二次函数知识点总结及相关典型题目(学生用)

二 次 函 数

一、定义：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数. 例：已知关于x的函数yaxbxc(a,b,c是常数）当a,b,c满足什么条件时 （1）是一次函数 （2）是正比例函数 （3）是二次函数 二、二次函数yaxbxc(a,b,c是常数，a0)的性质 （1）①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点. ③｜a｜越大，开口越小。

O x

222y b4acb2b（，）（2）顶点是，对称轴是直线x

2a4a2a（3）①当a0时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右边，y随x的增大而增大；

②当a0时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。 （4） y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0,c)

2

2c0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，抛物线与y轴的交点在x轴下方中正确的是( )

例：1、（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论

A． a>0 B． b＜0 C． c＜0 D． a＋b＋c>0

2山东威海题图

练习：1、（2011山东威海，7，3分）二次函数yx2x3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）．

A．－1＜x＜3

B．x＜－1

C． x＞3

D．x＜－1或x＞3

2、（2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

三、求抛物线的顶点、对称轴的方法

2

1,1，下21

-

b4acb2b（，） （1）公式法：yaxbxc，顶点是，对称轴是直线x.

2a4a2a2 （2）配方法：yaxhk的顶点为(h,k)，对称轴是直线xh.

2(3)利用交点式求对称轴及顶点：yaxx1xx2，对称轴为x例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴： （1）yxx122

x23x5 （2）y2(x1)7 （3）y3(x7)(x9)

2

2例2、2011江苏淮安，14，3分）抛物线y=x-2x-3的顶点坐标是 .（1，－4） 四、抛物线的平移

方法1：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况

方法2：将函数换成顶点式，用口决“（x）左加右减，上加下减” ．．．例1、 抛物线yx2x3经过怎样平移得到yx4x1

例2、（2011四川乐山5，3分）将抛物线yx向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）

2222 A．y(x2) B．yx2 C．y(x2) D．yx2

222例3、（ 2011重庆江津， 18，4分）将抛物线y=x－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______. 练习：

1、抛物线y2x2x3经过怎样平移得到y2x4x1

2、抛物线yx2x3向左平移2个单位，再向上移3个单位得到yxbxc，求b和c。

3、（2011山东滨州，7，3分）抛物线yx23可以由抛物线yx平移得到,则下列平移过程正确的是( )

22

22222A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 五、用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

22

-

（2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2. (4)一般式与顶点式的变换

例：1、根据已知条件确定下列函数的解析式： （1）已知抛物线过（－3，0），（0，－3）,(5，0)

（2）已知抛物线的顶点在x轴上，且过点（1，0）、（－2，4）； （3）已知抛物线的顶点坐标为（－2，0），过点（1，4） 例2、将yx2x37,y2(x6x2和y2x2x4换成顶点式（y（）221)229） 2练习：1、将yx24x－5和y3x7x4换成顶点式

2222 2、（2011山东济宁，12，3分）将二次函数yx4x5化为y(xh)k的形式，则y （y(x2)1）七、yaxbxc(a0)与一元二次方程axbxc0(a0)的关系

22b4ac 2>0 方程有两个不相等的实数根＝0 方程有两个相等的实数根<0 方程没有实数根 抛物物与x轴没有交点 ax2bxc0 (a0) x，x 12xx12 抛物物与x轴有两个交点抛物物与x轴只有一个交点( yaxbxc2 A(x1，0)B（x2，0）0) x，1(a0) AB韦达定理：(x1x2)24x1x2 bc，x1x2ax1x2a（二者都可以用） 例1、（2011台北，32）如图(十四)，将二次函数y＝31x2－999x＋2的图形画在坐标平面上，判断方程式31x2－999x＋2＝0的两根，下列叙述何者正确？（ ）

3

-

A．两根相异，且均为正根 B．两根相异，且只有一个正根 C．两根相同，且为正根 D．两根相同，且为负根

例2、.抛物线yx2x3与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，则AB的长为 ，三角形ABC的面积是 。 练习：1.已知二次函数y＝ax－2的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交

点的个数．（ ）

2.（2011湖北襄阳，12，3分）已知函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）

A.k4

B.k4

C.k4且k3

D.k4且k3

22 3、（2011广东东莞，15，6分）已知抛物线y (1)求c的取值范围；

12xxc与x轴有交点． 2(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．

八、二次函数的应用

1、求yaxbxc(a,b,c是常数，a0)最大值或最小值

①a0，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标； ②a0，函数有最大值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标。 2、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积＝底高3、利润问题：利润＝销量（售价－进价）－其他 4、拱桥问题

例1、（2011广东肇庆，10，3分）二次函数yx2x5有（ ）

A． 最大值5

B． 最小值5

C． 最大值6

D． 最小值6

221 2例2 、一块矩形耕地大小尺寸如图所示（单位：m），要在这块土地上沿东

西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠，水渠的宽为x（m），余

下的可耕地面积为y（

。 m）

2（1） 请你写出y与x之间的解析式；

（2） 根据你写出的函数解析式，当水渠的宽度为1m时，余下的可

耕地面积为多少？ （3） 若余下的耕地面积为4408

m，求此时水渠的宽度。

2例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与每件的销售价x(元)满足

一次函数：m=162-3x.

（1） 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

（2） 如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多少？

练习：1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出5004

-

千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题: （1） 当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2） 设销售单价为每千克X元，月销售利润为Y元，求Y与X的函数关系式(不必写出X的取值范围）； （3） 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少？

3、. 如图6，一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线形状，一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。 （答案：0.2m）

图6

附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) yax2 yax2k yaxh 2x0（y轴） 当a0时 开口向上 当a0时 x0（y轴） xh xh yaxhk 2开口向下 yaxbxc

2bx 2ab4acb2，() 2a4a5