假设条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，那么可考虑应用韦达定理．
例3 假设实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y． 证明：将二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．
由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根． ∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．
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那么z2≤0，又∵z为实数， ∴z2＝0，即△＝0．
于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．
由二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理
三、一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理
例5 方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．
解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，那么由韦达定理，有 a＋2a＝－P， ① a·2a＝q， ② P2－4q＝1． ③
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把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．
∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0． 解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．
例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．
证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．
由题意知α－β＝α＇－β＇，
故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2． 从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①
把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．
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故p－q＝0或p＋q＋4＝0， 即p＝q或p＋q＝－4．
四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理 例7 m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．
解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α． 由韦达定理，得α(m＋α)＝3， ① α(4－α)＝－(m－1)． ② 由②得m＝1－4α＋α2， ③ 把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0， 即(α－3)(α2＋1)＝0．
∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3． 把α＝3代入③，得m＝－2．
故当m＝－2时，两个方程有一个公共根，这个公共根为3．
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课堂练习：
1.关于x的方程4x2＋4bx＋7b＝0有两个相等的实数根，y1、y2
是关于y的方程y2＋(2－b)y＋4＝0的两个根。求以y1、y2为根的一元二次方程。
2.关于x的方程x2－2k4 x＋k＝0有两个不相等的实数根。
2〔1〕求k的取值X围〔2〕化简|－k－2|＋k4k4
3.关于x的方程〔a2－1〕x2＋2(a＋2)x＋1＝0有实数根。求a的取值X围。〔提示：分a2－1＝0，a2－1≠0讨论〕
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4.关于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2＋2k－1＝0 ①
〔1〕求证，对任意实数k的方程①总有两个不相等的实数根。 〔2〕如果a是关于y的方程y2－(x1＋x2－2k)y＋(x1－k)(x2－k)
1a＝0 ②的根。其中x1、x2是方程①的两根求代数式〔a－a1〕
a214÷a1·a的值。
课后稳固
（一） 根底练习
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11.方程2x2－2ax＋2(a＋4)a＝0的两实根分别为x1、x2且满足(x1－1091)(x2－1)＝100，求a的值。
2.关于x的方程x2－(5k＋1)x＋k2－2＝0是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4，假设存在，求出满足条件的k的值，假设不存在，请说明理由。
3.设α、β是方程x2＋10x＋2＝0的两根，不解方程，求＋的值。
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4.关于x的方程k2x2＋(2k－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根x1、x2。
〔1〕求k的取值X围。
〔2〕是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在求出k的值。如果不存在，请说明理由。
1解：〔1〕根据题意，得Δ＝(2k－1)2－4k2>0的解得k<4. 1∴当k<4时，方程有两个不相等的实数根。
〔2〕存在如果方程的两实数根x1、x2互为相反数，那么x1＋x2
2k12＝－k＝0 ①
11解得k＝2,经检验k＝2是方程①的解。
1∴当k＝2时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。
读了上面的解答过程，请判断是否错误，如果有指出错误之处，并直接写出正确答案。
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5.如图△ABC中，∠ACB＝90°,CD⊥AB于D，假设AD、BD的长是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根，且tgA－tgB＝2，CD＝1，求p、q的值，并解此二次方程。
（二） 能力提升题
1.关于x的方程x2－(2a－1)x＋(a－3)＝0.
〔1〕求证：无论a为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根。
〔2〕以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长，该三角形
35斜边上的中线长为2，XX数a的值。
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a2.方程5a2＋2002a＋9＝0及9b2＋2002b＋5＝0且ab≠1，求b的值。
3.已在△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5。
〔1〕k为何值时，△ABC是以BD为斜边的直角三角形。 〔2〕k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。
（三） 思维拓展题
x1、x2是一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根。
〔1〕是否存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)成立？假设存在，求出k的值；假设不存在，请说明理由。
〔2〕求使
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32x1x22的值为整数的实数k的整数值。 x2x1.
信息反响： 学生今日表现： 教师寄语：
家长意见： 家长签字：
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