用截长补短法证明三角形全等

板块一、截长补短

【例1】 已知ABC中，A60，BD、CEA分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的

数量关系，并加以证明． EOD

BC

D【例2】 如图，点M为正三角形ABD的边AB所

在直线上的任意一点(点B除外)，作NDMN60，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?

AMB

E

【例3】 如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．

分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：

(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BCCE)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．

(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE)上截取与线段中的某一段(如BC)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE)相等．

AD【例4】 已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：

BE+DF=AE.

F

BEC

【例5】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE

AAFBEBECDCD

A【例6】 如图所示，ABC是边长为1的正三角

形，BDC是顶角为120的等腰三角【例8】 在正ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使DBEDBC，且BEBA，求BED. 形，以D为顶点作一个60的MDN，点N

M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．

M

BC D

板块二、全等与角度

A【例7】如图，在ABC中，BAC60，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数.

BDC

由已知条件可以想到将折线ABD“拉直”成AE，利用角平分线AD可以构造

全等三角形.同样地，将AC拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的. 需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.

AEDBC