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2020年各地中考数学解析版试卷分类汇编：动态问题

来源：化拓教育网

动态问题

一、选择题

1. （2016·湖北鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s. 设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm)，则描述面积S(cm)与时间t(s)的关系的图像可以是（）

【考点】动点函数的图像问题.

【分析】分别判断点P在AB、在BM上分别运动时，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm)的变化情况进行求解即可.

【解答】解：点P在AB上分别运动时，围成的三角形面积为S(cm)随着时间的增多不断增大，到达点B时，面积为整个正方形面积的四分之一，即4 cm；

点P在BM上分别运动时，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm) 随着时间的增多继续增大，S=4+S△OBP；动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，故排除C，D；

到达点M时，面积为4 +2=6(cm)，故排除B.

故选A．

【点评】动点函数的图像问题. 解答此类题目应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际求解. 注意排除法在本题中的灵活运用.

2. （2016年浙江省台州市）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）

A．6 B．2+1 C．9 D．

【考点】切线的性质．

【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，

P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．

【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，

此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1， ∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴AB2=AC2+BC2， ∴∠C=90°， ∵∠OP1B=90°， ∴OP1∥AC ∵AO=OB， ∴P1C=P1B， ∴OP1=AC=4，

∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，

如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时， P2Q2最大值=5+3=8，

∴PQ长的最大值与最小值的和是9．故选C．

3. （2016年浙江省温州市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（）

A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小【考点】动点问题的函数图象．

【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．

【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2， ∴AB=h=

=，

，设PD=x，AB边上的高为h，

∵PD∥BC， ∴

，

x，

﹣1﹣

x）•

=x2﹣2x+4﹣

=（x﹣1）2+3﹣

，

∴AD=2x，AP=

∴S1+S2=•2x•x+（2

∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．故选C．

4．（2016.山东省泰安市，3分）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）

A． B．

C．

D．

【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是正三角形， ∴∠B=∠C=60°，

∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°， ∴∠BPD=∠CAP，

∴△BPD∽△CAP， ∴BP：AC=BD：PC，

∵正△ABC的边长为4，BP=x，BD=y， ∴x：4=y：（4﹣x）， ∴y=﹣x+x．故选C．

【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得△BPD∽△CAP是关键．

解答题

1．（2016·山西）（本题14分）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点F，使FOE≌FCE，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，OPQ是等腰三角形．

考点：求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构成

分析：（1）将A，D的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式点B坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A点坐标即可求出B点坐标点E坐标：E为直线l和抛物线对称轴的交点，利用D点坐标求出l表达式，令其横坐标为x3，即可求出点E的坐标

（2）利用全等对应边相等，可知FO=FC，所以点F肯定在OC的垂直平分线上，所以点F的纵坐标为-4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标

（3）根据点P在y轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解

解答：（1）抛物线yax2bx8经过点A（－2，0），D（6，－8），

14a2b80a解得2…………………………………（1分）

36a6b88b3抛物线的函数表达式为y1x23x8……………………………（2分）

2y121252，抛物线的对称轴为直线x3．又抛物线与x轴交x3x8x3222于A，B两点，点A的坐标为（－2，0）．点B的坐标为（8，0）…………………（4分）

4k设直线l的函数表达式为ykx．点D（6，－8）在直线l上，6k=－8，解得．

3直线l的函数表达式为y4x………………………………………………………（5分）

3点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为434，即点3E的坐标为（3，－4）……………………………………………………………………（6分）（2）抛物线上存在点F，使FOE≌FCE．

点F的坐标为（317,4）或（317,4）．……………………………………（8分）（3）解法一：分两种情况：

①当OPOQ时，OPQ是等腰三角形．

，OE32425，过点E作直线ME//PB，交y轴于点点E的坐标为（3，－4）M，交x轴于点H，则分）

OMOE，OMOE5……………………………………（9OPOQ点M的坐标为（0，－5）．

1k设直线ME的表达式为yk1x5，3k154，解得1，ME的函数表达式为

3Powered by Xuex.CC

11yx5，令y=0，得x50，解得x=15，点H的坐标为（15，0）…（10分）

33又MH//PB，8OPOBm8m，即……………………………（11分） ，3OMOH515②当QOQP时，OPQ是等腰三角形．

当x=0时，y12， x3x88，点C的坐标为（0，－8）

2CE32(84)25，OE=CE，12，又因为QOQP，13， 23，CE//PB………………………………………………………………（12分）

4k3k284，CE设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为yk2x8，解得2，

344yx8的函数表达式为，令y=0，得x80，x6，点N的坐标为

33（6，0）………………………………………………………………（13分） CN//PB，OPOBm832，………………（14分） ，解得mOCON863832综上所述，当m的值为或时，OPQ是等腰三角形．

33解法二：

当x=0时，y12，点E的坐标为 x3x88 ，点C的坐标为（0，－8）

2（3，－4），OE32425，CE32(84)25，OE=CE，12，设抛物线的对称轴交直线PB于点M，交x轴于点H．分两种情况： ① 当QOQP时，OPQ是等腰三角形．

13，23，CE//PB………………………………………（9分）

又HM//y轴，四边形PMEC是平行四边形，EMCP8m，

HMHEEM4(8m)4mBH835，HM//y轴，

BHM∽BOP，HMBH……………………………………………………（10分） OPBO32………………………………………………………（11分） 34m5m8m②当OPOQ时，OPQ是等腰三角形．

EH//y轴，OPQ∽EMQ，EQEM，EQEM……………（12分） OQOPEMEQOEOQOEOP5(m)5m，HM4(5m)，EH//y轴，

BHM∽BOP，HMBH…………………………………………………（13分）

OPBO1m5m8m8………………（14分） 38当m的值为或32时，OPQ是等腰三角形． 33

AB∥DC，AD=15，AB=16，BC=12，∠B=90°，（2016·上海）如图所示，梯形ABCD中，2．

点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．（1）求线段CD的长；

（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；

（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

【考点】四边形综合题．【专题】综合题．

CD=BH，【分析】（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=12，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；

（2）分类讨论：当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，则判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=

，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似

比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE=

，再证明△EAG∽△EDA，则利用相似比可表示出

EG=

示出x和y的关系．

，则可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表

【解答】解：（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形， ∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH=∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，

==9，

∴CD=7；

（2）当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE， ∵∠AGE=∠DAB， ∴∠GAE=∠DAB，

∴G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=∵∠MAE=∠HAD， ∴Rt△AME∽Rt△AHD， ∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG， ∵∠AGE=∠DAB，

而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG， ∴∠GAE=∠ADG， ∴∠AEG=∠ADG， ∴AE=AD=15，

综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，在Rt△ADE中，DE=

，

或15；

：9，解得AE=

；

，

∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA， ∴△EAG∽△EDA，

∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：

，

∴EG=，

∴DG=DE﹣EG=∵DF∥AE， ∴△DGF∽△EGA，

﹣，

AE=DG：EG，x=∴DF：即y：（﹣）：，

∴y=（9＜x＜）．

【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

（2016·四川巴中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+4mx﹣5m（m＜0）与x3．

轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=轴相交于点D，点P在直线y=轴于点F，连接DF．

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6（2）求A、B两点的坐标；

（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y=

x上任意一点P∠PDF的大小为定值．（不与原点重合），请

，求抛物线的解析式；

x相交于点E，与x

x上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y

你判断该猜想是否正确，并说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）先提取公式因式将原式变形为y=m（x2+4x﹣5），然后令y=0可求得函数图象与x轴的交点坐标，从而可求得点A、B的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=﹣2，故此可知当x=﹣2时，y=6（2）由（1）的可知点A、B的坐标；

（3）先由一次函数的解析式得到∠PBF的度数，然后再由PD⊥PF，FO⊥OD，证明点O、D、P、F共圆，最后依据圆周角定理可证明∠PDF=60°．【解答】解：（1）∵y=mx2+4mx﹣5m， ∴y=m（x2+4x﹣5）=m（x+5）（x﹣1）．令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0， ∵m≠0， ∴x=﹣5或x=1．

∴A（﹣5，0）、B（1，0）． ∴抛物线的对称轴为x=﹣2． ∵抛物线的顶点坐标为为6∴﹣9m=6∴m=﹣

．．

x2﹣

．

，

，于是可求得m的值；

∴抛物线的解析式为y=﹣

（2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）．（3）如图所示： ∵OP的解析式为y=∴∠AOP=30°．

x，

∴∠PBF=60°

∵PD⊥PF，FO⊥OD， ∴∠DPF=∠FOD=90°． ∴∠DPF+∠FOD=180°． ∴点O、D、P、F共圆． ∴∠PDF=∠PBF． ∴∠PDF=60°．

4．（2016·湖北十堰）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，

﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．

（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；

（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO= 5 ，PH= 5 ，由此发现，PO = PH（填“＞”、“＜”或“=”）；

②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）①求出PO、PH即可解决问题．

②结论：PO=PH．设点P坐标（m，﹣ m+1），利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题．

（3）首先判断PH与BC，PO与AC是对应边，设点P（m，﹣ m2+1），由即可解决问题．

【解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），

=列出方程

∴﹣3=16a+1， ∴a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）．（2）①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5， ∴PO=PH，

故答案分别为5，5，=． ②结论：PO=PH．

理由：设点P坐标（m，﹣ m+1）， ∵PH=2﹣（﹣m+1）=m+1 PO=∴PO=PH．（3）∵BC=∴BC=AC， ∵PO=PH，

又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似， ∴PH与BC，PO与AC是对应边， ∴

，设点P（m，﹣ m2+1），

，AC=

，AB=

=m2+1，

∴=，

解得m=±1，

∴点P坐标（1，）或（﹣1，）．

【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，用方程去解决问题，属于中考压轴题． 5．（2016.山东省青岛市）已知：如图，在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？

（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t=

，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；

（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，根据全等三角形的性质得到CE=AP=t，根据相似三角形的性质得到EH=QM=

，FQ=

，根据相似三角形的性质得到

，根据图形的面积即可得到结论，

（3）根据题意列方程得到t=，t=0，（不合题意，舍去），于是得到结论；（4）由角平分线的性质得到DM=DN=

，根据勾股定理得到ON=OM=

=，

由三角形的面积公式得到OP=5﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm， ∴AC=10，

①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，

∴AM=AO=，

∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD， ∴△APM∽△ADC， ∴∴AP=t=

，，

②当AP=AO=t=5， ∴当t为

（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，在△APO与△CEO中，

，

∴△AOP≌△COE， ∴CE=AP=t， ∵△CEH∽△ABC， ∴∴EH=∵DN=

，，

，

或5时，△AOP是等腰三角形；

∵QM∥DN， ∴△CQM∽△CDN， ∴

，即

，

∴QM=，

∴DG=﹣=，

∵FQ∥AC， ∴△DFQ∽△DOC， ∴∴FQ=

，，

+（

+5）•

=﹣t2+t+12，

∴S五边形OECQF=S△OEC+S四边形OCQF=×5×

∴S与t的函数关系式为S=﹣t2+

t+12；

（3）存在， ∵S△ACD=×6×8=24，

∴S五边形OECQF：S△ACD=（﹣t2+t+12）：24=9：16，

解得t=，t=0，（不合题意，舍去），

∴t=时，S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16；

（4）如图3，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N， ∵∠POD=∠COD， ∴DM=DN=∴ON=OM=∵OP•DM=3PD， ∴OP=5﹣t， ∴PM=

﹣t，

，

=，

∵PD2=PM2+DM2， ∴（8﹣t）2=（

﹣t）2+（

）2，

解得：t≈15（不合题意，舍去），t≈2.88， ∴当t=2.88时，OD平分∠COP．

，顶点B的横6．（2016•江苏省扬州）如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3）坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；

（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，

为常数，试确定k的值．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．

（2）①当AB为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题．②当AB为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题．

（3）设T（m，m2﹣2m），由TM⊥OC，可以设直线TM为y=﹣x+b，则m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+，求出点M、N坐标，求出OM、ON，根据

列出等式，即可解决问题．

【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1，则有

解得

∴二次函数y=x2﹣2x，（2）由（1）得，B（1，﹣1）， ∵A（﹣1，3），

∴直线AB解析式为y=﹣2x+1，AB=2设点Q（m，0），P（n，n2﹣2n）

∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

，

①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有，解得或

∴P（1+

，2）和（1﹣

，2）

②当AB为边时，根据中点坐标公式得解得或

∴P（1+，4）或（1﹣，4）．

（3）设T（m，m2﹣2m），∵TM⊥OC，

∴可以设直线TM为y=﹣x+b，则m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+，

由解得，

∴OM==，ON=m•，

∴=，

∴k=时， =．

∴当k=时，点T运动的过程中，

为常数．

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