八年级上册学生辅导材料－－勾股定理
1、 勾股定理：
几何语言： 如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°
222根据勾股定理：abc
1、在直角三角形中,若两直角边的长分别为3cm，4cm ，则斜边长为_________ 斜边上的中线长为_____________，斜边上的高长为_________________ 2、在Rt△ＡＢＣ中， ＡＢ＝c， ＢＣ＝a， AC＝b，，∠C=90°，（要求画出草图）
①已知a=5，b=12，求c ②已知a=15，c=25，求b ③若a∶b=3∶4，c=10求SABC
3、如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆， 求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离．
4、一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为 （ ）
A、13 B、5 C、13或5 D、无法确定
5、下图由４个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm，求第4个直角三角形斜边长 度是 cm 练习：
6、正方形的面积是4，则它的对角线长是（ ）
A、2 B、2 C、22 D、4
7、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（ ）
A、6 B、6 C、5 D、4
8、如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部 抵着地面，此时，顶部距底部有 m；
AFD9、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD，AB=60m,BC=84m, AE=100m,•则这条小路的面积是多少
10、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住
BECB 8km
股
C
定
理
的
逆
定
理
：
6km 2、勾A
______________________________________________________________. 判断一个三角形是否为直角三角形
方法：（1）先确定最大边（如c） （2）验证c2与a2b2是否具有相等关系
（3）若c2=a2b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若c2≠a2b2 则△ABC不是直角三角形。
勾股数： 满足a2b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）
7，24，25 （6）9, 40, 41
11、如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点上，且长度分别为 （1）32； （2）25； (3) 10 (4)13
12. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２， ＢＣ＝４， ＡＣ＝23， ∠C＝３０°， 求∠B的大小．
13. 如图，AD⊥CD， ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３， 已知∠CＡＢ＝，求∠B．
14、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工
13人师傅量得这个零件各边尺寸如图，请问这个零件符合要求吗
15、如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC, △ADC的面积为30，
D4512CA3BC
D
B A
DC=12,AB=3,BC=4,求△ABC的面积 练习
1. 若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x，试求出x的所有可能值． 2.如图，已知CD＝６m， AD＝８m， ∠ADC＝９０°， BC＝２４m， ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．
3. 如图，四边形ＡＢＣD中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， CD＝３， ＤＡ＝１， 且∠B＝９０°，求∠DＡＢ的度数．
4. 有一块四边形地ＡＢＣD（如图），∠B＝９０°， ＡＢ＝４m， ＢＣ＝３m， CD＝１２m， DA＝１３m， 求该四边形地的面积． 3、勾股定理的应用： (一)面积问题：
1.如右图，字母“A”所代表的正方形的面积为________________；
2．如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为
________．
3. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、 B、 C、 D的面积和= ． 4.如右图, 在Rt△ABC中，分别以三边为直径半圆，若三个半圆 的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2与S3的大小关系是…………( ) A. S1+S2﹥S3 B. S1+S2=S3 C. S1+S2﹤S3 D. 无法确定 5. 如图，已知直角三角形ＡＢＣ的三边分别为6、８、10，分别以它的三 边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积= ． （二）勾股定理在立体图形中的应用：
例1如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．（精确到０.０１cm）
图练习1：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的中点O，已知底面周长为8,高为6,试求出爬行的最短路程。（精确到）
2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于36cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只小虫子，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只小虫子从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少
例2、一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出㎝，问吸管要做多长
练习3、如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少㎝．(保留1位小数)
（三）方程思想：
一、利用方程求线段长
1.如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上， 梯子底端距离墙ON有3米。
①求梯子顶端与地面的距离OA的长。 ②若梯子顶点滑1米到C点， 求梯子的底端向右滑到距离。
OBMOBDMNANAC2.已知等腰直角三角形斜边的长为2cm，这个三角形的周长是_________ △ABC中，∠ C=90°，若两直角边a,b满足ab7,ab12， 则c 4.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A. 5 B.
C. 7 D.
5.国旗杆的绳子垂到地面时，还多了1m，拉着绳子下端离开旗杆5m时，绳子被拉直且下端刚好接触地面，试求旗杆的高为_______． 6.如图一棵大树被台风吹倒，树的顶部落在离树跟底部8米且 （1）发现折断的部分长和没倒下的部分长的比值是5:3，求折断的部分多长
（2）发现折断的部分比没倒下的部分长4米，求大树未断前的长度
7.如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄， DA⊥AB
于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路AB上 建一车站E， （1）若使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处DE与CE的位置关系
（2）若使得C，D两村到E站的距离最短，E站建在离A站多少km处 D C
二、利用方程解决翻折问题
1. 如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ，使点D落在A B E
ADECBC边的点F处，已知AB8cm，BC10cm，求EC的长；
2.如图，在矩形ＡＢＣD中，ＡＢ＝6cm，ＡD=10cm,在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处。 BF（1）写出图中相等的线段，看谁写的多！ （2）求线段BF的长。
（3）试着求线段CE、EF的长。
3. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于_________
=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗
BDC5.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一EA台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离C AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点如果在距台风中心30kmA D 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险
B
第13题
