又Ｊ１线牲代数课程教学傩系及教学方法硇思考 江苏大学理学院余丽琴董玉娟杨宏林 ［摘要］线性代数是高等学校理工科各专业重要的基础课，对高校人才培养起着非常重要的作用。本文结合线性代数课程本身的 特点及作者多年的教学实践，对线性代数课程体系及教学方法进行了探讨。 ［关键词］线性代数课程体系 教学方法 １．引言 线性代数是高等学校理工科各专业的－－Ｉ１重要的基础理论课，主 要研究变量之间普遍存在的线性关系。该课程区别于其它课程的显著 特点是高度的抽象性、严密的逻辑性及广泛的应用性。由于线性问题 广泛存在于科学技术的各个领域，因此本课程所介绍的思想方法广泛 地应用于各个学科。在科学技术飞速发展，计算机技术日新月异的今 天，该课程在本科教育中的地位更显得重要。该课程的教学目标至少 可以从两个层面上来理解：其一是通过该门课程的教学使学生掌握线 性代数的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继课程打下坚实的 基础；同时通过本课程的教学培养学生的抽象思维能力、空间想象能 力、逻辑推理能力以及建立数学模型、解决实际问题的能力。 线性代数课程的特点使得学生对该课程的学习和理解存在一定的 困难。广大的高校数学基础课教师也一直在努力地从课程体系、教学 内容、教学方法及教学手段等多个角度，探讨摸索如何使学生能更好的 学好这门重要的基础课ｎ 。笔者结合自己多年从事线性代数课程教学 的经验，谈谈自己对该课程的内容体系及教学方法的体会。 ２＿线性代数教学体系 线性代数的主要内容包括：行列式；矩阵；向量组的线性相关性；线 性方程组的求解；方阵的特征值理论及二次型；线性空间等。其中按非 理科专业线性代数课程教学大纲的要求，线性空间属于选学内容，其他 的均为必学内容。线性代数教学内容经过多年的锤炼，已成经典，想要 进行大的改动很难。但在部分内容的安排和处理上，还是可以灵活 的。以下是作者对目前线性代数教材中部分内容不同处理方法的认识 和感受。 ２．１行列式概念的引入 行列式是线性代数重要的概念之一，而且一般都安排在教材的第 章，应该说是学生接触到的第一个概念，因此，对这一概念的理解掌 握程度十分重要。在行列式概念的引入上，主要有两种方法。两种方 法的相同之处在于都是首先通过消元法解二、三元线性方程组，给出 二、ｉ阶行列式的定义，然后推广到 阶行列式。区别就在于推广的方 式不同，一种是通过对二、三阶行列式的结构分析，找出内在规律，引入 全排列及逆序数的概念，从而把二、三阶行列式推广到 阶。这样能使 学生对 阶行列式的本质有一个深刻的理解和认识。即 阶行列式表 示构成行列式的 个元素之间的一种特定的线性运算，其结果是一个 数。再具体说，表示／／－！项的代数和（ｉＥ负项各一半），每项由表中既不同 行也不同列的 个元素的乘积构成，且当每项 个元素的行（列）标取自 然排列时，其前面的正负号由列（行）标排列的奇偶性确定。另一种方法 是在给出二、三阶行列式的概念之后，直接用行列式的按行（列）展开法 则作为 阶行列式的概念。这样处理更直接，省去了全排列及逆序数 这一部分内容，但不利于学生理解概念的本质。当然，如果教师在按这种 方法给出概念之后，能对行列式概念的本质做进一步的阐述，也是很好的。 一有内容讲完之后，给学生做个小结，即把所有关于线性方程组的内容完 整地展现给学生，使学生对线性方程组内容有一个更为清晰的整体认 识，这样效果会好得多。 另一种方法是把线性方程组的内容作为一个整体，放在行列式、矩 阵、向量组的线性相关性之后，集中解决。其优点在于能在２—３个学时 内把线性代数中关于线性方程组的所有内容全部完整地讲清楚。由于 该课程课时相对紧张ｆ我校为３０课时），因此这种处理方法对缓解课时 紧张的压力有一定作用。而且教师在讲授时，也可以一气呵成。但这 种处理也有它的不足，那就是在前面一些内容的讲授过程中，会用到方 程组的内容，比如在讲向量组的线性相关性时，根据定义判断一个向量 组的线性相关性，实际上归结为判断一个齐次线性方程是否有非零解 的问题，这就给前面的教学带来一定的困难。当然，如果是 个／，７维向 量构成的向量组，可以用克莱姆法则解决。 ２－３矩阵的秩与向量组的秩 秩是线性代数中最抽象最深刻的概念之一。向量组的秩一般都是 通过介绍了向量组的线性相关性之后，通过向量组的极大线性无关组 中所含向量个数来定义的。而对于矩阵的秩，一种方法是通过矩阵的 最高阶非零子式的阶数来定义，另一种是通过矩阵与向量组之间的联 系，分别把矩阵的行（列）向量组的秩定义为矩阵的行（列）秩，并证明矩阵 的行秩与列秩相等，从而把矩阵的行秩与列秩统称为矩阵的秩。当然， 无论哪种处理方式，最终向量组的秩与矩阵的秩都可以用矩阵的初等 行变换来解决。我认为第一种处理方式更能体现矩阵秩的本质，而且 在通过子式定义了概念之后，立刻就可以通过具体的例子来求矩阵的 秩，也就能水到渠成地得到行阶梯形矩阵的秩就等于其非零行的个 数。所以在证明了初等变换不改变矩阵的秩这一结论之后，通过初等 行变换求矩阵的秩（或向量组的秩）就很自然了！ 不同教材的处理方法各有自己的优缺点，笔者在此并无意批评其 中的任何一种，只是谈一下自己对各种处理方法的认识和体会，并愿意 和各位同仁交流。至于教师在教学实践中究竟采用哪种处理方法，我 想不可一概而论，应该根据教师对教材的理解以及个人教学风格并结 合学生的实际情况进行取舍，总之目的只有一个，那就是尽可能使学生 能够学好这门课，并且学得轻松。 ３．线性代数教学方法 前面我们对线性代数课程的内容体系进行了探讨，但我想强调一 点，那就是无论哪种体系结构，都要靠教师去传授去实践，因此要想全 面提高线性代数的教学质量，不但要对课程体系和教学内容进行优化 组合，还必须对教学理念、教学方法进行更新和完善。以下是作者在教 学实践中的一些体会。 ３．１深刻理解概念的本质，注重对相近概念的辨析 线性代数最大的特点就是抽象，学生理解起来特别困难。所以对 些基本概念的理解和掌握就显得尤为重要。如行列式和矩阵，一定 ２．２线性方程组部分 要给学生讲清楚二者本质的区别，那就是行列式本质是一个算式，其结 线性方程组有解的条件、求解方法及解的结构理论是线性代数的 果是一个数。而矩阵只是一个数表，尽管方阵有行列式，但方阵的行列 重要内容之一。一种方法是把线性方程问题作为整个教材的主线，这 式与方阵本身是不同的。这两个概念之间的辨析，对初学者来说还是 部分内容被分散到教材的各个章节。通常在矩阵部分给出方程组的矩 有一定困难的，需要教师在教学过程中多次反复强调。再比如矩阵之 阵表示，并通过消元法求解线性方程组的实质给出矩阵的初等变换，再 间的等价、相似及合同关系，这三种关系既有联系又有区别。等价是矩 描述的是同型矩阵间的关系，而相似与合同则只能 通过矩阵的初等行变换求解线性解方程组。在介绍了矩阵秩的概念之 阵间最一般的关系，后，结合求解方法给出非齐次线性方程组有解及齐次线性方程组有非 针对两个同阶方阵而言。并且从三者的定义很容易得到相似或者合同 零解条件。最后在讨论了向量组的线性相关性之后，讨论线性方程组 的两个矩阵，一定是等价矩阵，反之则不成立（讲课时给出反例）。即矩阵 解的结构理论。这种处理方法的优点在于，利用方程组把整个教材内 等价是这三种关系中是最弱的一种。进一步比较相似与合同这两种关 容串起来，浑然一体。但线性方程组作为线性代数的重要内容之一，这 系，可以构造例子分别来说明，相似未必合同，同时，合同未必相似。那也 种“求解方法一有解（或非零解）的条件一解的结构”的处理模式，过于 就是说，对一般方阵而言相似与合同无法比较。但是，对于实对称矩阵 分散，不利于学生掌握和理解。还有一点就是，由于线性方程组的内容 来说，两个实对称矩阵相似当且仅当它们有相同的特征值，而两个实对 被零碎地分割在各个章节，就使得教师在上课时不能放开讲，很多地方 称矩阵合同当且仅当它们有相同的秩和正惯性指数，从而可知两实对 只能讲句话、留半句，影响教师教学水平的发挥。当然，如果教师在所 称矩阵相似必然合同，但合同未必相似。通过这样 （下转第３３页） 一基金项目：本文系江苏大学校重点教改项目（１２０１１９００７７），江苏大学教学研究项目（２０１１ＪＧＺＤ０１５，２０１１ＪＧＹＢ０２７）。 作者简介：余丽琴（１９６９一），女，博士，副教授，主要从事工科数学的教学与研究工作。 一３０— 表６试验模型颤振临界风速 能。 风嘴样式 Ｉ ＩＩ ＩＩＩ ＩＶ Ｖ ＶＩ ＶＩＩ ｆ２）尖端角度越小的风嘴，对颤振稳定性的改善越大。 （３）风嘴上下位置的变化对于箱梁颤振性能有一定的影响，风嘴ＶＩ ＋３。攻角 １４．５ ｌ５ ｌ５ １５．５ １５ １６．５ ｌ６．５ （风嘴上下缘高度比值ｂ：ａ＝２．６时）的颤振性能最好，风嘴ＩＩ（风嘴上下缘 ０。攻角 １６．５ １６．２ １６３ １６．５ １６．５ １７．７ １６．５ 高度比值ｂ：ａ＝ｉ．４时）的颤振性能最差。 —３ｏ攻角 １７ ｌ５．５ ｌ６．５ １６．５ １６ １７－３ １５ 参考文献 ２Ｏ 【１ Ｊ Ｇｅ Ｙ Ｊ Ｒｅｃｅｎｔ ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｃｏｎｃｅｒｎｓ ｏｆ ｃａｂｌｅ ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｒｉｄｇｅｓ ｗｉｔｈ ｓｕｐｅｒ ｌｏｎｇ ｓｐａｎ：ｆｌｕｔｔｅｒ ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ，ｔｏｒｓｉｏｎａｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｗｉｎｄ—ｒａｉｎ １８ ｉｎｄｕｃｅｄ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ［Ｃ］Ｉｎ：Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ １３ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｗｉｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ａｍｓｔｅｒｄａｍ，Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ，２０１ １． １６ ［２］宋锦忠，林志兴，徐建英．桥梁抗风气动措施的研究及应用［Ｉ］．同 济大学学报（自然科学版），２００２，３０（５）：６１８—６２１． 匮 蓬¨ １３ｊ Ｗｉｌｄｅ Ｋ，Ｏｍｅｎｚｅｔｔｅｒ Ｐ，Ｆｕｊｉｎｏ Ｙ．Ｓｕｐｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｂｒｉｄｇｅ ｆｌｕｔｔｅｒ ｂｙ ａｃｔｉｖｅ ｄｅｃｋ—ｆｌａｐｓ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊｊ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２００１， 骚１２ １２７（１）：８０—８９ ｌ ４ ｊ Ｋｗｏｎ Ｓ ＤＪｕｎ Ｍ ｓ，Ｃｈａｎｇ Ｓ Ｐ．Ａ ｎｅｗ ｐａｓｓｉｖｅ ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｃｏｎ— ｔｒｏｌ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｂｒｉｄｇｅ ｆｌｕｔｔｅｒ ｌＪ ｊ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｗｉｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｉｎｄｕｓ— １０ ＋３ ０。 ～３。 ｔｉｒａｌ Ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ，２０００，８６（２）：１８７—２０２． 攻角（ｄｅｇ） ［５］Ｇｕ Ｍ，Ｃｈａｎｇ Ｃ Ｃ，Ｗｕ Ｗ，ｅｔ ａ１．Ｉｎｃｒｅａｓｅ ｏｆ ｃｉｒｔｉｃａｌ ｆｌｕｔｔｅｒ ｗｉｎｄ 图７试验模型颤振临界风速变化图 ｓｐｅｅｄ ｏｆ ｌｏｎｇ—ｓｐａｎ ｂｒｉｄｇｅｓ ｕｓｉｎｇ ｔｕｎｅｄ ｍａｓｓ ｄａｍｐｅｒｓ＿Ｊ Ｊ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｗｉｎｄ 从中可以看出： Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｉｎｄｕｓｔｉｒａｌ Ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ，１９９８，７３（２）：１１１—１２３． （１）对于相同形式的风嘴，＋３。攻角下的颤振临界风速最低。 １６ Ｊ Ｎｉｓｓｅｎ Ｈ，Ｓｏｒｅｎｓｅｎ ｐＪａｎｎｅｒｕｐ ｏ．Ａｃｔｉｖｅ ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ （２）风嘴上下位置的变化对于箱梁颤振性能有一定的影响，风嘴ＶＩ ｏｆ ｌｏｎｇ ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｂｒｉｄｇｅｓ ｌＪ Ｊ Ｊｏｕｍａｌ ｏｆ Ｗｉｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ ｆ风嘴上下缘高度比值ｂ：ａ＝２．６时）的颤振性能最好，风嘴ＩＩ（风嘴上下缘 Ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ，２００４，９２（１０）：８２９—８４７． 高度比值ｂ：ａ＝１．４时）的颤振性能最差。 ［７］郭增伟，葛耀君，张冠华．大跨度悬索桥颤振控制的研究状况与 （３）在风嘴上下缘高度比值较大时，模型的颤振临界风速较大，因此 进展［Ｔ］．力学进展，２０１１，４１（２）：１２３—１３２． 在闭口单箱设计中，需要选择合适的风嘴形式，以更大幅度地提高颤振 【８ ＪＭｌａｎ Ｌａｒｓｅｎ．Ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ ａｓｐｅｃｔｓ ｏｆｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆｔｈｅ １６２４ｍ 临界风速，保障桥梁安全。 ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｂｒｉｄｇｅ ａｃｒｏｓｓ ｔｈｅ Ｇｒｅａｔ Ｂｅｌｔ ｌＪ Ｊ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｗｉｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ 结论 ａｎｄ Ｉｎｄｕｓｔｉｒａｌ Ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ，１９９３，４８：２６１—２８５． 本文通过风洞试验研究了风嘴形状对闭口箱梁颤振性能的影响， ［９］杨泳昕，大跨度桥梁二维颤振机理及其应用研究［Ｄ］．同济大学 从颤振临界风速的分析和试验结果可以得到以下结论： 申请博士学位论文，２００２． （１）在闭口箱粱横断面的两端设置风嘴能有效地提高其颤振稳定性 （上接第３Ｏ页） 的比较分析，学生对这些概念的理解会更加深刻。 部分内容之间的内在联系，各种问题的处理方法的总结等等。这样可 ３．２从不同角度去看同一问题，让学生做到融会贯通 以使学生对该课程有一个更为清晰的知识脉络。比如通过总结，学生 线性代数中有些问题，在教学的不同阶段，我们看问题的角度是不 就知道在判定向量组的线性相关性、求向量组的秩、求向量组的极大无 同的。比如非齐次线性方程组有一般形式 关组、求解线性方程组、方阵对角化及二次型化为标准型等问题中，都 ｌａｌｌＸｌ＋ａｌ２，ｚ２＋…＋ａｌｎｚ ＝ｂｌ 离不开矩阵的初等变换，这样学生就可以更加深刻地体会到矩阵的初 ｛ ２ｌ １＋ ２２２１＂２＋…＋ 一 （１） 等变换在课程中所起的作用。 。 ……４．结束语 ＋ａｍｎＸｎ＝ｂ 本文对线性代数的教学体系和教学方法进行了探讨。还有不少同 若记Ａ ｌｆ ｄａａ ２ １ ａ…ｍ２２ …Ⅱ… ］６１ ２ｎ２Ｊ／ ’ｘ ｌｆ；３３２７ｎ。 Ｊ］／ ’ ａ：● Ｆ２ｊ 行对教学手段进行了讨论 ，笔者以为既然只是手段，就不可一概而 （ ＝１，２ 论，强求统一。教师可根据自身及学生的实际情况选择自己认为最有 效的教学手段，重要的是达到我们的教学目标，并不断提高线性代数课 ｎ蒯 程的教学质量，这才是根本。笔者从教师的角度出发认为，在教学过程 ｆｂ １］中应不断优化教学内容体系，总结并改进教学方法，本着“一切为了学 …， ），ｂ＝ｌ ｌ，则有线性方程组的矩阵形式ＡＸ＝ｂ及向量形式 生，为了学生的一切，为了一切学生”的教学理念，以学生为本，努力提 高教学质量。 ｚｌ／０１＋ｚ２口２＋…＋ｚ ｄ ＝ｂ。对非齐次线性方程组有解的条件可以从 不同角度来看，根据向量组线性相关ｌ生理论可知下列几种说法是等价的： 参考文献 （１）方程组（１）有解； ［１］雪剑《线性代数》教材内容和课程体系改革刍议［Ｔ］．运城学院 （２）向量ｂ能由向量组ａ ，０／２，…，０／ 线性表示； 学报，２００４，２２（５）：３９—４０ （３）向量组０／ｌ ０／２，…，０／ 与向量组ｄ１，０／２，…，ａ ，ｂ等价； ［２］刘学质．线性代数课程体系与教学原则［Ｔ］．高等数学研究，２００８， １ １（４）：９５—９８ （４）系数矩阵Ａ＝（ ｌＩ＿－．，ｄ ）与增广矩阵（Ａ ）＝（ ｌ１．一， ｌ６）具有相 ［３］张云松．线性代数学科课程体系教学改革的研究［Ｔ］．丹东纺专 同的秩。 学报，２００４，１１（４）：７１—７３ 这样，学生对非齐次线性方程组有解的条件就有更全面更深刻的 ［４］赵慧斌．问题驱动是线性代数有效的教学法之一［Ｉ］．高等数学 理解。 研究．２００８（４）：９１－９４ ３＿３加强课程应用背景的介绍 ［５］于勇．工科线性代数课程教学中的几点建议［Ｉ］．科教文汇，２００９ 线性代数在不同的学科专业有着十分广泛的应用，所以如果课时 （４）：１３６ 允许的话，教师应尽可能结合学生专业，让学生知道该课程的作用和意 ［６］李明远，马文斌＇孑Ｊ、鹏哲，吴国荣．线性代数教学实践中的体会［１ｊｌ 义。比如对生物专业的学生，可以介绍生物种群繁殖的例子；对通信专 内蒙古财经学院学报（综合版），２００９，７（２）：１３９—１４１ 业的学生，可以介绍线性代数在保密通信方面的简单例子；对经济管理 ［７］黄玉梅，李彦．非数学专业线性代数教学改革探讨…．重庆文理 类专业，则可以介绍如何利用矩阵刻画投入产出表。通过这样一些简 学院学报（自然科学版），２００９，２８（５）：８７—８９ 单应用的介绍，提高学生对该课程的学习兴趣和热情。 ［８］吴丽芳．浅谈线性代数的教学［Ｔ］．科技信息，２００９（２６）：５６２ ３．４对课程进行提纲携领的总结，使学生有一个更为清晰的知识脉络 ［９］范广慧，苏在滨，卫春燕．线性代数教学方法的改革与实践＿１］．黑 尽管该课程课时十分紧张，但作者仍然坚持在所有内容讲完之后， 龙江科技信息，２００９（１２）：１４３ 用１—２个课时对整个课程的内容进行总结。包括基本内容的串讲，各 —３３—
