与勾股定理有关的几道中考题分析 ■徐茵茵 勾股定理是直角三角形的重要性质，它的应用很普遍，也 是中考命题的重点，下面介绍分析几道与勾股定理有关的中 考题，以供大家参考． 例１ 一个直立的火柴 盒在桌面上倒下，启迪人们 发现了勾股定理的一种新的 证明方法：如图１，火柴盒的 一ｓ 一号ｎ６７ ２＋专Ｃ２＝÷ｃ ＋ｎ６， ． ｎ。＋÷ 。一÷ ·．‘．．ａ０＋ｂ ＝ｃ ． （３）图３所示图形（２００２年８月在北 京召开的国际数学家大会会标），其他图 形不再列举． 个侧面ＡＢＣＤ倒下到 ＡＢ Ｃ Ｄ 的位置，连结ＡＣ、 ＡＣ１、ＣＣ１，设ＡＢ＝ｎ，ＢＣ＝ｂ， 例３ 勾股定理是一条古老的数学 定理，它有很 种证明方法，我国汉代数 图１ ＡＣ—Ｃ，请利用四边形 ＢＣＣ Ｄ 的面积证明勾股定理ｎ ＋ｂ 一ｃ ． 证明：‘．‘四边形ＢＣＣ Ｄ 为直角梯形， ·．．学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证 明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关 图３ 系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进 行第一次“谈话”的语言． ｓ梯形厦ｒ】Ｄ１一÷（Ｂｃ＋ｃ Ｄ１）．ＢＤ （ｎ＋ｂ ２ ［定理］请你根据图４中的直角三角形叙述勾股定理（用 文字及符号语言叙述）． 口 ＋ｂ ＋２ａｂ ２ ’ 又Ｒｔ△ＡＢＣ Ｒｔ△ＡＢ１ Ｃ１， ‘．． ＢＡＣ一／Ｂ１ＡＣｌ， ＣＡＣ１一 Ｂ１＋ Ｂ１ＡＣ１一 ＣＡＢｌ＋ ＢＡＣ一 ‘．． ９Ｏ。． （或：矩形ＡＢＣＤ绕点Ａ旋转９０。，ＡＣ旋转到ＡＣ 的位 置，故 ＣＡＣ１—９０。）． ． ．图４ 图５ ［证明］以图４中的直角三角形为基础，可以构造出以。、６ 为底，以为高的直角梯形（如图５），请你利用图５，验证勾股定 理． Ｓ梯形Ｂ＾ｃｌＤ１一Ｓ△ＡＢｃ＋Ｓ△ｃＡｃ１＋Ｓ△Ｄ１Ａｃｌ ＝÷ｎ ＋÷ｃ ＋÷ｎ ＝ 专 ． ·—［知识拓展］利用图５中的直角梯形，我们可以证明—ａ＋ｂ —２ａ＋ｂ ２＋２ａｂｃ２＋２ａｂ··——— 一一—＿ ···０ Ｔ口 ＋Ｏ，２一Ｃ２．一． ＿：－一．—：—·．．．．＜ ．其证明步骤如下： ‘·例２如图２甲是用硬纸板做成的两个生等的直角三角 形，两直角边的长分别为口和ｂ，斜边长为ｆ，图２乙是以Ｃ为 直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能 证明勾股定理的图形． （１）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形； （２）利用这个图形证明勾股定理； 即 ‘ＢＣ＝ａ＋ ＡＤ＝——． 又‘ 在直角梯形ＡＢＣＤ中有ＢＣ ， ·．． 中学生数理他．掌研版 ＡＤ（填大小关系）， ＜√ ． 解析：［定理表述］ 如果直角三角形的两直角边长分 别为ｎ、ｂ，斜边长为ｃ（图６），那么ｎ ＋ ｂ 一ｃ。． （３）假设图２甲中的直角三角形有若干个，你能运用图２ 甲中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形 吗？请画出拼后的示意图（无需证明）． ［证明］‘．‘Ｒｔ△ＡＢＥ 垒Ｒｔ△ＥＣＤ， ‘．． ＡＥＢ一 ＥＤＣ， △ 乙 丙 又 ＥＤＣ＋／ＤＥＣ＝９０。， 。图６ ．． ＡＥＢ＋ ＤＥＣ＝９０。． ／ＡＥＤ＝９０。． ．‘．。Ｓ￣￥ＡＢＣＤ—ＳＲｔＡＡＢＥ＋ＳＲｔ／ｘＤＥＣ＋ＳＲｔ△ＡＦＤ， 图２ 整理，得口。＋ｂ２一Ｃ。． 解析：（１）如图２丙，拼出的是直角梯形． ［知识拓展ｌＡＤ＝ ｃ，ＲＣ￣ＡＤ，ａ＋ｂ＜ｖ／２ｃ． 作者单位：河南省新乡市铁路高级中学 （２）证明：。．‘ｓ 一虿１（ｎ＋６）（ｎ＋６）一 １ ｎ。＋÷６２＋ｎ６，
